Amphi 2: Suites - Compacité

Amphi 2:
Suites - Compacit´e - Connexit´e
D´epartement de Math´ematiques
´
Ecole polytechnique
Remise en forme math´ematique 2013
D´epartement de Math´ematiques, ´ Ecole polytechnique, 2013 Amphi 2: Suites - Compacit´e - Connexit´e
Suites
Soit (X,d) un espace m´etrique. Soit x∈X, et soit (xn)n∈Nune
suite d’´el´ements de X.
D´efinition
La suite (xn)n∈Nest convergente de limite xsi la suite de
nombres r´eels d(xn,x)n∈Nconverge vers 0.
On dit aussi que la suite (xn)n∈Nconverge vers x.
Lorsque (xn)n∈Nn’a pas de limite, on dit que la suite (xn)n∈N
est divergente (ou encore (xn)n∈Ndiverge).
Propri´et´e (de s´eparation)
Dans un espace m´etrique, la limite d’une suite, quand elle existe,
est unique.
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Applications des suites
Propri´et´es
Soit A⊂X. On note ¯ Ason adh´erence.
¯
Aest l’ensemble des limites des suites de A.
Aest ferm´e ⇔si (xn)n∈Nest une suite de Aqui converge vers
x∈Xalors x∈A.
Aest dense dans X(i.e. ¯ A=X)⇔ ∀x∈X, il existe une
suite (an)n∈Nd’´el´ements de Atelle que lim
n→+∞an=x.
Propri´et´e
Soient (X,d) et (X0,d0) deux espaces m´etriques et f:X→X0.
fest continue ⇔pour toute suite (xn)n∈Nqui converge vers
x∈Xalors f(xn)n∈Nconverge vers f(x).
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Valeurs d’adh´erence
D´efinition
(yn)n∈Nest une sous-suite (ou une suite extraite) de (xn)n∈N
s’il existe ϕ:N→Nstrictement croissante telle que
yn=xϕ(n)pour tout n∈N.
a∈Xest une valeur d’adh´erence de la suite (xn)n∈Ns’il existe
une suite extraite de (xn)n∈Nqui converge vers a.
Exemples
Une suite convergente a une unique valeur d’adh´erence, c’est
sa limite.
La suite ((−1)n)n∈Na deux valeurs d’adh´erence 1 et −1.
La suite ((1 + (−1)n)n)n∈Na une unique valeur d’adh´erence,
c’est 0.
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Compacit´e
D´efinition
Xest compact si de tout recouvrement de Xpar des ouverts, on
peut extraire un recouvrement fini, i.e.
si (Ui)i∈Iest une famille d’ouverts de Xtelle que X=∪i∈IUi
alors il existe un ensemble fini F⊂Itel que X=∪i∈FUi.
Exemple
[0,1] est compact.
En effet, soit (Ui)i∈Iouverts qui recouvrent [0,1]. On pose
W={m∈[0,1] : [0,m] admet un recouvrement fini par des Ui}.
W6=∅car ∃i∈Itel que 0 ∈Uidonc 0 ∈W.
West un intervalle de [0,1]. Il est donc de la forme [0,c[ ou [0,c].
∃i∈Itel que c∈Ui, donc W= [0,c].
Si c<1, il existe ]c−ε, c+ε[⊂Uicar Uiest ouvert, on aboutit `a
la contradiction [0,c+ε[⊂W.
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Compacit´e
Exemple
]0,1[= Sn≥1]1/n,1−1/n[ n’a pas de sous-recouvrement fini.
Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass
Xest compact si et seulement si toute suite d’´el´ements de X
admet une sous-suite convergente.
Propri´et´es
Soient (X,d) et (X0,d0) deux espace m´etriques et f:X→X0une
application continue.
Si Xest compact alors f(X) est un compact de X0et fest
uniform´ement continue sur X.
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Propri´et´es des compacts
Une partie A⊂Xest born´ee s’il existe R>0 et x0∈X, tel que
A⊂¯ B(x0,R).
Propri´et´e
Soit K⊂X. Si Kest compact alors Kest ferm´e et born´e.
Propri´et´es
Soit Xun compact et F⊂X. Alors Fest compact si et
seulement si Fest ferm´e.
Si K1, . . . Knsont nparties compactes de Xalors
Si∈{1,...,n}Kiest compacte.
Si (X,d) et (X0,d0) sont deux espace m´etriques compacts
alors X×X0est compact.
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Compacit´e dans RN
On consid`ere sur RNla norme k(x1,...,xN)k∞= maxi=1,...,N|xi|.
Th´eor`eme
Soit K⊂RN.Kest compact ⇔Kest ferm´e et born´e.
En effet, soit Kune partie ferm´ee et born´ee.
Il existe a>0 tel que K⊂[−a,a]N(Kborn´ee).
[−a,a]Nest compact (produit fini de [−a,a] qui est compact).
Kest ferm´e dans [−a,a]Nqui est compact donc Kest compact.
Th´eor`eme
Soit (X,d) un espace m´etrique compact et f:X→Rcontinue. Alors, f
est born´ee et atteint ses bornes, i.e. il existe x0,y0∈Xtels que
sup
x∈X
f(x) = f(x0) et inf
x∈Xf(x) = f(y0).
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´
Equivalence des normes en dimension finie
Th´eor`eme
Toutes les normes de RNsont ´equivalentes.
Soit (e1,...,eN) la base canonique de RN. Soit Nune norme sur RN.
On a
N(x) = N(
N
X
i=1
xiei)≤
N
X
i=1
|xi|N (ei)≤
N
X
i=1
N(ei)kxk∞.
En particulier N: (RN,k k∞)→(R,| |) est continue.
La sph`ere S={x∈RN:kxk∞= 1}est compacte.
Il existe donc x0∈Stel que N(x0) = infx∈SN(x)>0.
Pour tout x∈RN,N(x)≥ N (x0)kxk∞.
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R´esum´e des propri´et´es en dimension finie
Propri´et´es
Si Eest un espace vectoriel de dimension finie alors
Toutes les normes de Esont ´equivalentes.
Les notions d’ouverts, de continuit´e, de limite, de compacit´e
ne d´ependent pas du choix de la norme.
Une partie K⊂Eest compacte si et seulement si Kest
ferm´ee et born´ee.
Attention! Tout ceci est faux en dimension infinie, o`u toutes les
propri´et´es topologiques d´ependent du choix de la norme.
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