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Université Claude Bernard
L3 Calcul intégral
Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 1
Tribus.
Exercice 1 Vrai ou Faux ?
(1) Soit E un ensemble. Alors A ⊂ E ⇐⇒ A ∈ P(E).
(2) Soit (E, T ) un espace mesurable. Alors E ∈ T .
(3) T est une tribu sur E si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
-∅∈T.
- A ∈ T ⇒ Ac ∈ T . T
- (∀n ∈ N, An ∈ T ) ⇒ An ∈ T .
(4) Si E est dénombrable et T est une tribu sur E, alors T est dénombrable.
(5) La tribu borélienne BR est la tribu engendrée par les fermés de R.
(6) Un borélien est soit un ouvert, soit son complémentaire (c’est-à-dire un fermé).
Exercice 2 Soit X = {1, 2, 3}. Montrer que T = {∅, X, {1}, {2, 3}} est une tribu.
Exercice 3 Soit (X, T ) un espace mesurable et A, B des éléments de T . Montrer que A ∩ B ∈ T et
A∆B ∈ T .
Exercice 4 Les classes suivantes sont-elles des tribus ?
(a) F1 = {A ∈ P(R) t.q. A est finie }.
(b) F2 = {A ∈ P(R) t.q. A est finie ou Ac est finie }.
(c) F3 = {A ∈ P(R) t.q. A est au plus dénombrable ou Ac est au plus dénombrable }.
Exercice 5 Soit A ⊂ P(X). Déterminer la tribu engendrée σ(A ) dans les cas suivants :
(a) A = {A}, où A est une partie fixe de X.
(b) A = {{x}, x ∈ X}. On séparara le cas où X est fini ou dénombrable et le cas où X n’est pas au plus
dénombrable.
(c) A = {A ∈ P(X) t.q. A0 ⊂ A}, où A0 est une partie fixe de X.
Exercice 6 Combien y a-t-il de tribus différentes sur un ensemble à 3 éléments ? Sur un ensemble à 4
éléments ?
Exercice 7 Montrer que si A et B sont deux classes de parties de X telles que A ⊂ B, alors σ(A ) ⊂
σ(B). Montrer ensuite que σ(σ(A )) = σ(A ).
Exercice 8 Soit f : X → Y une fonction entre deux ensembles.
(a) Soit B une tribu sur Y . Monter que l’ensemble f −1 [B] := {f −1 (B), B ∈ B} est une tribu sur X.
Montrer que si B = σ(E ) alors f −1 [B] = σ({f −1 (B), B ∈ E }).
(b) Soit A une tribu sur X. Donner un exemple montrant que {f (A), A ∈ A } n’est pas nécessairement
une tribu sur Y . Montrer qu’en revanche {B ∈ P(Y ) t.q. f −1 (B) ∈ A } est une tribu sur Y .
Exercice 9 Tribu engendrée par une partition. Soit π = {Ai }i∈I une partition de X. Déterminer
σ(π) :
(a) Lorsque I est au plus dénombrable.
(b) Lorsque I n’est pas au plus dénombrable.
Exercice 10 (Partiel avril 2007) On rappelle que la tribu borélienne BR est la tribu engendrée par
la famille des intervalles ouverts ]a, b[, a < b. En déduire que BR est aussi la tribu engendrée par la
famille C suivante :
C = {] − ∞, t], t ∈ R}.
Exercice 11 La tribu borélienne de R. On munit R de la métrique usuelle et on note BR la tribu
borélienne de R.
(1) Montrer que tout ouvert, tout fermé et tout intervalle de R sont des boréliens.
(2) Montrer que BR est engendrée par une classe dénombrable.
1
(3) Montrer que BR n’est pas engendrée par une partition de R.
(4) Soit a ∈ R et Fa = {B ∈ BR t.q. B + a ∈ BR }. Montrer que Fa est une tribu. En déduire que
∀B ∈ BR , B + a ∈ BR . On dit que la tribu borélienne est invariante par translation.
s
s
(5) Soit BR
= {B ∈ BR t.q. B = −B}. Montrer que BR
est une tribu, que l’on appelle tribu des
boréliens symétriques.
Exercice 12 On travaille sur l’ensemble X = N.
(1) Pour n ∈ N, on note An = {[[0, n]], {n + 1}, {n
T + 2}, · · · } et Tn = σ(An ). Montrer que la suite (Tn )
est une suite décroissante. On note ensuite T = n∈N Tn . Montrer que T = {∅, N}.
0
0
(2) Pour n ∈ N, on note An0 = {{0},
S {1},0 · · · , {n − 1}, [[n, +∞[} et Tn = σ(An ). Montrer que la suite
0
(Tn ) est croissante. Montrer que n∈N Tn n’est pas une tribu.
Exercice 13 (*) On travaille sur l’ensemble X = N∗ . Pour n > 1, on note nN∗ l’ensemble des multiples
non nuls de n. Soit les classes A = {nN∗ , n > 1} et A 0 = {pN∗ , p > 1, p premier}. Montrer que
σ(A ) = P(X), mais que σ(A 0 ) 6= P(X).
Exercice 14 Soit X un ensemble et A ⊂ P(X) une classe de parties de X. Montrer que pour chaque
ensemble C ∈ σ(A ), il existe une sous-classe au plus dénombrable AC ⊂ A telle que C ∈ σ(AC ).
Exercice 15 Soient X et Y deux ensembles au plus dénombrables. Montrer que le produit des tribus
complètes est la tribu complète du prosuit cartésien, c’est-à-dire que P(X) ⊗ P(Y ) = P(X × Y ).
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Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 2
Mesures
Sauf mention contraire, µ dénote une mesure sur un espace mesurable (X, T ).
Exercice 1 Vrai ou Faux ?
(1) Si A ∈ T , alors µ(X) = µ(A) + µ(Ac ).
T
(2) Si (An ) est une suite décroissante d’éléments de T et µ(A2 ) < +∞, alors µ( n∈N An ) = limn→∞ µ(An ).
(3) Une réunion de parties de mesure nulle est de mesure nulle.
(4) Si A, B ∈ T et µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B), alors A et B sont disjoints.
(5) Il existe un espace mesuré (X, T , µ) tel que {µ(A), A parcourant T } = {0, 1, 2}.
(6) Il existe un espace mesuré (X, T , µ) tel que {µ(A), A parcourant T } = {0, 1, 3}.
(7) La mesure de comptage sur N est σ-finie.
Exercice 2 Soit µ la mesure
T de comptage sur (N, P(N)). Trouver une suite décroissante d’ensembles
(An ) telle que µ(An ) 6→ µ( n∈N An ).
S
Exercice 3 On rappelle que µ est σ-finie s’il existe une suite (An ) d’éléments de T telle que n An = X
et µ(An ) < +∞ pour tout n. Montrer que si µ est σ-finie, on peut choisir les An deux à deux disjoints.
Exercice 4 Soit (X, T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une
mesure finie sur (X, T ). On note D = {x ∈ X t.q. µ({x}) > 0}. Montrer que D est au plus dénombrable.
Cela reste-t-il vrai si on ne suppose plus que la mesure est finie ? Et si on suppose que la mesure est
σ-finie ?
Exercice 5
(a) Soient A et B deux parties mesurables telles que l’une d’elles soit de mesure finie. Montrer que
|µ(A) − µ(B)| 6 µ(A∆B).
(b) Soient A et B deux parties mesurables telles que µ(A) + µ(B) > µ(X). Montrer que A ∩ B 6= ∅.
n
S
(c) Soit (Ai )16i6n une suite finie de parties mesurables telle que
Ai = X. Montrer qu’il existe un
i=1
µ(X)
.
indice j tel que µ(Aj ) >
n
Exercice 6 (Partiel automne 2006) Soit (X, T , µ) un espace mesuré tel que µ(X) = 1. Soit T 0 ⊂ T
l’ensemble défini par
T 0 = {A ∈ T t.q. µ(A) = 0 ou µ(A) = 1}.
Montrer que T 0 est une tribu dans X.
Exercice 7 Soit (An )n>1 une suite quelconque de parties mesurables.
(a) Établir les encadrements suivants :
+∞
S
P
(a1) sup µ(An ) 6 µ(
An ) 6
µ(An ).
n>1
n=1
n>1
T
(a2) 0 6 µ(
An ) 6 inf µ(An ).
n>1
n>1
(b) Montrer les implications suivantes
:
S
(b1) ∀n, µ(An ) = 0 =⇒ µ(
An ) = 0.
n>1
(b2) µ(X) = 1 et ∀n, µ(An ) = 1 =⇒ µ(
T
An ) = 1.
n>1
Exercice 8 Soit (E, T , µ) un espace mesuré, tel que pour tout x ∈ E, {x} ∈ T et µ({x}) < +∞. On dit
que µ est diffuse (ou continue) si, pour tout x ∈ E, µ({x}) = 0. On dit que µ est discrète s’il existe un
ensemble D au plus dénombrable tel que µ(Dc ) = 0.
(a) Montrer que µ est diffuse si et seulement si toute partie A au plus dénombrable est µ−négligeable.
1
(b) Montrer que µ est discrète si et seulement s’il existe une suite (an )n>1 d’éléments de E et une suite
+∞
P
(cn )n>1 de réels positifs telles que µ =
cn δan .
n=1
(c) On suppose maintenant que la mesure µ est σ−finie. Montrer que µ s’écrit de façon unique µ = µc +
µd où µc est une mesure diffuse et µd est une mesure discrète.
Exercice 9 Mesure image. Soient (X, T ) et (Y, T 0 ) des espaces mesurables, et φ : X → Y une
fonction mesurable. Soit µ une mesure sur T . On définit ν : T 0 → [0, +∞] par ν(A) = µ(φ−1 (A)).
(a) Montrer que ν est une mesure sur T 0 . On dit que c’est la mesure image de µ par φ, et on la note φ∗ µ.
(b) On choisit µ = δa , où a ∈ X. Déterminer φ∗ δa .
(c) On suppose que µ est une mesure sur T vérifiant µ(X) = 1. On fixe B ∈ T et on choisit (Y, T 0 ) =
(R, BR ). Déterminer (1B )∗ µ.
Exercice 10 Applications préservant une mesure.
On fixe un espace mesuré (X, T , µ), avec µ(X) < +∞. On dit qu’une application f : X → X préserve
µ si pour tout A ∈ T , f −1 (A) ∈ T et µ(A) = µ(f −1 (A)). Soit f une application qui préserve µ. On pose
f 1 = f , et f n+1 = f n ◦ f , pour n > 1.
(1) Monter que f n préserve µ pour tout n > 1.
(2) On fixe A ∈ T . Soit F = {x ∈ A t.q. ∀n > 1, f n (x) 6∈ A}.
(2a) Montrer que F ∈ T .
(2b) Pour p > 1, soit Fp = (f p )−1 (F ). Montrer que les ensembles (Fp ) sont deux à deux disjoints.
(2c) En déduire que µ(F ) = 0.
Exercice 11 Fonction de répartition. Soit µ une mesure sur (R, BR ) telle que µ(R) = 1.
Pour tout t ∈ R, on pose F (t) = µ(] − ∞, t[).
(a) Montrer que F est à valeurs dans [0, 1].
(b) Montrer que F est croissante.
(c) Déterminer les limites de F (t) quand t tend vers +∞ ou −∞.
(d) Montrer que F est continue à gauche et admet une limite à droite en tout point. Donner une condition
nécessaire et suffisante portant sur µ pour que F soit continue sur R.
On suppose désormais que F est continue sur R.
(e) Soit x ∈]0, 1[. Montrer que F −1 ({x}) est un intervalle compact non vide de R. On note cet intervalle
[sx , tx ].
(f) Montrer que t < sx si et seulement si F (t) < x.
(g) Soit ν = F∗ µ la mesure image de µ par l’application F . Que vaut ν(] − ∞, x[) pour x ∈ R ?
(h) Soient a et b deux réels tels que a < b. Montrer qu’il existe un segment I ⊂ [a, b], de longueur 21 (b − a)
et tel que µ(I) = 12 µ([a, b]).
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Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 3
Fonctions mesurables.
Fonctions mesurables.
Sauf mention contraire, on travaille dans un espace mesurable (X, T ).
Exercice 1 Vrai ou Faux ?
(1) L’ensemble [2, 3[∩Q est un borélien de R.
(2) Une fonction f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs est étagée.
(3) Si f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) est mesurable et g : (X2 , T2 ) → (X3 , T3 ) est étagée, alors gof : (X1 , T1 ) →
(X3 , T3 ) est étagée.
(4) Si f : (X, T ) → R vérifie que pour tout fermé F ⊂ R, f −1 (F ) ∈ T , alors f est mesurable.
(5) Si f : R → R est borélienne et ne s’annule pas, alors 1/f est borélienne.
(6) L’ensemble A = {x ∈ R t.q. cos(x) = sin(sin x)} est un borélien de R.
Exercice 2 Soit A ⊂ X. Montrer que la fonction 1A est mesurable si et seulement si A ∈ T .
Exercice 3 (Examen juin 2007 2ème session).
Soit f : R → R l’application définie par
(
x + 1 si x > 0
f (x) =
−x si x < 0.
Montrer que f est borélienne.
Exercice 4 Soit f : X → R mesurable et g : X → R définie par g(x) = 1 si f (x) ∈ Q et g(x) = 0 sinon.
Montrer que g est mesurable.
Exercice 5 Soit f : X → R. On définit pour tout M > 0 la fonction fM par


f (x) si |f (x)| < M
fM (x) = M si f (x) > M


−M si f (x) 6 −M.
Montrer l’équivalence entre (A) et (B) :
(A) f est mesurable.
(B) ∀M > 0, fM est mesurable.
Exercice 6 Décrire les fonctions mesurables de (X, T ) dans R dans les cas suivants :
(1) T = {∅, X}.
(2) T = P(X).
Exercice 7 Soit f : R → R une fonction dérivable. Montrer que la dérivée f 0 est borélienne.
Exercice 8 Soit f : R → R une fonction monotone. Montrer que f est borélienne.
Exercice 9 Soit (fn ) une suite de fonctions mesurables de X dans R.
(a) Soit A = {x ∈ X t.q. la suite (fn (x))n∈N converge} et B = {x ∈ X t.q. la suite (fn (x))n∈N est
bornée}. Montrer que A et B sont dans T .
(b) Soit a ∈ R. On définit g : X → R par g(x) = inf{n ∈ N t.q. fn (x) > a}, avec la convention inf ∅ = 0.
Montrer que g est mesurable.
Exercice 10 On note L0 (X, T ) l’ensemble des fonctions mesurables de X dans R.
(a) Montrer que toute fonction constante appartient à L0 (X, T ).
(b) Montrer que f ∈ L0 (X, T ) ⇒ |f | ∈ L0 (X, T ) mais que la réciproque est fausse.
1
(c) Soit X = R et Ts la tribu dans X engendrée par les singletons. Montrer que f ∈ L0 (X, Ts ) si et
seulement si il existe un ensemble D ⊂ R au plus dénombrable tel que f|Dc soit constante.
Exercice 11 Soit X un ensemble (on ne se donne pas de tribu sur X). Soit f une fonction de X dans
R.
(a) Montrer qu’il existe sur X une plus petite tribu, notée Tf telle que f : (X, Tf ) → R soit mesurable.
(b) Décrire Tf dans le cas où X = R et f (x) = x2 .
(c) Décrire Tf dans le cas où X = R et f : R → R est la fonction "partie entière".
(d) On revient au cas général. Soit g : X → R une autre fonction. Montrer que g est mesurable (pour la
tribu Tf ) si et seulement si il existe une fonction h : R → R mesurable telle que g = h ◦ f .
Exercice 12 Soit X un ensemble (on ne se donne pas de tribu sur X). On note B(X) l’ensemble des
fonctions bornées de X dans R. Si f ∈ B(X), on pose kf k = supx∈X |f (x)|. On remarquera que B(X)
est un espace vectoriel.
Soit E un sous-espace vectoriel de B(X). On dit que E est régulier s’il vérifie
(i) 1X ∈ E
(ii) Si f et g appartiennent dans E, alors max(f, g) appartient à E.
(iii) Si (fn ) est une suite d’éléments de E telle que supn∈N kfn k < ∞ et qui converge simplement vers
une fonction f , alors f appartient à E.
1. Soit T une tribu sur X et BM (X, T ) l’ensemble des fonctions de X dans R qui sont bornées et
mesurables (pour T ). Montrer que BM (X, T ) est un sous-espace vectoriel régulier de B(X).
2. Réciproquement, soit E un sous-espace vectoriel régulier de B(X). On va construire une tribu T
dans X telle que E = BM (X, T ).
(a) Soit T = {A ∈ P(X) t.q. 1A ∈ E}. Montrer que T est une tribu dans X.
(b) Montrer que BM (X, T ) ⊂ E.
(c) On fixe f ∈ E et α ∈ R. On pose A = {x ∈ X t.q. f (x) 6 α} et g = max(f, α) − α. Montrer
que g(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ A. On pose ensuite pour n > 1, gn = n inf(g, 1/n). Quelle est la limite
simple de la suite (gn ) ? En déduire que A ∈ T , puis que f ∈ BM (X, T ). Conclure.
Exercice 13 (Théorème d’Egoroff, Partiel avril 2007)
Soit (X, T , µ) un espace mesuré tel que µ(X) < +∞ et (fn ) une suite de fonctions mesurables de X
dans R, convergeant simplement vers une fonction f .
1. La fonction f est-elle nécessairement mesurable ?
2. On pose pour k ∈ N∗ et n ∈ N,
Enk =
\
{x ∈ X t.q. |fp (x) − f (x)| 6 1/k}.
p>n
k
? entre Enk et Enk+1 ?
Montrer que Enk ∈ T · Quelle relation y a-t-il entre Enk et En+1
S
∗
k
3. Montrer que ∀k ∈ N , X = n∈N En . En déduire que
∀ε > 0, ∀k ∈ N∗ , ∃nk ∈ N t.q. µ(X \ Enkk ) 6
ε
.
2k
4. En déduire que ∀ε > 0, ∃A ∈ T tel que µ(A) 6 ε et (fn ) converge uniformément vers f sur X \ A.
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Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 4
Mesure de Lebesgue. Intégration.
Soit (E, T , µ) un espace mesuré. On rappelle qu’une propriété P (x) est vraie µ-presque partout
(µ-p.p.) si µ({x t.q. P (x) est fausse}) = 0. On désigne par λ la mesure de Lebesgue sur R.
Exercice 1 (Partiel avril 2007)
Dans cet exercice, µ est une mesure sur (R, BR ) qui vérifie les conditions suivantes :
(C1 ) ∀x ∈ R, µ({x}) = 0.
(C2 ) Pour tous réels a < b : µ([a, b]) < +∞.
1. La mesure de Lebesgue λ sur R vérifie-t-elle ces conditions ? Et la mesure de Dirac δ0 ?
1 1
2. Calculer lim µ(] − , [). Montrer que µ(Q) = 0·
n→∞
n n
3. Soit A ∈ BR . On définit la fonction fA comme suit :
(
R → [0, +∞[
fA :
x 7→ fA (x) = µ(A ∩ [−|x|, |x|])
Pourquoi la fonction fA est-elle bien définie ? Calculer fA (x) pour A = Q.
4. On suppose dans cette question que µ = λ. Représenter graphiquement l’allure de fA pour A = R.
Même question pour A = [0, 1] (il est inutile de justifier le tracé des graphes).
Exercice 2 Invariance par translation de la mesure de Lebesgue.
1) On a vu précédemment que si x ∈ R et A ∈ BR , alors x + A ∈ BR .
(a) On fixe x ∈ R. Soit µ : BR → [0, +∞] définie par µ(A) = λ(x + A) pour A ∈ BR . Montrer que µ est
une mesure sur BR .
(b) En déduire que λ(x + A) = λ(A) pour tout x ∈ R et A ∈ BR . On dit que la mesure de Lebesgue est
invariante par translation.
2) Soit µ une mesure sur BR vérifiant µ([0, 1]) = 1 et µ(x + I) = µ(I) pour tout x ∈ R et pour tout
intervalle I ⊂ R.
(a) Soit B un borélien borné de R ; montrer que µ(B) < +∞. En déduire que µ est σ-finie.
(b) Montrer que µ({x}) = 0 pour tout x ∈ R. Ainsi la mesure µ est diffuse.
Pour t ∈ R, on pose
(
µ([0, t[) si t > 0
F (t) =
.
−µ([t, 0[) si t 6 0
(c) Montrer que si 0 6 s 6 t, alors F (t) − F (s) = F (t − s).
(d) En déduire que F (nt) = nF (t), ∀n ∈ N, ∀t > 0.
(e) Montrer que cette égalité est encore vraie pour n ∈ Z et t ∈ R.
(f) En déduire que pour tout r ∈ Q et t ∈ R, on a F (rt) = rF (t). Calculer F (r), d’abord pour r ∈ Q
puis pour tout r ∈ R.
(g) Déduire de tout cela que µ = λ.
Quelles sont les mesures sur BR qui sont invariantes par translation ?
Exercice 3
1. Soit U un ouvert de R. Montrer que λ(U ) = 0 si et seulement si U = ∅.
2. Soient f et g deux applications continues de R dans R. Montrer que f = g λ − p.p. ⇐⇒ f = g.
3. Soit f : R → R. On considère les deux propritétés suivantes :
(P1) : f est continue λ-p.p.
(P2) : Il existe une fonction g : R → R continue telle que f = g λ-p.p.
Donner l’exemple d’une fonction f1 qui vérifie (P1) mais qui ne vérifie pas (P2), et d’une fonction
f2 qui vérifie (P2) mais qui ne vérifie pas (P1).
1
4. Soit ε > 0. Montrer qu’il existe un ouvert U dense dans R tel que λ(U ) 6 ε.
5. Soit A un borélien de R. On définit l’application f : R+ → R par f (x) = λ(A ∩ [−x, x]). Montrer
que pour tous x, y > 0, on a |f (x) − f (y)| 6 2|x − y|. En déduire que f est continue, puis que pour
tout t ∈ [0, λ(A)], il existe un borélien B tel que B ⊂ A et λ(B) = t.
Exercice 4 Vrai ou Faux ?
R
(1) Si f = 1A avec A ∈ T , alors f dµ = µ(A).
(2) Si f : E → [0, +∞] est mesurable et vérifie µ(f −1 ({+∞})) = 0, alors f est intégrable.
(3) Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable.
R
Exercice 5 Ecrire de manière plus simple la quantité f dµ lorsque :
(a) µ est une mesure de Dirac.
(b) µ est la mesure de comptage sur N.
Exercice 6 Soit (X, T , µ) un espace mesuré et f : X → [0, +∞] une application mesurable. Montrer
que Z:
f dµ < +∞ =⇒ f < +∞ µ-p.p.
(a)
ZX
f dµ = 0 =⇒ f = 0 µ-p.p.
(b)
X
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Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 5
Théorème de convergence monotone.
Exercice 1 Soit µ une mesure sur (X, T ) et f : X →Z R+ une application mesurable.
(a) Soit A = {x ∈ X t.q. f (x) > 1}. Déterminer lim
f n dµ.
n→∞ A
Z
R
(b) On suppose X f dµ < +∞. Déterminer lim
f n dµ.
n→∞
Ac
Exercice 2 (Partiel automne 2006) Soit µ une mesure sur (R, BR ) telle que µ(R) = 1.
1) Soit (fn ) une suite décroissante de fonctions boréliennes
et positives qui converge simplement vers f .
R
On suppose que f0 est intégrable (c’est-à-dire que f0 dµ < ∞). Montrer que
Z
Z
lim
fn dµ = f dµ.
n→+∞
Z
Pour n ∈ N, on pose In =
(cos πt)2n dµ(t).
R
2) Montrer que ∀n ∈ N, In < ∞.
3) Montrer que la suite (In )n est décroissante.
4) Déterminer lim In .
n→∞
Exercice 3 Soit µ une mesure Z
sur (R+ , BR+ ) telle que µ(R+ ) = 1.
Pour x > 0, on pose F (x) =
e−xt dµ(t).
R+
(a) Montrer que la fonction F est à valeurs dans [0, 1].
(b) Montrer que la fonction F est décroissante.
(c) Soit (xn ) une suite croissante de réels positifs tels que lim xn = +∞. Déterminer lim F (xn ).
n→∞
n→∞
Conclusion ?
Exercice 4 (Partiel automne 2006)
1) Pour k ∈ N∗ , soit (an,k )n∈N∗ une suite telle que :
(H1) ∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ N∗ , an,k > 0 ;
(H2) pour tout entier n fixé, la suite (an,k )k∈N∗ est croissante.
∞
∞
X
X
an .
an,k =
On note an = lim an,k . Montrer que lim
k→∞
k→∞
n=1
n=1
2) Soit (X, T ) un espace mesurable. Soit (µk ) une suite de mesures sur T telles que :
(H) pour tout A ∈ T , la suite (µk (A)) est croissante.
Pour A ∈ T , on note µ(A) = lim µk (A).
k→∞
En utilisant la question 1, montrer que µ est une mesure sur T .
3) Sous les hypothèses
R de la question 2, montrer que pour toute fonction f : X → [0, +∞], f T mesurable, la suite ( f dµk ) est croissante (on pourra commencer par le cas où f est étagée).
4) Sous les hypothèses de la question 2, montrer que pour toute fonction f : X → [0, +∞], f T -mesurable,
on a
Z
Z
lim
f dµk = f dµ.
k→∞
On pourra commencer par le cas où f est étagée.
Exercice 5 (Partiel avril 2007)
(a) Soit I un intervalle de R. Montrer que si (fn )n∈N est une suite de fonctions boréliennes positives de
I dans R, alors
!
Z
XZ
X
fn (x)dx =
fn (x) dx.
n∈N
I
I
1
n∈N
(b) En déduire la valeur de
+∞ Z
X
+∞
1
n=3
x
dx.
(1 + x)n
Exercice 6 (Partiel avril 2007)
Déterminer, pour tout α ∈ R, la limite suivante :
Z
lim
n→∞
1
xα +
0
ex
n
−1
dx.
Exercice 7 (Examen juin 2007)
Soient (E, T , µ) un espace mesuré et f : E → R+ une fonction mesurable.
(1) On suppose que µ est finie. Pour n ∈ N, soit En = f −1 ([n, n + 1[). Montrer que f est µ-intégrable si
∞
X
et seulement si
nµ(En ) < +∞.
n=0
(2) On ne suppose plus que µX
est finie. Pour n ∈ Z, soit Fn = f −1 ([2n , 2n+1 [). Montrer que f est
µ-intégrable si et seulement si
2n µ(Fn ) < +∞.
n∈Z
2
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L3 Calcul intégral
Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 6
Convergence dominée.
On note λ la mesure de Lebesgue sur R.
Exercice 1 (Examen Juin 2008 session 2) Calculer la limite
Z +∞
n sin(x/n)
dx.
lim
n→+∞ 1
x3
Indication : Comment majorer sin u quand u proche de 0 ?
Exercice 2 Soit (X, T , µ) un espace mesuré et f : X → R une fonction
µ-intégrable.
Z
1) Pour n > 0, soit An = {x ∈ X t.q. |f (x)| > n}. Déterminer lim
f dµ.
n→+∞
An
2) OnZsuppose de plus que f est à valeurs strictement positives. On fixe A ∈ T , µ(A) < +∞. Déterminer
f 1/n dµ.
lim
n→∞
A
Exercice 3 Soit f : R+ → R une fonction continue. On suppose de plus que f est λ-intégrable.
Déterminer la limite suivante :
Z +∞
exp(−n sin2 x)f (x)dx.
lim
n→∞
0
Exercice 4 Soit µ une mesure sur (R, BR ) telle que µ(R) = 1 et
a) Montrer que t 7−→ tn est µ-intégrable pour tout entier positif n.
b) Soit z ∈ C. Montrer
Z que t 7−→ exp(zt) est µ-intégrable.
c) On pose F (z) =
R
R
exp(a|t|)dµ(t) < +∞, ∀a > 0.
exp(zt)dµ(t). Montrer que F a un développement en série entière de la forme
R
F (z) =
X
an z n ,
n∈N
où l’on explicitera les coefficients (an ).
Soit (X, T , µ) un espace mesuré ; onZsuppose que la mesure µ est finie. Soit f : X −→ R+
fn
dµ. Calculer lim In .
une fonction T − mesurable et, pour n > 1, In =
n
n→+∞
X 1+f
Exercice 5
Exercice 6 Dans cet exercice, X désigne un intervalle de R, muni de sa tribu borélienne.
1. On suppose X =]0, 1[ ; soit 0 < α < +∞. A quelle condition la fonction x 7→ x1α est-elle intégrable
sur X ?
2. Même question avec X = [1, +∞[ et X =]0, +∞[.
3. Dans la suite de l’exercice, on suppose X =]0, +∞[, et on considère la fonction f : x 7→ sin(x)
x .
Montrer que f n’est pas intégrable sur X.
4. On introduit fn = f.1]0,n]
R ; montrer que (fn ) converge uniformément vers f , que chaque fn est
intégrable sur X, et que X fn dλ a une limite quand n tend vers +∞.
5. Conclusion ?
Z
Exercice 7 Montrer que les fonctions suivantes sont λ-intégrables sur I et déterminer lim
fn dλ
n→∞
nx sin x
où 1 < α < 2.
a) I = [0, 1] et fn (x) =
1 + (nx)α
n2 x exp(−n2 x2 )
b) I = [A, +∞[ où A > 0 et fn (x) =
.
1 + x2
√
c) I = [0, 1] et fn (x) = n1[ n1 , n2 [ (x).
1
I
Exercice 8 On pose fn (x) = n(1 − x)n sin2 (nx)1[0,1] (x).
a) Déterminer la limite simple (notée f ) de la suite (fn ).
b) Justifier que, ∀u > 0, 1 −Ru 6 exp(−u).
c) En déduire que la suite ( R fn (x)dx)n converge et que
Z
∞
+∞
fn (x)dx 6=
lim
n→∞
Z
f (x)dx.
−∞
−∞
Exercice 9 Soit (X, T , µ) un espace mesuré et (fn )n>0 une suite décroissante de fonctions µ− intégrables
convergente vers 0 µ-pp. Montrer que
!
Z
Z
+∞
+∞
X
X
n
n
(−1)
fn dµ =
(−1) fn dµ.
X
n=1
X
n=1
On pourra utiliser les résultats du cours de L2 sur les séries alternées.
Exercice 10 (Examen juin 2007) On considére pour n ∈ N, n > 2, les fonctions fn :]0, +∞[→ R
définies par
1
n .
fn (x) =
1/n
1 + nx
x
(1) Montrer que pour tout n > 2, fn est Lebesgue-intégrable sur ]0, +∞[.
(2) Démontrer que pour n > 2 et x > 1, on a fn (x) 6 x42 .
Z +∞
(3) Calculer lim
fn (x)dx.
n→+∞
0
Exercice 11 Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x, on pose fn (x) = e−nx − 2e−2nx .
P
1. Montrer que
fn (x) est une série convergente pour tout x > 0 et calculer sa somme f (x).
Z
f (x)dx et
2. Comparer
R+
∞ Z
X
n=1
fn (x)dx. Expliquer.
R+
Exercice 12 On munit l’espace [0, 1] de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue.
1. Soit (fn ) une suite de fonctions définies sur R+ par

2

n x
fn (x) = −n2 (x − 2/n)


0
R
R
R
Calculer lim inf fn dλ, lim inf fn dλ, lim sup fn dλ
si 0 ≤ x < 1/n
si 1/n < x ≤ 2/n
sinon.
R
et lim sup fn dλ.
2. Même question avec la suite de fonctions (gn ) définie par g2p = 1[0,1/(2p)] , g2p+1 = 1[1/(2p+1),1] .
Exercice 13
sin(x)
est Lebesgue-intégrable sur [0, +∞[.
ex − 1
∞
X
2. Montrer que pour tout x > 0 on peut écrire f (x) =
e−nx sin(x). Est-ce vrai pour x = 0 ?
1. Montrer que la fonction f : x 7→
n=1
Z
3. En déduite que
0
+∞
∞
X
sin(x)
1
dx
=
.
x
2
e −1
n +1
n=1
Exercice 14 (*) Pour tout n > 1, on pose fn (x) = (1 −
Z ∞
Z ∞
In =
fn (x)dx et Jn =
gn (x)dx.
0
0
2
x2 n
√
n ) 1[0, n] (x),
gn (x) = (1 −
x2 1/2
fn (x)
n )
,
n π
.
n+1 4
Z ∞
2
2. En déduire la valeur de
e−x dx.
1. Montrer que In Jn =
0
Exercice 15 Soit µ une mesure finie sur ([0, 1], B[0,1] ). Pour k ∈ N, on pose
Z
mk = mk (µ) =
tk dµ(t).
[0,1]
a) Déterminer lim mk .
k→∞
b) Pour γ > 0, p ∈ N, a ∈]0, 1], on pose
Z
exp (−γ(t/a)p ) dµ(t).
Jp (γ, a) =
[0,1]
Montrer que
Jp (γ, a) =
X (−1)k γ k
mpk .
k! apk
k∈N
c) Déterminer lim Jp (γ, a).
p→∞
d) Soient µ et ν deux mesures finies sur [0, 1] vérifiant mk (µ) = mk (ν), ∀k ∈ N. Déduire de ce qui précède
que pour tous a, b dans [0, 1] vérifiant a < b, on a µ([a, b[) = ν([a, b[).
e) En déduire que µ = ν.
Exercice 16 Soit (X, T , µ) un espace mesuré et f : X → R+ une fonction telle que, pour tout
R n > 1,
f n est µ− intégrable. On pose A = {x ∈ X t.q. f (x) > 1} , B = {x ∈ X t.q. f (x) > 1} et Jn = X f n dµ
1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(a) La suite (Jn )n>1 est convergente.
(b) La suite (Jn )n>1 est majorée.
(c) µ(B) = 0.
2. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
+∞
P
(d) La série
(−1)n+1 Jn est convergente.
n=1
(e) La suite (Jn )n>1 converge vers 0.
(f) µ(A) = 0.
3
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L3 Calcul intégral
Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 7
Fonctions définies par des intégrales.
Z ∞
1 − cos(xt) dt
cos(xt)
dt
et
G(x)
=
.
1 + t2
t2
1 + t2
0
0
(1) Montrer que F et G sont continues sur R. Calculer F (0) et G(0).
(2) Etablir l’égalité valable pour tout réel x :
Z
∞
Exercice 1 Pour x ∈ R, on pose F (x) =
Z
F (0) − F (x) + G(x) = C|x|, où C =
0
∞
sin2 (t)
dt.
t2
(3a) Montrer que G est de classe C 2 sur R et vérifie G00 (x) = F (x) pour tout réel x.
(3b) En utilisant la question 2, en déduire que F est de classe C 2 sur R∗+ et vérifie une équation différentielle du second ordre.
(3c) En déduire l’expression de F (x) pour x > 0 (on pourra remarquer qur la fonction F est bornée sur
R). Calculer enfin F (x) pour tout réel x.
(4) Déduire de tout cela la valeur de la constante C.
Z x
2
Z 1
exp(−x2 (1 + t2 ))
2
dt.
exp(−t )dt
et G(x) =
Exercice 2 Pour x > 0, on pose F (x) =
1 + t2
0
0
1
+
(1a) Montrer que F et G sont de classe C sur R .
(1b) Calculer F 0 (x) + G0 (x) pour
Z x > 0.
Z
∞
exp(−t2 )dt puis de J =
(2) En déduire la valeur de I =
0
exp(−t2 /2)dt.
R
Exercice 3
(examen juin 2007, 2ème session)
Z +∞
ln(1 + αx2 )
On pose I(α) =
dx.
1 + x2
0
1) Montrer que I(α) est bien définie lorsque α > 0.
2) Montrer que la fonction I : R+ → R est dérivable sur R∗+ et exprimer I 0 (α), pour α > 0, sous la
forme d’une intégrale.
3) Montrer que I est continue en 0.
4a) Soit α > 0, α 6= 1. Décomposer la fraction rationnelle
x2
en éléments simples.
(1 + x2 )(1 + αx2 )
4b) En déduire la valeur de I 0 (α) pour α > 0.
4c) Calculer I(α) pour α > 0.
Z
+∞
sin(x)
x
0
1. Montrer que f est continue sur R+ et deux fois dérivable sur R∗+ .
Exercice 4 Soit f la fonction définie sur R+ par f (t) =
2
e−tx dx.
2. Calculer f 00 et les limites en +∞ de f et f 0 .
3. En déduire une expression simple de f .
Exercice 5 Soit µ une mesure sur (R+ , BR+ ) telle que µ(R+ ) = 1.
+
+
R(1) Montrer que pour tout x ∈ R , t → cos(xt) est µ-intégrable sur R . On pose alors pour x > 0, F (x) =
cos(xt)dµ(t).
R+
(2) Montrer que F est continue sur R+ .
1 − F (x)
(3) On suppose que l’application t → t2 est µ-intégtrable. Déterminer lim
. On pourra remarquer
x→0
x2
2
et justifier l’inégalité 1 − cos(u) 6 u /2.
1
(4) On ne suppose plus que t → t2 est µ-intégrable, mais on suppose que lim
x→0
1 − F (x)
= 0.
x2
1 − F (x)
. Montrer que G est bornée sur R+ .
x2
(4b) En déduire que t → t2 est µ-intégrable. On pourra penser au lemme de Fatou.
(4c) Que peut-on en déduire pour la mesure µ ?
Z
2
Exercice 6 Pour x ∈ R, on pose F (x) =
eixt e−t /2 dt.
(4a) Soit G définie sur R+ par G(x) =
R
(1) Montrer que F est continue sur R.
(2) Montrer que F est dérivable sur R.
(3a) Montrer que F satisfait à une équation différentielle du premier ordre.
(3b) En déduire la valeur de F (x) pour x réel. On utilisera le résultat de la question 2 de l’exercice 2.
Z ∞
1 x2
2
+t
dt.
Exercice 7 Pour x ∈ R, on pose F (x) =
exp −
2 t2
0
(1) Montrer que F est continue sur R.
(2) Montrer que F est dérivable sur R∗ .
(3) Montrer que pour x > 0, on a F 0 (x) = −F (x).
(4) En déduire la valeur de F (x) pour x réel. On utilisera aussi le résultat de la question 2 de l’exercice
2.
exp(−x) − exp(−tx)
.
Exercice 8 Pour x > 0 et t > 0, on pose f (t, x) =
x
(1) Montrer que pour tout tR> 0, la fonction x → f (t, x) est λ-intégrable sur R+ .
∞
Pour t > 0, on pose F (t) = 0 f (t, x)dx.
(2a) Montrer que F est continue sur ]0, +∞[.
(2b) Montrer que F est dérivable sur ]0, +∞[.
(2c) Calculer F 0 (t) et en déduire la valeur de F (t) pour tout t > 0.
Z ∞
exp(−x2 y)
dx.
Exercice 9 Pour y > 0, soit F (y) =
1 + x2
0
+
(1) Montrer que F est continue sur R . Calculer F (0) et déterminer lim F (y).
y→+∞
(2a) Montrer que F est dérivable sur R∗+ .
(2b)RMontrer que F vérifie sur R∗+ une équation différentielle du premier ordre s’exprimant à l’aide de
∞
I = 0 exp(−x2 )dx.
(2c) En déduire, sous forme intégrale, une expression de F (y) valable pour y > 0.
(2d) Retrouver enfin la valeur de I.
Exercice 10
(1) Montrer que pour tout x > 0,
l’application t → tx−1 e−t est λ-intégrable sur R+ .
R∞
(2) Pour x > 0, on pose Γ(x) = 0 tx−1 e−t dt. Montrer que Γ est continue sur R∗+ . Montrer ensuite que
Γ est de classe C ∞ sur R∗+ .
Z +∞
sin t −xt
Exercice 11 Soit F (x) =
e dt.
t
0
1. Montrer que F est de classe C 1 sur R∗+ .
2. Pour x > 0, calculer F 0 (x) puis F (x) .
Z +∞
arctan(tx)
Exercice 12 (*) Soit F (t) =
dx.
2
−∞ x(1 + x )
1. Montrer que F est de classe C 1 sur R. Calculer F 0 (t) puis F (t) .
2
Z +∞ arctan x
2. En déduire la valeur de
dx.
x
−∞
Z
Exercice 13
On rappelle qu’on a vu lors d’un TD précédent que l’intégrale généralisée I =
0
est convergente.
2
+∞
sin(x)
dx
x
+∞
e−xt
sin(x)dx.
x
0
a Montrer que S est de classe C 1 sur ]0, +∞[, et calculer S 0 (t) pour t > 0.
Z
1. Pour tout t ≥ 0 on pose S(t) =
b Déterminer la limite de S en +∞ puis S(t) pour tout t ∈]0, +∞[.
Z +∞ −tx
e
sin(x) 2
2. Soit A > 0 et t > 0. Montrer que dx ≤ .
x
A
A
Z A −tx
Z A
e
sin(x)
sin(x)
3. Prouver que pour tout A > 0 on a lim+
dx =
dx.
x
x
t→0
0
0
Z +∞
sin(x)
4. En déduire la valeur de
dx.
x
0
3
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L3 Calcul intégral
Mathématiques
Feuille d’exercices numéro 8
Mesures produits
Exercice 1 On désigne par λ (respectivement µ) la mesure de Lebesgue (respectivement la mesure de
comptage) sur ([0, 1], B[0,1] ). Soit ∆ = {(x, x); x ∈ [0, 1]}. Est-ce que ∆ est un borélien de R2 ? Justifier
ensuite l’existence des intégrales itérées suivantes, et les comparer :
!
Z
Z
I1 =
1∆ (x, y)dλ(x) dµ(y)
[0,1]
[0,1]
Z
!
Z
I2 =
1∆ (x, y)dµ(y) dλ(x)
[0,1]
[0,1]
Quelle conclusion peut-on tirer de cet exercice ?
Exercice 2 Pour x ∈ R et y > 0, on pose f (x, y) = y x . Soient a et b tels que −1 < a < b. Montrer que
f est λ2 -intégrable sur [a, b] × [0, 1]. En déduire la valeur de l’intégrale
Z
I=
0
Exercice 3 Pour y > 0, on pose fy (x, t) =
1
yb − ya
dy.
ln(y)
1
.
(1 +
+ y 2 t2 )
1. Montrer que fy est λ2 -intégrable sur [0, 1] × R+ .
R1
2. Soit g(y, t) = 0 fy (x, t)dx. Justifier que g est λ2 -intégrable sur [0, 1] × R+ .
2
Z +∞ arctan t
dt.
3. En déduire la valeur de l’intégrale I =
t
0
x2 t2 )(1
Exercice 4
Z
+∞
ln(x)
dx est bien définie et que I = 2
2−1
x
0
2. Calculer de deux façons différentes l’intégrale
Z
dxdy
.
2
R+ ×R+ (1 + y)(1 + x y)
1
Z
1. Montrer que l’intégrale I =
0
ln(x)
dx.
x2 − 1
En déduire que I = π 2 /4.
3. Déduire des questions précédentes et d’un développement en série entière de
1
que
1 − x2
+∞
X
1
π2
1
π2
=
,
puis
que
=
.
2
2
(2n + 1)
8
n
6
n=0
n=1
+∞
X
Exercice 5 Soit µ une mesure sur R, B(R) telle que µ(R) = 1. Pour t ∈ R, on pose
Fµ (t) = µ(] − ∞, t[); Gµ (t) = µ(]t, +∞[); Hµ (t) = µ({t}).
1. Montrer que les fonctions Fµ , Gµ et Hµ sont boréliennes.
2a. Soit ν une autre mesure sur R, B(R) telle que ν(R) = 1. Montrer que
1
R
R
Fµ dν =
R
R
Gν dµ.
2b. Soit Dµ = {t ∈ R t.q. Hµ (t) 6= 0} et Dν = {t ∈ R t.q. Hν (t) 6= 0}. Justifier que les ensembles Dµ
et Dν sont au plus dénombrables et montrer l’égalité suivante
Z
Z
X
Fµ dν +
µ({t})ν({t}) = 1.
Fν dµ +
R
R
t∈Dµ ∩Dν
Exercice 6 Soit µ une mesure sur R, B(R) telle que µ(R) = 1. Pour s > 0 et x ∈ R, on pose :
Z
s
dµ(t).
Hsµ (x) = Hs (x) =
2
2
R s + (x − t)
Le but de cet exercice est de montrer que Hsµ = Hsν =⇒ µ = ν.
1. Montrer que Hs est continue sur R et déterminer la limite de Hs (x) quand x tend vers ±∞.
2. Soit a ∈ R. Déterminer lim+ sHs (a).
s→0
Z
1 b
3. Soient a < b deux réels. Déterminer lim
Hs (x)dx.
s→0+ π a
4. Soient µ et ν deux mesures sur (R, BR ) telles que µ(R) = ν(R) = 1. On suppose que Hsµ = Hsν
pour tout s > 0. Montrer que µ = ν.
Exercice 7 Pour (x, y) ∈ [−1, 1]2 , on pose
(
f (x, y) =
xy
(x2 +y 2 )2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 sinon
1. Montrer que les intégrales itérées de f existent et sont égales
2. La fonction f est-elle λ2 -intégrable sur [−1, 1]2 ?
Exercice 8 Pour (x, y) ∈ R2 , on pose
 1

 (x+1)2
1
f (x, y) = − (x+1)
2


0
si x > 0 et x < y < 2x
si x > 0 et 2x < y < 3x .
sinon
1. Montrer que f : R2 → R est borélienne.
Z
2. Prouver que pour tout y ∈ R, f (., y) est Lebesgue-intégrable ; pour tout y on définit ϕ(y) =
R
Montrer que ϕ est Lebesgue-intégrable et calculer R ϕ(y)dy.
f (x, y)dx.
R
Z
3. Prouver que pour tout x ∈ R, f (x, .) est Lebesgue-intégrable ; pour tout x on définit ψ(x) =
R
Montrer que ψ est Lebesgue-intégrable et calculer R ψ(x)dx.
f (x, y)dy.
R
4. Qu’en pensez-vous ?
Exercice 9 (Examen juin 2007) Z ∞
Z +∞
x 2
x 2
Pour x réel, soit F (x) =
exp −
− u2 du = 2
exp −
− u2 du.
u
u
−∞
0
(a) Montrer que la fonction F ainsi définie est continue et bornée sur R.
(b) Montrer que F est dérivable sur R∗ , et exprimer F 0 (x) en fonction de F (x) pour x > 0.
(c) En déduire la valeur de F (x) en fonction de F (0) pour x réel.
(d) Ecrire F (0)2 comme une intégrale sur R2 et en déduire la valeur de F (0) (on pourra penser aux
coordonnées polaires).
2
Exercice 10
1. Montrer que la fonction x 7→ sin x/x n’est pas λ-intégrable sur R+ . On peut néanmoins définir
l’intégrale comme suit, à condition que la limite existe
∞
Z
I=
0
sin x def
dx = lim
A→∞
x
Z
0
A
sin x
dx.
x
2. Soit la fonction f : R+ × R+ → R définie par f (x, y) = exp(−xy) sin(x). La fonction f est-elle
λ2 -intégrable sur R+ × R+ ?
3. Montrer que f est λ2 -intégrable sur [0, A] × R+ pour tout nombre A > 0.
4. En déduire la valeur de I.
Exercice 11 Soit µ une mesure sur (R, BR ) telle que µ(R) = 1. Pour x réel, on pose
Z
φ(x) =
exp(ixt)dµ(t).
R
1. Montrer que la fonction φ est continue et bornée sur R.
2. Soit n > 1 et a ∈ R. Montrer que
Z n
Z
1
exp(−iax)φ(x)dx =
Kn (t − a)dµ(t)
2n −n
R
où Kn est une fonction que l’on explicitera.
Z n
1
exp(−iax)φ(x)dx.
3. Déterminer lim
n→∞ 2n −n
4. En déduire que si φ est λ-intégrable sur R, alors µ est une mesure diffuse.
Exercice 12
En calculant de deux façons
Z
+∞
1
Z
e−x sin(2xy)dydx,
I=
x=0
Z
déterminer la valeur de
+∞
e−x
0
y=0
sin2 x
dx.
x
Exercice 13 Dans cet exercice, (E, A, µ) un espace mesuré σ-fini, et f : E → R+ une fonction mesurable.
1. Montrer que A = {(x, t) ∈ E × R+ : f (x) ≥ t} ∈ A ⊗ B(R+ ).
2. En utilisant le théorème de Tonelli, prouver que
Z
Z +∞
f dµ =
µ({x ∈ E : f (x) ≥ t})dt
E
0
3. Soit maintenant ϕ : R+ → R+ une fonction croissante deRclasse C 1 nulle en 0. En vous inspirant de
x
la question précédente, et en utilisant le fait que ϕ(x) = 0 ϕ0 (t)dt, montrer que
Z
Z
ϕ ◦ f dµ =
E
+∞
ϕ0 (t)µ({x ∈ E : f (x) ≥ t})dt
0
3
Contrôle continu partiel du 28 novembre 2011
Mesure et Intégration (Licence L3). Semestre d’automne 2011
La durée de l’épreuve est de 1h30. Les deux exercices sont indépendants et peuvent être
traités dans l’ordre qui vous conviendra ; un barème sur 21 points figure à titre indicatif. On
attachera du prix à la présentation et à la rédaction des solutions.
EXERCICE 1 (sur 8 points)
Question 1 (1 point). Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x ≥ 0 , on pose :
n −2 x
x

f n ( x ) = ( 1 + n ) e si 0 ≤ x ≤ n
si x > n
0
Montrer que la fonction f n est Lebesgue intégrable sur [ 0, + ∞ [ .
Question 2 (2 points). Calculer, pour tout réel x ≥ 0 , la limite lim ( 1 + nx ) e −2 x .
n
n →+∞
Question 3 (2 points). Montrer que l’on a : ( 1 + nx ) ≤ e pour tout réel x ≥ 0 et
tout entier n ≥ 1 .
n
x
Question 4 (3 points). Déduire de ce qui précède que l’on a :
n
lim ∫ ( 1 + nx ) e −2 x dx = 1 .
n →+∞
n
o
EXERCICE 2 (sur 13 points)
NOTATIONS. On considère l’espace mesuré ( X , B , λ ) , où X = [ 0,1] , B est la tribu
des Boréliens de [ 0,1] , et λ la mesure de Lebesgue sur [ 0,1] . On désigne par
( B1 , B2 ,...) une suite infinie de parties Boréliennes de X , et on note B l’ensemble
des x ∈ [ 0,1] qui appartiennent à une infinité de Bn . Enfin, on appelle subdivision de
ℝ une suite σ = (t k )k∈ℤ qui vérifie :
(i) t k < tk + 1 pour tout k ∈ ℤ et δ( σ ) = Sup t k + 1 − tk < +∞ ;
k∈ℤ
(ii) lim t k = +∞ et lim t k = −∞ .
k →+∞
k →−∞
Question 1 (2 points). Montrer que B est un Borélien de [ 0,1] (INDICATION : on
(
)
pourra remarquer que B = ∩ ∪ Bk ).
n≥ 1 k≥ n
Question 2 (3 points). On suppose que
∑ λ( B
n≥ 1
B est λ − négligeable.
n
) < +∞ . Montrer que l’ensemble
Dans ce qui suit, on désigne par f : [ 0,1] → ℝ une fonction λ -intégrable sur X .
1
Question 3 (3 points). Soit σ = (t k )k∈ℤ une subdivision de ℝ et posons, pour tout
k ∈ ℤ , Bk = { x ∈ [ 0,1] tk ≤ f ( x ) < tk + 1 } . Montrer que Bk est un Borélien de [ 0,1] et
que l’on a :
(i) ∑ λ( Bk ) = 1 ,
k∈ℤ
(ii) t k λ( Bk ) ≤
∫
fdλ ≤ t k + 1 λ( Bk ) pour tout k ∈ ℤ .
Bk
Question 4 (3 points). Choisissons, pour toute subdivision σ = (t k )k∈ℤ de ℝ et
tout k ∈ ℤ , un point ξ k ∈ t k ,tk + 1  . Montrer que l’on a, pour tout k ∈ ℤ :
ξ k λ( Bk ) ≤ δ( σ )λ( Bk ) +
∫
f dλ .
Bk
En déduire la convergence de la série
∑ ξ λ( { x ∈ [0,1]
k∈ℤ
k
Question 5 (2 points). On pose S( f ,σ ,ξ ) =
t k ≤ f ( x ) < tk + 1 } ) .
∑ ξ λ( { x ∈ [0,1]
k∈ℤ
k
t k ≤ f ( x ) < tk + 1 } ) .
1
∫ fdλ − S( f ,σ ,ξ ) ≤ δ( σ ) ; en déduire que :
Montrer que l’on a
o
1
∫ fdλ =
o
lim
δ ( σ ) →0
∑ ξ λ( { x ∈ [0,1]
k∈ℤ
k
__
2
tk ≤ f ( x ) < t k + 1 } ) .
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Université Claude Bernard Lyon I. Année universitaire 2011-2012
Licence STS, UE MAT 3002L (Mesure et Intégration)
CONTRÔLE CONTINU TERMINAL DU VENDREDI 20 JANVIER 2012
La durée de l’épreuve est de 3h. L’exercice et le problème sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre qui vous convient. Un barème (sur 21 points) figure à
titre indicatif ; on attachera du prix à la rédaction des solutions.
EXERCICE (sur 4 points)
On considère la fonction f : 0, ̟2  → ℝ définie par :
 sin x si cos x ∈ ℚ
f( x) =  2
 sin x si cos x ∉ ℚ
Question 1 (2 points). Montrer que la fonction f est Lebesgueintégrable sur 0, ̟2  .
Question 2 (2 points). Calculer l’intégrale de Lebesgue
∫
̟
2
o
f ( x )dx .
PROBLÈME (sur 17 points)
Question 1 (3 points). Montrer que, si la fonction x → sinx x est intégrable au sens de Lebesgue sur l’intervalle 0,+∞
+∞  , alors les fonctions
x → sinx x , x
l’intervalle
2
→
, x → cosx x sont intégrables au sens de Lebesgue sur
+∞  . En déduire que la fonction x → sinx x n’est pas in ̟2 ,+∞
cos x
x
2
tégrable au sens de Lebesgue sur l’intervalle 0, +∞  .
Dans ce qui suit, on cherche à établir la convergence de l’intégrale
impropre I =
+∞
∫
0
X
sin x
x
dx = lim
X →+∞
∫
sin x
x
dx , et à calculer sa valeur. A cet ef-
0
fet, on considère la fonction f : 0, +∞  × 0, +∞  → ℝ définie par :
f ( x, y) = exp( − xy ) sin x .
Question 2 (4 points). Montrer que, pour tout x ≥ 0 , la fonction
fx ( y ) = f ( x, y) est intégrable sur 0, +∞  pour la mesure de Lebesgue
+∞
dy . Calculer
∫ f ( y)dy . En déduire que la fonction
x
f n’est pas inté-
0
grable sur 0, +∞  × 0, +∞  pour la mesure de Lebesgue deux dimensionnelle dx dy (Indication : on pourra utiliser la conclusion de la
question 1).
Question 3 (3 points). Montrer que l’on a f ( x, y) ≤ exp( − xy)x pour
tout x ≥ 0 et tout y ≥ 0 . En déduire que, pour tout X > 0 fixé, la fonction f est intégrable sur 0, X  × 0, +∞  pour la mesure de Lebesgue
deux dimensionnelle dx dy .
Question 4 (1 point). Montrer que l’on a, pour tout X > 0 :
X
+∞ X


sin x
dx
=
exp(
−
xy)
sin
x
dx

 dy .
∫0 x
∫0  ∫0

Question 5 (2 points). Montrer que l’on a, pour tout X > 0 :
X
cos X − y sin X
.
∫0 exp( − xy) sin xdx = 1+1y2 − exp( − Xy) 1 + y2
Question 6 (3 points). Montrer que l’on a :
+∞
cos X − y sin X
lim ∫ exp( − Xy )
dy = 0 .
X →+∞ 0
1 + y2
Question 7 (1 point). Déduire de ce qui précède que l’intégrale impropre :
I=
∫
+∞
0
sin x
x
dx
converge, et donner sa valeur.
___________
Université Claude Bernard Lyon I. Année universitaire 2010-2011
Licence STS, UE MAT 3002L (Calcul Intégral)
CONTRÔLE CONTINU PARTIEL DU LUNDI 29 NOVEMBRE 2010
La durée de l’épreuve est de 2H30. Un barème figure à titre indicatif. On attachera
du prix à la rédaction des solutions.
EXERCICE 1 (sur 10 points)
On note T la famille des Boréliens de ℝ qui sont dénombrable ou
de complémentaire dénombrable. Si A ∈ T , on note 1A la fonction caractéristique de A . Enfin, on désigne par λ la mesure de Lebesgue
sur ℝ , et on note dλ( x ) = dx .
Question 1 (1 point). Montrer que T est une tribu sur ℝ .
Question 2 (3 points). Montrer que, pour tout A ∈ T , la fonction
1 (x)
x → A 2 est Lebesgue-intégrable sur ℝ . Pour A ∈ T , on pose :
1+ x
1 (x)
dx
µ( A ) = ∫ A 2 dλ( x ) = ∫
ℝ1+ x
A 1 + x2
Montrer que µ est une mesure positive finie sur T . Montrer enfin
que les ensembles µ − négligeables de l’espace ( ℝ , T , µ) sont les sousensembles dénombrables de ℝ .
Question 3 (3 points). Soit e : ℝ → ℝ une fonction simple relativement à l’espace mesuré ( ℝ , T , µ) . Montrer qu’il existe un Borélien
de ℝ de complémentaire dénombrable sur lequel e prend une valeur
constante. Montrer que, si la suite ( e1 ,e2 ,...) de fonctions simples
converge µ − presque partout vers la fonction f , alors f : ℝ → ℝ est
constante sur un Borélien de ℝ de complémentaire dénombrable.
Question 4 (3 points). Déduire de la question 3 qu’une fonction
f : ℝ → ℝ est µ − mesurable si et seulement si elle est constante sur
un Borélien de ℝ de complémentaire dénombrable. Montrer qu’une
fonction f : ℝ → ℝ est µ − intégrable si et seulement si elle prend une
valeur constante c réelle sur un Borélien de complémentaire dénombrable, et que l’on a dans ce cas : ∫ fd µ = c ̟ .
ℝ
EXERCICE 2 (sur 5 points)
Pour tout entier n ≥ 1 et tout x ≥ 0 , on pose :
n sin x
.
(1 + nx )(1 + x )
Question 1 (2 points). Montrer que la fonction fn est Lebesguefn ( x ) =
intégrable sur 0,+∞
+∞  pour tout n ≥ 1 .
Question 2 (3 points). Montrer que, pour tout x ≥ 0 , la suite
+∞
n sin x
( fn ( x ))n≥1 converge. En déduire lim ∫
dx .
n→+∞
(1
+
nx
)(1
+
x
)
o
EXERCICE 3 (Sur 6 points)
On considère la fonction f :  0, +∞  ×  0, ∞  → ℝ définie par :
1 − exp( −t 2 x )
f ( x,t ) =
.
t2
Question 1 (2 points). Montrer que l’application t → f ( x,t ) est Lebesgue-intégrable sur  0,∞
∞  pour tout x ≥ 0 . Montrer que la fonction
F : 0,+∞
+∞ → ℝ
définie par
F( x ) =
+∞
∫ f ( x,t )dt
est continue sur
o
+∞  .
 0,+∞
Question 2 (3 points). Montrer que F est dérivable sur  0,+∞
+∞  et
+∞
̟
̟
que F'( x ) = 2 x pour tout x > 0 (on admettra que ∫ exp( −t 2 )dt =
).
2
o
Question 3 (1 point). Déduire de ce qui précède la valeur de F ( x )
pour tout x ≥ 0 . Vérifier que F n’est pas dérivable à droite en 0 .
Montrer que ce dernier résultat pouvait être obtenu directement à
partir de la définition de F , sans calculer explicitement F ( x ) .
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