Université de Nice – Sophia Antipolis Licence Mathématiques 2

Universit´e Nice Sophia Antipolis Licence Informatique 2
Outils Formels pour l’Informatique 2016–2017
TD n◦6
Suites r´ecurrentes
Exercice 1) La complexit´e p(n)dans le pire des cas de l’algorithme du tri rapide (quick-sort) pour trier
une liste de nnombres v´erifie l’´equation de r´ecurrence ci-dessous. R´esolvez-la, c’est-`a-dire exprimez le
terme g´en´eral p(n)de la suite (p(n))n≥2en fonction de nuniquement.
p(2) = 3
∀n > 2, p(n) = p(n−1) + n+ 1
Exercice 2) R´ ecurrence compl` ete – R´esoudre la relation de r´ecurrence :
∀n≥0, un= 3
n−1
X
k=0
uk+ 1
Exercice 3) R´ ecurrence lin´ eaire d’ordre 2 – On consid`ere l’ensemble Mdes mots sur l’alphabet {a, b, c}
tels que les suites (maximales) de ccons´ecutifs soient toujours de longueur paire. Ainsi, le mot accbcccca
est un mot de M, mais le mot accbccca n’est pas un mot de M.
1. Trouvez tous les mots de Mde longueur ninf´erieure ou ´egale `a 3.
2. On consid`ere la d´efinition inductive suivante de l’ensemble M:
( B) ε∈ M
( I ) Pour tout m∈ M,
am ∈ M
bm ∈ M
ccm ∈ M
3. Cette d´efinition inductive est-elle ambigu¨e ?
4. Trouvez une relation de r´ecurrence caract´erisant le nombre Mndes mots de longueur nappar-
tenant `a M.
5. R´esolvez l’´equation de r´ecurrence correspondante, c’est-`a-dire exprimez Mnen fonction de nseule-
ment.
Exercice 4) ´ Equation de partition – Lorsque l’on analyse l’algorithmede tri par fusion on trouve l’´equation
de r´ecurrence suivante :
Tmerge sort(1) = a
Tmerge sort(n) = 2Tmerge sort(n/2) + bn
o`u aet bsont des constantes. L’algorithme fonctionne de la fac¸on suivante : si la longueur du tableau
`a trier est n= 2k, alors on divise le tableau en 2 sous-tableaux de longueur n/2. Dans le premier sous-
tableau, on met les ´el´ements du tableau d’indices pairs, et dans l’autre sous-tableau, les ´el´ements d’indices
impairs. Puis, on rappelle l’algorithme de Tri par fusion sur chacun des 2 sous-tableaux. Une fois ces

deux appels r´ecursifs termin´es, on fusionne les 2 sous-tableaux qui sont cette fois tri´es de fac¸on `a avoir un
tableau de longueur ntri´e. Le temps de division et fusion est ´evalu´e `a bn.
R´esoudre l’´equation de r´ecurrence, et trouver par cons´equent la complexit´e de cet algorithme.
Exercice 5) R´ ecurrence lin´ eaire d’ordre 2 – R´esoudre la relation de r´ecurrence suivante `a l’aide de son
´equation caract´eristique :
u0= 1
u1= 2
∀n≥2, un= 3un−1−un−2
Exercice 6) ´ Equation de partition – On s’int´eresse au parcours d’un arbre binaire ayant un nombre
maximal de nœuds.
1. D´eterminez le nombre maximal unde nœuds d’un arbre binaire de hauteur n.
2. En arrondissant un`a 1 pr`es, on obtient la relation de r´ecurrence suivante :
T(20) = 1
∀n > 0, T (2n) = 2T(2n−1) + 1
R´esolvez cette ´equation de partition en effectuant un changement de variable.