Exercices de dynamique du point n`utilisant pas l`énergie

Exercices de dynamique du point n’utilisant pas l’énergie
I70.
Exercices de dynamique, sans énergie, page 1
R=−πη
On étudie le mouvement vertical de billes de masse m, de rayon , de volume V et de masse volumique
dans un liquide de masse volumique et de viscosité . Ce liquide exerce sur chaque bille deux
forces, la poussée d’Archimède, égale à l’opposé du poids du liquide déplacé par la bille, et une force de frottement
visqueux
R
3
2300kg.m
−
µ= 0 µη
6
f
F v
G
G
, où v
G
désigne la vitesse de la bille et g
G
la pesanteur.
1) Ecrire l’équation différentielle régissant la vitesse v d’une bille fonction du temps t.
2) A l’instant 0, la vitesse de la bille est nulle. Déterminer la relation entre v et t.
3) Montrer qu’il existe une vitesse limite et exprimer cette vitesse limite .
l
v
4) En admettant l’existence de cette vitesse limite, retrouver plus simplement son expression.
5) Quel est le temps caractéristique de l’évolution de la vitesse ?
6) Quelles sont les billes qui atteignent le plus vite leur vitesse limite, les grosses ou les petites ?
7) Quelles sont les billes dont la vitesse limite est la plus grande, les grosses ou les petites ?
8) La vitesse limite étant atteinte, on mesure le temps de parcours d’une distance L. Pour la même bille, on trouve
dans l’eau, pour laquelle et , et dans l’iodoéthane, pour lequel
. Calculer la viscosité de l’iodoéthane.
35 st=3 10 SI
−
η=3
01000kg.m−
µ= 70 st′=
3
0998 kg.m−
′
µ= ′ η
II38. Anneau coulissant sur une corde.
Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.
On appelle g
G
l’accélération de la pesanteur.
1) Soit une droite (D) qui fait un angle avec le
plan horizontal. Soit un point C situé dans le plan
vertical passant par (D), au dessus de (D) et à une
distance h de (D) ; on a . La droite (D) et le
point C sont fixes par rapport à la Terre. On tend une
corde entre le point C et un point E de la droite (D)
repéré par l’angle (angle entre la verticale
descendante passant par le point C et la corde
β
CH h=
γ
CE
J
JG . Un
anneau M, assimilé à un point matériel, de masse m,
peut coulisser sans frottement le long de cette corde C
On lâche l'anneau sans vitesse initiale au point C.
Déterminer le temps mis par l'anneau pour parcourir la
distance CE.
E.
)
2) En déduire la valeur de l'angle pour laquelle
cette durée est minimale.
γ
III17.
B
R
A
Un tube mince AB est inscrit sur un cylindre de rayon et d’axe vertical. Par rapport à cet axe,
son équation est en coordonnées cylindriques : ; il va de A ( ) à B
().
R
(
;2rRzR==π−θ 0θ=
2θ=π
A l’instant 0, on lâche en A un mobile qui coulisse sans frottement dans le tube.
1) Quelles sont les coordonnées cylindriques d’un petit déplacement dr
J
JG du mobile le long du
tube ?
2) En déduire la longueur ds de ce petit élément ?
3) Quel angle α fait la tangente au tube avec l’horizontale ? avec la verticale ? β
4) Quelle est la longueur L du tube ?
5) En projetant l’expression de la loi fondamentale de la dynamique, calculer la composante
tangentielle de l’accélération. Exprimer et l’abscisse curviligne s en fonction du temps t. T
a
θ
6) Quelle est la durée T du trajet AB ?
7) Exprimer les coordonnées cylindriques de la réaction R′
G
du tube sur le mobile.
IV12.
Un mobile assimilable à un point matériel pesant de masse m est attaché par deux fils de même longueur à deux
points O A
1 et O2 situés sur une même verticale. Ce point est lancé de façon à décrire un mouvement circulaire d’axe O1O2
dans un plan horizontal, avec la vitesse angulaire ω. Les fils se rompent si leur tension est supérieure à une limite assez
élevée . On pose
rup
T12 arccos 2
OO
α=A.

1) Le fil inférieur n’est pas tendu. Quelle est la relation entre l’inclinaison du fil supérieur sur la verticale et ω ?
Dans quel intervalle doit se situer ω ? θ
2) Le fil inférieur est tendu. Exprimer les tensions des deux fils. Dans quel intervalle doit se situer ? ω
3) Un fil se rompt. Lequel ? Que peut-on dire de ω ?
Réponses
I. 1) 06
dv
mmgVg R
dt =−µ−πηv ; 2) 0
0
6
ln
6
mg Vg Rv
m
tRmgVg
−µ−πη
=−πη − µ ou
()()
06
1exp
6
mg Vg Rt
vRm
−µπη
=−−
πη ; 3)
()
2
00
2
69
l
mg Vg gR
vR
−µµ−µ
==
πη η ; 4) somme des forces nulle ;
5) 2
2
6
R
m
R
µ
τ==
πη η
9
; 6) les petites ; 7) les grosses ; 8) .
3
2.10 SI
−
′
η=
II. 1) 2
cos cos( )
h
tg =−γβγ ; 2) 2
=β
γ.
III. 1) z
dr Rd u Rd u=−
J
JG
G
G
θ
θθ ; 2) 2ds Rd=θ ; 3) ; 4) 45==°αβ 22LR=π ;
5) 2
222
t
T
gg
=⇒=as
; 2
4
gt
R
=
θ ; 6) 8/TR=πg ; 7) 22 /2
42
rz
mg t mg
RRmgR
R
′′′
=−==
θ.
IV. 1) 2
cos g
θ=ωA ; cos
g
ω<αA ; 2)
()()
22
12
2 cos 2 cos
mg m
TT=ω+=ω−
αα
AA
g
;
2
1
cos cos
rup
T
g
m
⎛⎟
⎜
<ω<−⎟
⎜⎟
⎟
⎜
α⎝AA
g
⎞
α⎠
; 3) le fil supérieur se rompt si 2
1
cos
rup
Tg
m
⎛⎞
⎟
⎜
ω>−⎟
⎜⎟
⎟
⎜α⎝⎠A.
Exercices de dynamique, sans énergie, page 2

Corrigé
I.
1) 06
dv
mmgVg R
dt =−µ−πηv
G
G
G
G. En projetant sur un axe orienté vers le bas, 06
dv
mmgVg R
dt =−µ−πηv.
2) Cette équation différentielle se résout,
• soit comme une équation différentielle à variable séparable :
()[]
0
00
00 0 0
6
ln 6 ln
66 6
tv vmg Vg Rv
mdv m m
tdt mgVgRv
mg Vg Rv R R mg Vg
−µ−πη
== =−−µ−πη =−
−µ−πη πη πη −µ
∫∫
• soit comme une équation différentielle linéaire 0
6
dv
mRvmg
dt +πη =−µVg :
()
()
()()
0
0
6
exp 6
6
00 1exp
6
Rt mg Vg
vA mR
mg Vg Rt
vt v Rm
πη − µ
=−+πη
−µπη
==⇒=−−
πη
3) Si t, →∞ 0
6
l
mg Vg
vv R
−µ
→=πη .
4) La vitesse limite correspond au cas où la somme des forces est nulle.
5) En considérant que l’exponentielle est en
(
)
exp /t−τ, le temps caractéristique de l’évolution est 6
m
R
τ=πη .
6) Comme la masse est proportionnelle à , ce temps caractéristique est proportionnel à ; ce sont donc les
petites billes qui atteignent le plus vite leur vitesse limite.
3
R2 R
7) Comme la masse et le volume sont proportionnels à , la vitesse limite est proportionnelle à ; ce sont les
grosses billes qui ont la vitesse limite la plus grande.
3
R2 R
8)
0
6
l
RL
L
tvmg V
πη
== −µg
. Comme la masse volumique est approximativement la même pour l’eau et
l’iodoéthane,
0
µ
3
2.10 SI
tt −
′′
=⇒η =
′
ηη.
II.
1) Soit R
G
la réaction de la corde sur le mobile et a
G
l’accélération. La loi fondamentale de la dynamique s’écrit
Rmg ma+=
G
G
G. En projetant cette relation sur la corde, on obtient cos cosma mg a gγγ=⇒=
Le triangle CHE est rectangle en H, donc 2
1
2
2
cos
cos( ) cos cos( )
hh
CE g t t g γ
βγ γ βγ
==⇒=
−−
2) t est minimum si cos est maximum. cos( )γβγ−
Première démonstration : or 1
2
cos cos (cos( ) cos( ))ab ab ab=++−
Donc 1
2
cos cos( ) (cos cos(2 ))γβγ β γβ−=+− qui est maximum pour
cos(2 ) 1 2 0 2
β
γβ γβ γ−=⇒−=⇒=
Deuxième démonstration : cherchons le maximum de la fonction () cos cos( )
f
γγβ=−γ en étudiant le signe de sa
dérivée :
si
'( ) sin cos( ) cos sin( ) 0
sincos()cossin()tantan() 2
f
γγβγγβγ
β
γβγ γβγ γ βγ γβγγ
=−−+−>
−<−⇔ <−⇔<−⇔<
Donc ()
f
γ est maximum pour 2
β
γ=.
III. 1) dr rz z
dr u rd u dz u Rd u Rd u=+ += −
J
JG
G
GG G G
θθ
θθθ
22222 2dr r d dz ds Rd=+ +⇒=θθ. 2) ds .
3) Le tube fait avec l’horizontale l’angle tel que αtan 1 45
dz
rd
==⇒=°αα
θ et avec la verticale l’angle
tel que
β
1
cos 45
2
dz
ds
==⇒=°ββ
. Autre justification : . 90α+β=°
Exercices de dynamique, sans énergie, page 3

4) 2
0222s Rd R== =
∫∫
πθπLd .
5) D’après la loi fondamentale de la dynamique, mg R ma
′
+=
G
G
G, soit en projetant sur la tangente à la trajectoire
22
2
cos 222
TT
gds gt
mg ma a s
dt
===⇒=
β. 2
4
2
sgt
R
R
==
θ.
6) 28TR=⇒=θπ π/g.
7) mg R ma
′
+=
G
G
G. Les composantes horizontales de l’accélération s’expriment comme pour un mouvement
circulaire ; la composante verticale se calcule comme en coordonnées cartésiennes :
2
22
2
22
2
44
/2
242
rr
zz
dgt mgt
Rma mR mR
dt R R
RmamRmg
dgt
Rmgmamgm R R
dt
⎛⎛ ⎞⎞
⎟⎟
⎜⎜
′==−=−=−
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎝⎝ ⎠⎠
′== =
⎛⎛ ⎞⎞
⎟⎟
⎜⎜
′=+ =+ −=
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎝⎝ ⎠⎠
θθ
θ
θ
π
2
mg
=θA
Exercices de dynamique, sans énergie, page 4
IV.
1) Le mobile M décrit un cercle horizontal de rayon r. Projetons la loi fondamentale de la
dynamique Tm
sin
g ma+=
G
G
G sur la direction perpendiculaire au fil et située dans le plan contenant l’axe
et le point M : 2
2
sin cos cos g mg ma a rθ=θ=ω⇒ θ=ωA.
Le fil inférieur n’est pas tendu si 2cos cos cos
g
OM . <⇒θ<αθ>αω<α
AA
Remarque : si /gω, θ. <A=
T mg ma++ =
0
2) T12
G
G
G
G, soit en projection sur l’horizontale
()
et sur la verticale
()
.
2
12
sin sinTT m+α=ωαA
21
cos 0TT mg−α+=
()()
22
12
2 cos 2 cos
mg mg
=ω+=ω−
αα
AA
T< >
TT
.
La condition pour que T et T est
1rup 202
1
cos cos
rup
T
gg
m
⎛⎞
⎟
⎜
<ω<−⎟
⎜⎟
⎟
⎜
αα⎝⎠
AA .
3) C’est le fil supérieur, dont la tension est la plus grande, qui se rompt, à condition que 2
1
cos
rup
Tg
m
⎛⎞
⎟
⎜
ω. >−⎟
⎜⎟
⎟
⎜α⎝⎠
A
m
α
a
G
mg
G
1
T
G
2
T
G
m
O1
θ
T
G
a
G
mg
G