exercices 4e math

EXERCICES(4é.Math)
B.Tabbabi
Exercice 1:
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1
1
et v n  3 
sont adjacentes.
n
n
2.L'ensemble des points M du plan d'affixes z  i + e i  où   0, 2  est un cercle.
3. L'ensemble des isométries laissant globalement invariant un triangle équilatéral ABC de centre O est:


S
,
S
,
S
,
r
,
r
 OA 
2   .
OB 
OC 
 2 

O ,

O , 


3
3  




x  sin x
4.La fonction f : x
est prolongeable par continuité en 0.
2 x  sin x
1.Les deux suites réelles définie sur
*
par u n  2 
Exercice 2:
ABC est un triangle équilatéral direct de centre O.A' , B' et C' sont les milieux respectifs de [BC] , [AC] et [AB].On note I
le milieu de [AB'] et  la médiatrice de [AB'].
Soit  l'ensemble des isométries du plan transformant le segment [AB'] en le segment [BC'].
2
1.Montrer que la rotation R de centre O et d'angle
est un élément de  .
3
2.Soit f un élément quelconque de  .On pose g  R 1 f .
a.Déterminer g AB ' .
b.Déterminer toutes les isométries laissant le segment [AB'] globalement invariant.


c.En déduire que   R, R S I , R S AB ' , R S .
Exercice 3 :
1.Résoudre dans l'ensemble
2.Soit dans
des nombres complexes l'équation : z 2   2  3 i  z  1  3 i  0 .
l'équation ( E ) : z 3  2 1  2 i
z 2
 5 i  2  z  3  i  0 .
a.Vérifier que ( E ) admet une solution imaginaire pure z 0 que l'on déterminera.
b.Résoudre alors ( E ).
3.Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct
 O , u , v  ,on considère les points
A , B et C d'affixes respectives 1 , i et 1 + 3i .
Soit l'application f : P  P
M( z )
M ' ( z' ); z' =  i z + 1 + i .
a.Montrer que f est une isométrie.
b.Déterminer les images de A , B et C par f.
c.Caractériser alors f.
4.La droite ( BC ) coupe ( O , u ) en H.Déterminer l'affixe de H.
Exercice 4:
On considère la suite réelle ( u n ) définie sur
1.Montrer que pour tout n de
par u 0 = 1 et u n 1
1  u n2
pour tout n de

un
.
, u n  1.
2.Vérifier que ( u n ) est croissante.
on a : u k2 1  u k2  2 
3.a. Vérifier que pour tout k de
b.En déduire que pour tout k de
1
.
u k2
on a : 2  u k2 1  u k2  2  u k 1  u k .
c.Montrer alors que pour tout entier n  1 on a : 2n  u n2  1  2n  u n  1 .
d. Déduire que pour tout n de
4.a.Montrer que pour tout n de
 n
b.Calculer alors lim 
 .
n  u
 n 
; un 
2n 1 puis calculer lim u n .
n  
1
2n
1
 2  1  2 ( on pourra utiliser le résultat de 3.c.)
; 1 
un
un
un