Image d`un intervalle par une fonction continue

4AsecondaireSAI.Fethi
Imaged’unintervalleparunefonctioncontinue
Théorème01:
L’imaged’unintervalleparunefonctioncontinueestunintervalle.
Théorème02:(Théorèmedesvaleursintermédiaires):
SoitfunefonctioncontinuesurunintervalleI.
SoitaetbdeuxréellesdeItelsquea<b.Pourtousréelkcomprisentref(a)et
f(b)l’équationf(x)=kadmetaumoinsunesolutiondans
[
]
,ab.
Enparticulier,sif(a).f(b)<0alorsl’équationf(x)=0admetaumoinsune
solutiondans .
][
,ab
Théorème03:(C’estuncorollaireduThéorèmedesvaleurs
intermédiaires).
SoitfunefonctioncontinueetstrictementmonotonesurunintervalleI.
SoitaetbdeuxréellesdeItelsquea<b.Pourtousréelkcomprisentref(a)et
f(b)l’équationf(x)=kadmetuneuniquesolutiondans
[
]
,ab.
Théorème04:
SoitfunefonctioncontinuesurunintervalleI.
Silafonctionfnes’annuleenaucunpointdeIalorsfgardeunsigneconstant
surI.
Théorème05:
L’imaged’unintervalleferméborné
[
]
,abparunefonctioncontinueestun
intervalleferméborné
[
]
,mM .(Notation:
[
]
[
]
(, ,
f
ab mM=).
Leréelmestleminimumdefsur
[
]
,ab.

LeréelMestlemaximumdefsur
[
]
,ab.
Théorème06:
1. Soitfunefonctiondéfiniesurunintervalledetype
[
[
,( , )b Iaba=∈∈\\
Ia=+∞
¾ Silafonctionfestcroissanteetmajoréealors:
.
lim ( )
xbfx l
−
→=∈\
¾ Silafonctionfestcroissanteetnonmajoréealors:
.
lim ( )
xbfx
−
→=+∞
2. Soitfunefonctiondéfiniesurunintervalledetype
)a∈\:
[[
,(
¾ Silafonctionfestcroissanteetmajoréealors:
.
lim ( )
xfx l →+∞ =∈\
¾ Silafonctionfestcroissanteetnonmajoréealors:
.
lim ( )
xfx →+∞ =+∞
3. Soitfunefonctiondéfiniesurunintervalledetype
]
]
,( , )Iaba b=∈∈\\
:
¾ Silafonctionfestdécroissanteetminoréealors:
.
lim ( )
xafx l
+
→=∈\
¾ Silafonctionfestdécroissanteetnonminoréealors:
.
lim ( )
xafx
+
→=−∞
4. Soitfunefonctiondéfiniesurunintervallede
type
]
]
,( )Ibb=−∞ ∈\:

¾ Silafonctionfestdécroissanteetminoréealors:
.
lim ( )
xfx l →−∞ =∈\
¾ Silafonctionfestdécroissanteetnonminoréealors:
.
lim ( )
xfx →−∞ =−∞
Imaged’unintervalleIparunefonctionfcontinueet
monotonesurI
IntervalleISifestcroissantesurI SifestdécroissantesurI
[
]
,
I
ab=
[
]
() (), ()
f
Ifafb=
[
]
() (), ()
f
Ifbfa=
[[
,( ,Iaba b=∈∈\\)
() (),lim ()
xb
f
Ifa fx
−
→
⎡⎡
=⎢⎢
⎣⎣
() lim (), ()
xb
f
Ifxf
−
→
⎤⎤
=⎥⎥
⎦⎦
a
[[
,(Ia a=+∞ ∈\)
() (),lim ()
x
f
Ifa fx
→+∞
⎡⎡
=⎣⎣
() lim (), ()
x
f
Ifxf
→+∞
⎤⎤
=⎦⎦ a
]
[
,( ,Iaba b=∈∈\\)
() lim (),lim ()
xa xb
f
Ifxf
+−
→→
⎤⎡
=⎥⎢
⎦⎣
x
( ) lim ( ), lim ( )
xb xa
f
Ifxf
−+
→→
⎤⎡
=⎥⎢
⎦⎣
x
]
]
,( )Ibb=−∞ ∈\() lim (), ()
x
f
Ifxf
→−∞
⎤⎤
=⎦⎦ b
() (),lim ()
x
f
Ifb fx
→−∞
⎡⎡
=⎣⎣
]
[
,I=−∞+∞=\( ) ( ) lim ( ), lim ( )
xx
f
I f fx fx
→−∞ →+∞
⎤⎡
==
⎦⎣
\( ) ( ) lim ( ), lim ( )
xx
f
I f fx fx
→+∞ →−∞
⎤⎡
==
⎦⎣
\
]
[
,(Ibb=−∞ ∈\)
( ) lim ( ), lim ( )
xxb
f
Ifxf
−
→−∞ →
⎤⎡
=⎥⎢
⎦⎣
x
( ) lim ( ), lim ( )
x
xb
f
Ifxf
−→−∞
→
⎤⎡
=⎥⎢
⎦⎣
x
]
[
,(Ia a=+∞ ∈\)
( ) lim ( ), lim ( )
x
xa
f
Ifxf
+→+∞
→
⎤⎡
=⎥⎢
⎦⎣
x
( ) lim ( ), lim ( )
xxa
f
Ifxf
+
→+∞ →
⎤⎡
=⎥⎢
⎦⎣
x
]
]
,( , )Iaba b=∈∈\\
() lim (), ()
xa
f
Ifxf
+
→
⎤⎤
=⎥⎥
⎦⎦
b
() (),lim ()
xa
f
Ifb fx
+
→
⎡⎡
=⎢⎢
⎣⎣
mardi22juillet2008