OLYMPIADES FRANC¸ AISES DE MATH ´
EMATIQUES
MATH ´
EMATIQUES
FRANC¸AISES
OLYMPIADES
OFM
TEST DE JANVIER 2017
Corrig´
e
Exercice 1. Trouver toutes les fonctions f:R→Rtelles que
f(a2)−f(b2)6(f(a) + b)(a−f(b)),pour tous a, b ∈R.
Solution de l’exercice 1 En prenant (a, b) = (0,0), on obtient f(0)260donc f(0) = 0. En prenant
(a, b) = (x, 0) puis (a, b) = (0, x), on trouve que f(x2) = xf(x). En remplac¸ant dans l’´
equation
initiale, on en d´
eduit que af(a)−bf(b)6(f(a) + b)(a−f(b), donc f(a)f(b)6ab pour tous a, b.
D’autre part, f(x2) = xf(x)entraˆ
ıne que xf(x) = −xf (−x), donc fest impaire. En remplac¸ant
bpar −bdans f(a)f(b)6ab, on en d´
eduit que f(a)f(b) = ab pour tous aet b. En particulier,
f(1)2= 1 donc f(1) = 1 ou f(1) = −1. Comme f(a)f(1) = apour tout a, on en d´
eduit que
f(x) = xou f(x) = −xpour tout x.
R´
eciproquement, on v´
erifie facilement que les fonctions f(x) = xet f(x) = −xsont solutions
de l’´
equation fonctionnelle.
Exercice 2. Soit Sl’ensemble des nombres `
a deux chiffres qui ne contiennent pas le chiffre 0.
Deux nombres de Ssont dits amis si leurs plus grands chiffres sont ´
egaux, et si la diff´
erence
entre leurs plus petits chiffres est ´
egale `
a1. Par exemple, 68 et 85 sont amis, 78 et 88 sont amis,
mais 58 et 75 ne sont pas amis.
D´
eterminer le plus grand entier mtel qu’il existe une partie Tde Sposs´
edant m´
el´
ements, telle
que deux ´
el´
ements quelconques de Tne soient pas amis.
Solution de l’exercice 2 R´
eponse : 45. On peut prendre pour Tl’ensemble des nombres dont le
plus petit chiffre est impair.
R´
eciproquement, si x=ab avec 16b < a 69alors xet x+ 1 sont amis. Si x=ab avec
26a<b69et apair, alors xet x+ 10 sont amis. On a ainsi trouv´
e36 paires d’amis disjointes.
Par cons´
equent, parmi les 72 nombres >21,Tne peut contenir qu’au plus 36 nombres, donc
|T|69 + 36 = 45.
Exercice 3. Soit P(x) = x4−x3−3x2−x+ 1. Montrer qu’il existe une infinit´
e d’entiers ntels
que P(3n)ne soit pas premier.
Solution de l’exercice 3 On observe que 32≡ −1 (mod 5) et 34≡1 (mod 5). Soit n>1. Soit
x= 34n+1, alors x= (34)n×3≡3 (mod 5), donc P(x)≡34−33−33−3+1 ≡1+3+3−3+ 1 ≡0
(mod 5).
D’autre part, P(x)> x4−x3−3x3−x3=x3(x−5) > x −5>34n−5>5, donc P(34n+1)n’est
pas premier.
1