exercices 4e math

EXERCICES(4é.Math) B.Tabbabi
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1.Les deux suites réelles définie sur
*
par
1
2
n
un
et v
1
3
nn
sont adjacentes.
2.L'ensemble des points M du plan d'affixes z i + e
i
où
0,2
est un cercle.
3. L'ensemble des isométries laissant globalement invariant un triangle équilatéral ABC de centre O est:
22
, ,
33
, , , ,
OA OB OC OO
S S S r r
.
4.La fonction f : x
sin
2 sin
xx
xx
est prolongeable par continuité en 0.
Exercice 2:
ABC est un triangle équilatéral direct de centre O.A' , B' et C' sont les milieux respectifs de [BC] , [AC] et [AB].On note I
le milieu de [AB'] et
la médiatrice de
[AB'].
Soit l'ensemble des isométries du plan transformant le segment [AB'] en le segment [BC'].
1.Montrer que la rotation R de centre O et d'angle
23
est un élément de .
2.Soit f un élément quelconque de .On pose g
1
Rf
.
a.Déterminer
'g AB
.
b.Déterminer toutes les isométries laissant le segment [AB'] globalement invariant.
c.En déduire que
'
, , ,
IAB
R R S R S R S
.
Exercice 3 :
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
2 2 3 1 3 0z i z i    
.
2.Soit dans l'équation ( E ) :
32
2 1 2 5 2 3 0z i z i z i      
.
a.Vérifier que ( E ) admet une solution imaginaire pure
0
z
que l'on déterminera.
b.Résoudre alors ( E ).
3.Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct
, , O u v
,on considère les points
A , B et C d'affixes respectives 1 , i et 1 + 3i .
Soit l'application f : P P M( z ) M ' ( z' ); z' = i
z
+ 1 + i .
a.Montrer que f est une isométrie.
b.Déterminer les images de A , B et C par f.
c.Caractériser alors f.
4.La droite ( BC ) coupe ( O ,
u
) en H.Déterminer l'affixe de H.
Exercice 4:
On considère la suite réelle ( u
n
) définie sur par u
0
= 1 et u
2
11
n
nn
u
u
pour tout n de .
1.Montrer que pour tout n de , u
1
n
.
2.Vérifier que ( u
n
) est croissante.
3.a. Vérifier que pour tout k de on a :
22
12
1
2
kk k
uu u
.
b.En déduire que pour tout k de on a :
22
11
2 2
k k k k
u u u u
.
c.Montrer alors que pour tout entier n
1
on a :
2
2 1 2 1
nn
n u n u    
.
d. Déduire que pour tout n de ; u
2 1
nn
puis calculer
lim n
nu
.
4.a.Montrer que pour tout n de ;
1 
22
1 2 1
1
n n n
n
u u u
( on pourra utiliser le résultat de 3.c.)
b.Calculer alors
lim
nn
n
u
.