Exercice 1. On se place dans R4 muni du produit scalaire usuel. On

Universit´e de Rennes 1, Licence 2, Alg`ebre Lin´eaire 2
Ann´ee 2011-2012
Examen D´ecembre 2011, Dur´ee 2 heures
Les documents et calculatrices ne sont pas autoris´es.
Le sujet comporte 4 exercices ind´ependants. On pourra admettre certaines ques-
tions pour pouvoir r´esoudre la suite des exercices.
Exercice 1.
On se place dans R4muni du produit scalaire usuel. On note B
la base canonique.
Soient v1= (1,1,1,0), v2= (2,0,1,1), v3= (0,−1,1,−1) et
v4= (3,1,2,1). On pose E=V ect(v1, v2, v3, v4).
1. a) Montrer que (v1, v2, v3) forme une base de E.
b) Donner une ´equation cart´esienne de E.
2. On note u= (1,0,−1,−1) et B0= (v1, v2, v3, u).
a) Montrer que B0est une base de R4.
b) On note E⊥l’orthogonal de E. Montrer que E⊥=
V ect(u) .
c) Soit F=V ect(v1, v2), montrer que v3∈F⊥. Montrer
que u∈F⊥.
En d´eduire F⊥.
3. Soit G=v⊥
4.
a) Montrer que Gest de dimension 3, et que son ´equation
cart´esienne est 3x+y+ 2z+t= 0.
b) Quelle est la dimension de F∩G? Donner une base de
F∩G.
1

Exercice 2.
1. Soit Ala matrice
A=â1 1 2
−1−1−2
1−1 0 ì
a) Montrer que Aest diagonalisable sur R.
b) Diagonaliser A.
c) Donner une formule explicite en fonction de npour les
coefficients de Anlorsque nest un entier naturel. La for-
mule trouv´ee est-elle valable pour des entiers n´egatifs ?
2. Soit Mune matrice appartenant `a Mn(R) et λun nombre
r´eel. Que vaut Msi λest sa seule valeur propre et qu’elle
est diagonalisable ?
3. Soit Bla matrice
B=â1 1 2
−1−1−2
1 1 0 ì
a) Calculer les valeurs propres de B.
b) Best-elle diagonalisable ? (Id+B) est elle diagonali-
sable ?
Exercice 3.
Soient a, b, c des r´eels et un entier n≥1, consid´erons ∆nle
d´eterminant de la matrice n×nsuivante :
∆n=
a b 0. . . 0
c a b ....
.
.
0c......0
.
.
..........b
0. . . 0c a
,
2

1. Montrer tout d’abord que pour tout n≥3, on a la relation
suivante :
∆n=a∆n−1−bc∆n−2.
2. On suppose maintenant que a2= 4bc.
a) Calculer ∆1,∆2en fonction de a.
b) Montrer ensuite par r´ecurrence que pour tout n≥2 on
a :
∆n=a
2∆n−1+ a 2!n.
c) Montrer enfin par r´ecurrence que pour tout n≥1, on a
∆n=(n+ 1)an
2n.
Exercice 4.
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Cet exercice
s’int´eresse `a une classe particuli`ere d’endomorphismes de E:
D´efinition. Soit uun endomorphisme de E. On dit que
uest un projecteur si u◦u=u.
1. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Etels que
E=F⊕G. Pour tout z∈E, on sait qu’il existe un unique
couple (x, y) avec x∈Fet y∈Gtel que z=x+y. On
d´efinit alors une application f:E−→ Epar la formule
f(z) = y.
Montrer que fest un endomorphisme de Epuis montrer
que fest un projecteur.
2. Si uest un projecteur, montrer que Ker(u)⊕Im(u) = E.
On s’int´eresse `a la r´eciproque de la propri´et´e d´emontr´ee
`a la question 2, `a savoir on cherche `a r´epondre `a la
3

question suivante : “Un endomorphisme fde Etel que
Ker(f)⊕Im(f) = Eest-il n´ecessairement un projec-
teur ?”
3. Consid´erons l’application lin´eaire f:R3−→ R3qui `a un
vecteur ade coordonn´ees (x, y, z) dans la base canonique
associe le vecteur f(a) de coordonn´ees (x0, y0, z0) = (x+
z, y +z, x +y+ 2z) dans la mˆeme base.
(i) Calculer l’image et le noyau de f.
(ii) Montrer que Im(f)⊕Ker(f) = R3.
(iii) Calculer les images du vecteur bde coordonn´ees (1,1,2)
par les puissances de f. Conclure.
BONUS
4. Montrer que uest un projecteur si et seulement si uest
diagonalisable avec ses valeurs propres dans {0,1}.
5. Supposons maintenant que uet vsont deux projecteurs de
E. On veut d´emontrer l’´equivalence suivante :
u+vest un projecteur si et seulement si u◦v=v◦u= 0.
(i) Calculer (u+v)◦(u+v).
(ii) Si u◦v=v◦u, montrer que u+vest un projecteur.
(iii) R´eciproquement, si u+vest un projecteur, montrer
que pour x∈Im(v), le vecteur u(x) satisfait la relation
v(u(x)) = −u(x).
(iv) Conclure (on pourra s’aider de la question 4).
6. Supposons que uet vsont deux projecteurs de Etels que
u+vest un projecteur de E. Montrer que Im(u+v) =
Im(u)⊕Im(v) et Ker(u+v) = Ker(u)∩Ker(v).
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