Les fonctions trigonométriques

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2626
Réactivation 1
a. 1) Les participants doivent parcourir 6,02 13,19 12 31,21 km à vélo.
2) Les participants doivent parcourir km, soit environ 5,48 km à la course à pied.
b. 1) Environ 4,98 km séparent le point de ravitaillement du départ.
2) Environ 2,27 km séparent le point de ravitaillement de l’arrivée.
c. Il lui reste environ 39,29 min à vélo.
Réactivation 2
a. 1) 30° 2) 60° 3) 60° 4) 60°
b. 1) 100 m 2) 100 m 3) 100 m 4) 100 m
Mise à jour
1. a) 1) 8 x 182⇒ x 40,5 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle
entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
b) 1) 132
x ( x 4) ⇒ x 11,15 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure
de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.
c) 1)
x
22,423,22⇒
x 4 cm
2) Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures
des cathètes.
d) 1) 9241
x ⇒ x 1,98 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure
de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.
e) 1)
x 2 5 10 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30° est égale à la moitié de celle
de l’hypoténuse.
f) 1) 62
x ( x 5) ⇒ x 4 cm
2) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle
entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
2. a) m cm b) m 4,74 cm et m 1,58 cm.
c) m 5 cm et m 5 cm. d) m 6 cm et m 3 cm.
3
BC
3
ABBC
3
AB
ACAB
21
BC
Page 72
3
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30
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6
RÉVISION
Les fonctions trigonométriques
6

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Mise à jour (suite)
3.
4. Le périmètre est environ de 43,09 cm et l’aire est environ de 76,37 cm2.
5. a) 315,67 cm2b) 74,95 cm2c) 167,14 cm2d) 65,12 cm2
Mise à jour (suite)
6.
Mise à jour (suite)
7. La mesure de la petite diagonale est environ de 0,94 m et la mesure de la grande diagonale est environ de 1,13 m.
8. Identifier les points K et L afin de déterminer l’altitude de chaque avion.
m 1,89 hm m 2,695 hm
Donc, m 2,86 hm. Donc, m 2,805 hm.
Lorsque les avions volent parallèlement au sol, la distance verticale entre ceux-ci est environ de 0,0503 hm, soit
environ 5,03 m. Cette manœuvre de ravitaillement n’est donc pas sécuritaire.
FLCK
DLAK
3,85
5,5
m DL
3,85
3
4,75
m AK
3
A
B
C
D
E
FG
3 hm 3,85 hm
4,75 hm 5,5 hm
KL
Page 75
i) x 8,66 cm
y 12,25 cm
z 7,07 cm
j)
x = 4 cm
y = 16 cm
z = 8 5cm
e) x 9,75 cm
y 16,31 cm
z 8,37 cm
f)
x 5,2 cm
y 10,39 cm
z 20,78 cm
g)
x = 1 cm
y 8,49 cm
z 2,83 cm
h)
x 5,42 cm
y 2,08 cm
z = 5 cm
a) x 2,54 cm
y 6,52 cm
z 16,78 cm
b)
x 3 cm
y 2,6 cm
z 5,2 cm
c)
x 6,24 cm
y 9,99 cm
z 12,8 cm
d)
x = 5 cm
y 6,67 cm
z 5,33 cm
Page 74
Page 73
abcmnh
534
20 10 50 40 10 20
2,5 1,875 3,125 2 1,125 1,5
18 24 30 10,8 19,2 14,4
5 5
16
3
25
3
20
3
Mesures des segments

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Mise à jour (suite)
9. Déterminer la mesure associée à x à l’aide d’une figure comme celle ci-contre.
x (1,5  x ) ( x 0,1)2⇒ x 0,84 m
Volume de la pelle : 21,12 m3
Le volume maximal de terre que peut contenir cette pelle est environ de 1,12 m3.
10. a) La distance qui sépare le sentier du point A est environ de 2,82 km.
La distance qui sépare le sentier du point B est environ de 1,73 km.
La distance qui sépare le chalet du point A est environ de 7,21 km.
b) La distance entre l’entrée et le point B est de 2 km. Le chalet se trouve à environ 4,87 km du point A.
Le sentier mesure environ 5,98 km et le sentier mesure 4 km.
Donc, la longueur totale des trois sentiers pédestres est environ de 17,48 km.
11. a) 46,95 m b) 57,77 m c) 10,82 m d) 27,73 m
Le cercle trigonométrique
Problème
⇒m ∠AOB 57,3°
Coordonnées du point B : (2cos57,3°, 2sin57,3°)
Les coordonnées du détecteur situé au point B sont (1,08, 1,68).
Activité 1
a. 1) 360° 2) 2π r unités.
b. 1) 2πfois. 2) 
°
c. La mesure de l’arc est égale à la mesure du rayon.
d. 1) 2πrad 2) πrad 3) rad 4) rad
e. 1) La longueur de l’arc est la même que celle du rayon. 2) La longueur de l’arc est le double de celle du rayon.
3) La longueur de l’arc est 4,5 fois celle du rayon. 4) La longueur de l’arc est 8,71 fois celle du rayon.
f.
L r θ
Activité 2
a. 1) (1, 0) 2) (0, 1) 3) (–1, 0) 4) (0, –1)
b. 1) Le triangle BOP5est isocèle et rectangle. 2) rad
c. Soit m m 
x.
Les coordonnées du point P5sont donc ( x , x ).
Par la relation de Pythagore, on a
x
2
x
212.
Donc, 2
x
21
x
2
x ±
Puisque le point P5est situé dans le 1er quadrant, x , donc les coordonnées du point P5sont , .
d. 1)
, 2) , 3) ,
–
2
2
2
2
–
2
2
–
2
2
2
2
–
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
BP5
OB
π
4
Page 79
n π
180
π
2
180
π
Page 78
m ∠AOB
360°
2
2π2
Page 77
6.1
section
2
1
1
3
2
2
1
CA
B
1,5 m
x
x  0,1
D
(0,84 0,1) 1,5
2
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28

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e. 1) Le triangle BOP9est rectangle et a un angle de 30°. 2) rad
f. 1) 2)
x
2
212, où
x représente la mesure de .
x
21 
2
x
21 
x
2
x ±
Puisque le point P9est situé dans le 1er quadrant,
x .
g. 1)
, 2) , 3) ,
Activité 2 (suite)
h. 1) Le triangle BOP13 est rectangle et a un angle de 30°. 2) rad
i. 1) 2)
y
2
212, où
y représente la mesure de .
y
21 
2
y
21 
y
2
y ±
Puisque le point P13 est situé dans le 1er quadrant,
y .
j. 1)
, 2) , 3) ,
k. 1) Le cosinus. 2) Le sinus.
Activité 3
a.
b. Domaine : [0, 60] s; codomaine : [1, 3] m.
c. L’extrémité de l’agitateur est située au point le plus rapproché du sol à : 0 s, 10 s, 20 s, 30 s, 40 s, 50 s, 60 s, 70 s, 80 s,
90 s, 100 s, 110 s, 120 s, 130 s, 140 s, 150 s, 160 s, 170 s, 180 s, 190 s, 200 s, 210 s, 220 s, 230 s et 240 s.
483624120
4
3
2
1
60
Distance
(m)
Temps
(s)
Distance qui sépare
l’extrémité de l’agitateur d’avec le sol
en fonction du temps
Page 81
–
3
2
1
2
–
3
2
–1
2
3
2
–1
2
3
2
3
4
3
4
1
4
1
2
BP13
1
2
Dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°,
la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égale
à la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
π
3
Page 80
–1
2
3
2
–1
2
–
3
2
1
2
–
3
2
3
2
3
4
3
4
1
4
1
2
OB
1
2
Dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°,
la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égale
à la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
π
6

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Technomath
a. 1) m ∠AOB 1 rad à l’écran 1et m ∠AOB 1 rad à l’écran 2.
2) m ∠AOB 57,3° à l’écran 1et m ∠AOB 57,3° à l’écran 2.
b. Cette mesure est de 1 rad.
c. 1) m ∠AOB 68,75° à l’écran 3et m ∠AOB 166,16° à l’écran 4.
2) La longueur de l’arc AB est de 3,192 cm à l’écran 3et de 5,568 cm à l’écran 4.
d. 1) 2) La longueur de l’arc intercepté est de 6,75 cm.
Mise au point 6.1
1. a) rad b) rad c) rad d) rad
e) rad f) rad g) rad h) rad
2. a) 150° b) 300° c) 126° d) 
°
e) 
°f)  °g)  °h)  °
3. a) 3 u b) uc) 2πud) 0,5πue) uf) 4,5 u
4. a) Dans le 2equadrant. b) Dans le 1er quadrant. c) Dans le 4equadrant.
d) Dans le 3equadrant. e) Dans le 2equadrant. f) Dans le 1er quadrant.
g) Dans le 4equadrant. h) Dans le 2equadrant.
5. a) b) c) –d) 1e) 0f)
6. a) ,b) ,–c) (–0,99, 0,14)
d) (–1, 0) e) (–0,15, –0,99) f) (0, 1)
Mise au point 6.1 (suite)
7.,,,,,
Mise au point 6.1 (suite)Page 88
3
F
4
E
6
D
2
C
1
B
5
A
Page 87
2
2
2
2
3
2
1
2
3
3
3
2
2
3
2
π2
18
π
4
90
π
–540
π
–360
7
990
π
360
π
–13π
18
–π
9
2π
9
π
4
π
18
13π
18
π
12
5π
3
Page 86
Page 82
30
2,25 rad
A
B
O3 cm
8. a) Oui. πrad b) Oui. rad c) Non.
d) Non. e) Oui. 0,64 rad f) Oui. 2,21 rad
9. a) ±b) 0c) ±d) ±e) ±f) ±2
2
3
21
5
35
6
1
2
3
2
π
3