Soit E un − Kespace vectoriel et p un projecteur de E. Montrer que

PanaMaths Mars 2012
Soit E un −K espace vectoriel et p un projecteur de E.
Montrer que :
1. E Id p− est un projecteur de E.
2. Comparer les noyaux et les images de p et E Id p
−
.
Analyse
Un (très) grand classique (une question de cours diraient certain(e)s ☺) !
Résolution
Question 1.
L’application E
Id
p
− est clairement un endomorphisme de E comme différence de deux
endomorphismes de E.
On a alors :
(
)
(
)
N
EEEEE E
(car est
un projecteur)
E
E
Id Id Id Id Id Id
Id
Id
p
p
p
ppppp
ppp
p
=
− −= −−+
=−−+
=−
DDDDD
Comme E
Id
p
− est un endomorphisme de E qui vérifie
(
)
(
)
EEE
Id Id Id
p
pp
−
−= −D, il
s’agit d’un projecteur de E.
E
Id p
−
est un projecteur de E.
Question 2.
Soit y un élément quelconque de Im p. Il existe donc un vecteur x de E tel que :
()
ypx=.
Mais alors :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
p
yppx ppxpxy== ==D, soit
(
)
(
)
EE
Id 0py
−
=.
Ainsi,
(
)
E
ker Idyp∈− et on en conclut finalement :
(
)
E
Im ker Id
p
p⊂−.

PanaMaths Mars 2012
Soit maintenant y un élément quelconque de
(
)
E
ker Id
p
−
.
On a :
(
)
(
)
EE
Id 0py−=
, soit
()
p
yy
=
et on en déduit immédiatement Imyp∈ puis
l’inclusion :
()
E
ker Id Im
p
p−⊂ .
La double inclusion nous permet finalement de conclure à l’égalité :
(
)
E
Im ker Id
p
p
=
−
Cette égalité est valable pour tout projecteur de E, en particulier pour le projecteur E
Id p−.
On a donc :
(
)
(
)
(
)
EEE
Im Id ker Id Id ker
p
pp−= − − =
En définitive, on a :
(
)
E
ker Id Im
p
p−= et
(
)
E
Im Id ker
p
p−=
Résultat final
Si E est un −Kespace vectoriel et p un projecteur de E alors E Id
p
−
est un projecteur de E et
on a :
(
)
E
ker Id Im
p
p−=
(
)
E
Im Id ker
p
p−=