Chapitre 1 Trigonométrie 1.1. Quelle est la mesure en degrés d’un angle de tour complet cet angle correspond-il ? Correction. 18°, 1 ème 20 π 10 radians ? À quelle fraction d’un de tour 1.2. Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm, et B̂ = Représenter la situation, et déterminer les longueurs AC et BC. Correction. AC = √ 5 3 3 ; BC = π rad. 6 √ 10 3 3 1.3. Si ABC est rectangle en A, que AB vaut 5 unités, BC vaut 6 unités, que vaut AC ? Quelle est la mesure de l’angle Ĉ ? Correction. arcsin( 65 ) = 0,985... rad ou 56,44° 1.4. On donne un trapèze ABCD, où AB est de longueur 3, AD est de longueur 5 et CD de longueur 6. Notons O l’intersection entre les diagonales BD et AC. Sachant que les côtés AB et AD d’une part, et AD et DC d’autres part sont perpendiculaires, quelle [ ? est la mesure de l’angle BOA Correction. π 2 − arctan 5 3 + arctan 6 5 = 1, 416... rad ou 81,16° 1.5. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72°. • Déterminer le troisième côté et les deux autres angles en degrés. • Déterminer la mesure de B̂ en radians (sans calculatrice !) Correction. AB=34,77 ; Â = 0,72 rad ; Ĉ = 1,16 rad ; B̂ = 2π 5 rad \ = 42°, Â = 105°, B̂ = 36° et AB = 300 m. 1.6. Sur la figure, on donne les angles CAH On demande de déterminer la longueur CH sachant que l’angle dessiné en H est droit. 1 2 CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE Correction. On a les relations suivantes (le point d’interrogation dénote une quantitée non donnée dans l’énoncé) : \ = CH?/CA? sin(CAH) sin(B)/CA? = sin(C?)/AB C? = 180 − A − B (sinus dans un triangle rectangle) (loi des sinus) (somme des angles d’un triangle) Dès lors : \ sin(B)AB/ sin(180° − A − B) CH? = sin(CAH) = sin(42°) sin(36°)300 m/ sin(39°) = 187.49 m 1.7. Des naufragés abordent les côtes d’une île de l’Atlantique Sud, balayées par le vent. La plage est bien dégagée et recouverte de galets, mais une falaise barre le chemin vers l’intérieur de l’île où ils espèrent trouver du secours. Avant de se préparer pour l’escalade de cette falaise, un membre de l’équipage se propose d’en mesurer la hauteur. Pour cela, il plante une perche bien droite de 3 m de longueur, à une distance de 150 m de l’aplomb de la falaise. Ainsi fait, après avoir vérifié que la perche est bien perpendiculaire au plan de l’horizon, il recule de 5m, distance juste nécessaire pour que, couché sur le sol, le rayon visuel parti de son oeil effleure à la fois l’extrémité de la perche et le sommet de la falaise. Dessiner une figure, puis calculer la valeur trouvée pour la hauteur de la falaise. Correction. 93 m 1.8. Deux édifices à toit plat sont distants de 60 m. Du toit du plus petit édifice, qui a 40 m de hauteur, l’angle d’élévation de l’arête du toît du plus grand édifice est de 40°. Calculer la hauteur du plus grand édifice. 111111111111 000000 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 x 000000 111111 000000 111111 0000111111 1111 000000 000000 h 111111 40 ˚ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 000000 111111 0000 1111 40 m 000000 1111111111111111111 0000000000000000000 000000000 1111 11111 111111 000000 111111 60 m Correction. 90.35 m 1.9. À l’aide du cercle trigonométrique, déterminer les nombres suivants (valeur exacte) en utilisant les symétries adéquates. 3 CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE 5π 6 d. sin −π 4 e. cos f. sin a. cos b. sin c. cos 3π 4 Correction. b. − c. √ −π 2 a. − √ 3 2 2 2 √ − 22 7π 3 g. cos h. cos −4π 3 i. sin d. −1 g. − e. h. f. 1 2 √ i. 3 2 5π 4 −7π 6 8π 3 √ 2 2 √ − 23 √ 3 2 1.10. Déterminer les valeurs exactes des expressions suivantes : arccos( arctan(1). √ 3 ), 2 arcsin( √ 3 ), 2 Correction. π/6, π/3, π/4. 1.11. Simplifier l’expression cos(arcsin(x)). Correction. arcsin prend ses valeurs dans [−π/2, π/2]. Le cosinus y est toujours positif, dès lors q √ cos(arcsin(x)) = 1 − sin2 (arcsin(x)) = 1 − x2 pour x ∈ [−1, 1] 1.12. Trouver les valeurs exactes possibles de cos θ et tan θ sachant que sin θ = reporter les arcs correspondants sur un cercle. 7 , 16 puis √ √ Correction. cos θ = ± 3 1623 ; tan θ = ± 7 6923 1.13. Pour calculer la distance OA entre deux points situés sur les rives opposées d’un fleuve, on définit le long d’une des rives un segment BC de 300 m, passant par O avec OA perpendiculaire à BC. En mesurant les angles B̂ et Ĉ, on trouve respectivement 67°200 et 53°400 : A 67°200 B 53°400 O C Calculer la valeur des distances AB et AC. En déduire ensuite celle de la distance OA. Correction. AB = 281, 95 mètres ; AC = 322,96 mètres ; AO = 260,17 mètres 4 CHAPITRE 1. TRIGONOMÉTRIE 1.14. Démontrer les relations suivantes : sin4 (a) − cos4 (a) = sin2 (a) − cos2 (a) = 2 sin2 (a) − 1 1 1 tan2 (a) − tan2 (b) = − 2 cos (a) cos2 (b) sin2 (θ) − cos2 (φ) = 1 − cot2 (θ) cot2 (φ) sin2 (θ) sin2 (φ) Correction. a. sin4 (a) − cos4 (a) = (sin2 (a) − cos2 (a)).(sin2 (a) + cos2 (a)) = (sin2 (a) − 2 cos (a)).1 = sin2 (a) − cos2 (a) = sin2 (a) − (1 − sin2 (a)) = 2 sin2 (a) − 1 b. tan2 (a) − tan2 (b) = 1 − cos12 (b) cos2 (a) sin2 (a) cos2 (a) 2 sin (b) − cos 2 (b) = 2 1−cos2 (a) cos2 (a) 2 (b) − 1−cos = cos2 (b) 1 cos2 (a) sin2 (θ) sin2 (φ)−cos2 (θ) cos2 (φ) sin2 (θ) sin2 (φ) sin2 (θ)−cos2 (φ) sin2 (θ)−sin2 (θ) cos2 (φ)−cos2 (φ)+sin2 (θ) cos2 (φ) = sin2 (θ) sin2 (φ) sin2 (θ) sin2 (φ) 2 (θ) cos (φ) = c. 1−cot2 (θ) cot2 (φ) = 1− cos sin2 (θ) sin2 (φ) h = − 1 − cos12 (b) + 1 = sin2 (θ)(1−cos2 (φ))−(1−sin2 (θ)) cos2 (φ) sin2 (θ) sin2 (φ) i 1.15. Soit x ∈ − π2 , π2 . a. Si sin x = − 15 , que vaut la tangente de x ? b. Si cos x = 31 , quelles sont les valeurs possibles de la tangente de x ? √ Correction. √ b. ±2 2 a. − 126 1.16. Représenter les graphes des fonctions l et f définies par l(t) = sin(2t + π) et f (t) = sin(2t) + π. Correction. =