Exercice 1. On se place dans R4 muni du produit scalaire usuel. On

Université de Rennes 1, Licence 2, Algèbre Linéaire 2
Année 2011-2012
Examen Décembre 2011, Durée 2 heures
Les documents et calculatrices ne sont pas autorisés.
Le sujet comporte 4 exercices indépendants. On pourra admettre certaines questions pour pouvoir résoudre la suite des exercices.
Exercice 1.
On se place dans R4 muni du produit scalaire usuel. On note B
la base canonique.
Soient v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (2, 0, 1, 1), v3 = (0, −1, 1, −1) et
v4 = (3, 1, 2, 1). On pose E = V ect(v1, v2, v3, v4).
1. a) Montrer que (v1, v2, v3) forme une base de E.
b) Donner une équation cartésienne de E.
2. On note u = (1, 0, −1, −1) et B 0 = (v1, v2, v3, u).
a) Montrer que B 0 est une base de R4 .
b) On note E ⊥ l’orthogonal de E. Montrer que E ⊥ =
V ect(u) .
c) Soit F = V ect(v1, v2), montrer que v3 ∈ F ⊥. Montrer
que u ∈ F ⊥.
En déduire F ⊥.
3. Soit G = v4⊥.
a) Montrer que G est de dimension 3, et que son équation
cartésienne est 3x + y + 2z + t = 0.
b) Quelle est la dimension de F ∩ G ? Donner une base de
F ∩ G.
Exercice 2.
1. Soit A la matrice
â
A=
1 1 2
−1 −1 −2
1 −1 0
ì
a) Montrer que A est diagonalisable sur R.
b) Diagonaliser A.
c) Donner une formule explicite en fonction de n pour les
coefficients de An lorsque n est un entier naturel. La formule trouvée est-elle valable pour des entiers négatifs ?
2. Soit M une matrice appartenant à Mn(R) et λ un nombre
réel. Que vaut M si λ est sa seule valeur propre et qu’elle
est diagonalisable ?
3. Soit B la matrice
â
B=
1 1 2
−1 −1 −2
1 1 0
ì
a) Calculer les valeurs propres de B.
b) B est-elle diagonalisable ? (Id+B) est elle diagonalisable ?
Exercice 3.
Soient a, b, c des réels et un entier n ≥ 1, considérons ∆n le
déterminant de la matrice n × n suivante :
a
c
∆n = 0
...
0
b
a
c
...
...
0
b
...
...
0
...
...
...
...
c
0
...
0 ,
b
a
1. Montrer tout d’abord que pour tout n ≥ 3, on a la relation
suivante :
∆n = a∆n−1 − bc∆n−2.
2. On suppose maintenant que a2 = 4bc.
a) Calculer ∆1, ∆2 en fonction de a.
b) Montrer ensuite par récurrence que pour tout n ≥ 2 on
a:
a !n
a
.
∆n = ∆n−1 +
2
2
c) Montrer enfin par récurrence que pour tout n ≥ 1, on a
(n + 1)an
∆n =
.
2n
Exercice 4.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Cet exercice
s’intéresse à une classe particulière d’endomorphismes de E :
Définition. Soit u un endomorphisme de E. On dit que
u est un projecteur si u ◦ u = u.
1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que
E = F ⊕G. Pour tout z ∈ E, on sait qu’il existe un unique
couple (x, y) avec x ∈ F et y ∈ G tel que z = x + y. On
définit alors une application f : E −→ E par la formule
f (z) = y.
Montrer que f est un endomorphisme de E puis montrer
que f est un projecteur.
2. Si u est un projecteur, montrer que Ker(u) ⊕ Im(u) = E.
On s’intéresse à la réciproque de la propriété démontrée
à la question 2, à savoir on cherche à répondre à la
question suivante : “Un endomorphisme f de E tel que
Ker(f ) ⊕ Im(f ) = E est-il nécessairement un projecteur ?”
3. Considérons l’application linéaire f : R3 −→ R3 qui à un
vecteur a de coordonnées (x, y, z) dans la base canonique
associe le vecteur f (a) de coordonnées (x0, y 0, z 0) = (x +
z, y + z, x + y + 2z) dans la même base.
(i) Calculer l’image et le noyau de f .
(ii) Montrer que Im(f ) ⊕ Ker(f ) = R3.
(iii) Calculer les images du vecteur b de coordonnées (1, 1, 2)
par les puissances de f . Conclure.
BONUS
4. Montrer que u est un projecteur si et seulement si u est
diagonalisable avec ses valeurs propres dans {0, 1}.
5. Supposons maintenant que u et v sont deux projecteurs de
E. On veut démontrer l’équivalence suivante :
u + v est un projecteur si et seulement si u ◦ v = v ◦ u = 0.
(i) Calculer (u + v) ◦ (u + v).
(ii) Si u ◦ v = v ◦ u, montrer que u + v est un projecteur.
(iii) Réciproquement, si u + v est un projecteur, montrer
que pour x ∈ Im(v), le vecteur u(x) satisfait la relation
v(u(x)) = −u(x).
(iv) Conclure (on pourra s’aider de la question 4).
6. Supposons que u et v sont deux projecteurs de E tels que
u + v est un projecteur de E. Montrer que Im(u + v) =
Im(u) ⊕ Im(v) et Ker(u + v) = Ker(u) ∩ Ker(v).