Université de Nice – Sophia Antipolis Licence Mathématiques 2

Université Nice Sophia Antipolis
Outils Formels pour l’Informatique
Licence Informatique 2
2016–2017
TD n◦ 6
Suites récurrentes
Exercice 1) La complexité p(n) dans le pire des cas de l’algorithme du tri rapide (quick-sort) pour trier
une liste de n nombres vérifie l’équation de récurrence ci-dessous. Résolvez-la, c’est-à-dire exprimez le
terme général p(n) de la suite (p(n))n≥2 en fonction de n uniquement.
p(2) = 3
∀n > 2, p(n) = p(n − 1) + n + 1
Exercice 2) Récurrence complète – Résoudre la relation de récurrence :
∀n ≥ 0, un = 3
n−1
X
uk + 1
k=0
Exercice 3) Récurrence linéaire d’ordre 2 – On considère l’ensemble M des mots sur l’alphabet {a, b, c}
tels que les suites (maximales) de c consécutifs soient toujours de longueur paire. Ainsi, le mot accbcccca
est un mot de M, mais le mot accbccca n’est pas un mot de M.
1. Trouvez tous les mots de M de longueur n inférieure ou égale à 3.
2. On considère la définition inductive suivante de l’ensemble M :
( B) ε ∈ M
( I ) Pour tout m ∈ M,
am ∈ M
bm ∈ M
ccm ∈ M
3. Cette définition inductive est-elle ambiguë ?
4. Trouvez une relation de récurrence caractérisant le nombre Mn des mots de longueur n appartenant à M.
5. Résolvez l’équation de récurrence correspondante, c’est-à-dire exprimez Mn en fonction de n seulement.
Exercice 4) Équation de partition – Lorsque l’on analyse l’algorithme de tri par fusion on trouve l’équation
de récurrence suivante :
Tmerge sort (1) = a
Tmerge sort (n) = 2Tmerge
sort (n/2)
+ bn
où a et b sont des constantes. L’algorithme fonctionne de la façon suivante : si la longueur du tableau
à trier est n = 2k , alors on divise le tableau en 2 sous-tableaux de longueur n/2. Dans le premier soustableau, on met les éléments du tableau d’indices pairs, et dans l’autre sous-tableau, les éléments d’indices
impairs. Puis, on rappelle l’algorithme de Tri par fusion sur chacun des 2 sous-tableaux. Une fois ces
deux appels récursifs terminés, on fusionne les 2 sous-tableaux qui sont cette fois triés de façon à avoir un
tableau de longueur n trié. Le temps de division et fusion est évalué à bn.
Résoudre l’équation de récurrence, et trouver par conséquent la complexité de cet algorithme.
Exercice 5) Récurrence linéaire d’ordre 2 – Résoudre la relation de récurrence suivante à l’aide de son
équation caractéristique :

 u0 = 1
u1 = 2

∀n ≥ 2, un = 3un−1 − un−2
Exercice 6) Équation de partition – On s’intéresse au parcours d’un arbre binaire ayant un nombre
maximal de nœuds.
1. Déterminez le nombre maximal un de nœuds d’un arbre binaire de hauteur n.
2. En arrondissant un à 1 près, on obtient la relation de récurrence suivante :
T (20 ) = 1
∀n > 0, T (2n ) = 2T (2n−1 ) + 1
Résolvez cette équation de partition en effectuant un changement de variable.