Complément 4.2 : Construction de la base standard

PHY 430 : PHYSIQUE QUANTIQUE AVANC´ EE Promotion 2014
Compl´ement 4.2 : Construction de la base standard
On appelle Ej,m les espaces propres communs aux observables ˆ J2et ˆ Jz, associ´es aux valeurs propres
respectives j(j+ 1)~2et m~. Consid´erons l’espace Ej,−j, correspondant au cas m=−j. Si cet espace
est non vide, construisons une base hilbertienne que l’on appellera {|n, j, −ji}, o`u nest un indice
variant de 1 `a la dimension (´eventuellement infinie) de Ej,−j. A partir de cette base, construisons les
vecteurs not´es |n, j, mid´efinis par la relation de r´ecurrence
|n, j, m + 1i=ˆ
J+|n, j, mi
pj(j+ 1) −m(m+ 1)~(1)
En faisant varier l’indice mde −j`a j, nous allons montrer par r´ecurrence que, pour jet m
fix´es, {|n, j, mi} constitue une base hilbertienne de chacun des sous-espaces Ej,m. Ce r´esultat est par
d´efinition vrai pour m=−j. Supposons donc que le r´esultat soit v´erifi´e pour m, et cherchons `a le
montrer pour m+ 1. Remarquons tout d’abord que ces vecteurs forment une famille orthonorm´ee. En
effet,
hn, j, m + 1|n0, j, m + 1i=hn, j, m|ˆ
J−ˆ J+|n0, j, mi
(j(j+ 1) −m(m+ 1))~2(2)
Or, nous avons vu en amphi que ˆ J−ˆ J+|n0, j, mi= (j(j+ 1) −m(m+ 1))~2|n0, j, mi. Donc
hn, j, m + 1|n0, j, m + 1i=hn, j, m|n0, j, mi=δn,n0(3)
Montrons maintenant que ces vecteurs lin´eairement ind´ependants engendrent bien l’ensemble de
l’espace Ej,m+1. Pour cela, consid´erons un ´etat |ψiquelconque dans Ej,m+1. D’apr`es ce qui a ´et´e
d´emontr´e en amphi, ˆ J−|ψiappartient alors `a l’espace Ej,m et peut donc s’´ecrire comme une combinaison
lin´eaire des vecteurs de base de cet espace :
ˆ
J−|ψi=X
n
cn|n, j, mi(4)
En faisant agir ˆ J+sur cet ´etat, on obtient
ˆ
J+ˆ J−|ψi=X
n
cnˆ J+|n, j, mi=X
n
pj(j+ 1) −m(m+ 1)~cn|n, j, m + 1i(5)
Or nous savons que ˆ J+ˆ J−=ˆ J2−ˆ Jz(ˆ Jz−~ˆ I). Comme |ψi ∈ Ej,m+1, l’action de ce produit d’op´erateur
sur |ψipeut ˆetre directement remplac´ee par le scalaire (j(j+ 1) −(m+ 1)(m+ 1 −1))~2= (j(j+ 1) −
m(m+ 1))~2. On obtient donc
|ψi=X
n
cn
pj(j+ 1) −m(m+ 1)~|n, j, m + 1i(6)
d’o`u l’on peut d´eduire que {|n, j, m + 1i} constitue bien une base hilbertienne de Ej,m+1. Ceci conclut
la d´emonstration par r´ecurrence.
En r´esum´e, nous avons montr´e que pour une valeur donn´ee de j, les espaces Ej,m ont tous la mˆeme
dimension. A l’aide d’une base donn´ee {|n, j, −ji} de Ej,j , l’´eq. 1 permet de construire une base de
chacun des espaces Ej,m. En faisant varier les trois indices, on obtient ainsi la base {|n, j, mi} - dite
base standard - de l’ensemble de l’espace de Hilbert. Notons que cette d´emonstration n’indique rien
sur la dimension de l’espace Ej,j qui pourra, selon la valeur de jet le probl`eme consid´er´e, ˆetre nulle
(valeur de jinterdite), ´egale `a 1, finie ou infinie.