ESPACE VECTORIEL

PSI ESPACE VECTORIEL
Dans ce chapitre Kdésigne Rou C.
I-RÉVISIONS
1)Espace vectoriel
déf. 1
On appelle K-espace vectoriel, ou espace vectoriel sur K, tout triplet (E, +, .)tel que :
.est une loi externe sur l’ensemble E:∀λ∈K,∀x∈E, λ.x ∈E
(E, +) est un groupe commutatif
∀(λ1, λ2)∈K2,∀x∈E, (λ1+λ2).x =λ1.x +λ2.x
∀(x1, x2)∈E2,∀λ∈K, λ.(x1+x2) = λ.x1+λ.x2
∀(λ1, λ2)∈K2,∀x∈E, (`1×λ2).x =λ1.(λ2.x)
∀x∈E, 1.x =x.
Les éléments de Esont appelés des vecteurs, ceux de Kles scalaires et la loi .s’appelle produit par un scalaire.
prop. 1
•Rest un espace vectoriel sur R.
Cest un espace vectoriel sur Ret un espace vectoriel sur C.
•Si Ωest un ensemble non vide alors F(Ω,K), l’ensemble des fonctions de Ωdans K
est un espace vectoriel sur K.
En particulier KN, l’ensemble des suites à valeurs dans Kest un espace vectoriel sur K.
•Si Eet Fsont des espaces vectoriels sur Kalors E×Fest un espace vectoriel sur K
Ce résultat se généralise au produit cartésien de nespaces vectoriels .
•Pour n∈N∗,Knest un espace vectoriel sur K.
•K[X]est un espace vectoriel sur K.
déf. 2
Soit (E, +, .)un espace vectoriel sur K.
Une partie Fde Eest un sous espace vectoriel de Elorsque
F⊂E
F6=∅: 0E∈F
F est stable par combinaison lineaire :∀(x, y)∈F2,∀λ∈K, λ.x +y∈F
prop. 2Toute intersection de sous-espaces vectoriels de Eest un sous-espace vectoriel de E.
2)Application linéaire
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur K.
déf.
f:E−→ Fest une application linéaire lorsque : ∀(x, y)∈E2,∀λ∈K, f(λx +y) = λf (x) + f(y).
Si fest bijective, on dit que fest un isomorphisme d’espaces vectoriels .
Si E=F, on dit que fest un endomorphisme d’espaces vectoriels .
Si E=Fet si fest bijective, on dit que fest un automorphisme d’espaces vectoriels .
On note L(E, F )l’ensemble des applications linéaires de Edans F
et L(E)l’ensemble des endomorphismes de E.
prop. 1
Soit f:E−→ Fune application linéaire.
•f(0E)=0F
•L’image directe par fd’un sous espace vectoriel de Eest un sous espace vectoriel de F.
L’image réciproque par fd’un sous espace vectoriel de Fest un sous espace vectoriel de E.
•Im f=f(E), est un sous espace vectoriel de F.
et Ker f={x∈E / f(x) = 0F}est un sous espace vectoriel de E.
•(fest injective ⇐⇒ Ker f={0E}) et ( fest surjective ⇐⇒ Im f=F)
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prop. 2
•Toute combinaison linéaire d’applications linéaires est une application linéaire.
Donc (L(E, F ),+, .)est un espace vectoriel .
•La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
•Si f∈ L(E, F )et est bijective alors f−1∈ L(F, E).
•On note GL(E)l’ensemble des automorphismes de E. Alors (GL(E),◦)est un groupe.
3)Famille génératrice
Soit Eun espace vectoriel sur K.
déf. 1
Soit Sune partie de E. Notons Al’ensemble des sous-espaces vectoriels de Econtenant S.
\
F∈A
Fest le plus petit (au sens de l’inclusion) sous espace vectoriel de Equi contient S.
Il s’appelle sous espace vectoriel engendré par Set se note Vect S.
prop.
•Vect ∅={0E}
•Si Sest une partie non vide de Ealors Vect Sest l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de S.
Vect S={
p
X
i=1
λixi/ p ∈N∗,(λ1, λ2, . . . , λp)∈Kpet (x1, x2, . . . , xp)∈Sp}
déf. 2Une famille Fde vecteurs de Eest génératrice lorsqu’elle engendre E, c’est-à-dire lorsque Vect F=E.
Fest une famille génératrice lorsque tout vecteur de Eest combinaison linéaire des vecteurs de F.
4)Famille libre
Soit Eun espace vectoriel sur K.
déf.
Soit F= (xi)i∈[[ 1,p]] une famille de vecteurs de E.
La famille Fest libre lorsque, pour toute famille (λi)i∈[[ 1,p]] de scalaires,
p
X
i=1
λixi= 0E=⇒ ∀ i∈[[1, p]], λi= 0 .
Pour exprimer que Fest libre, on dit aussi que les vecteurs xisont linéairement indépendants.
La famille Fest liée si elle n’est pas libre.
Pour démontrer que Fest liée, on cherche une combinaison linéaire nulle des vecteurs de Fnulle avec au moins
un scalaire non nul.
prop. •Soit x∈E.(x)est libre ⇐⇒ x6= 0E
•Toute surfamille d’une famille liée est liée et toute sousfamille d’une famille libre est libre.
5)Base
Soient Eet Fdes espaces vectoriels sur K.
déf.
Une base de Eest une famille génératrice et libre.
B= (e1, e2, . . . , en)est une base si et seulement si tout vecteur de Es’écrit de manière unique
comme combinaison linéaire des vecteurs de B.
∀x∈E, ∃!(λ1, λ2, . . . , λn)∈Kn/ x =
n
X
i=1
λieiλ1, . . . , λnsont les coordonnées de xdans la base B.
prop.
Si B= (ei)i∈[[ 1,p]] est une base de Eet F= (yi)i∈[[ 1,p]] est une famille de vecteurs de F
alors il existe une unique application linéaire ude Edans Ftelle que ∀i∈[[1, p]], u(ei) = yi
L’image d’une base caractérise donc une application linéaire.
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6)Espace vectoriel de dimension finie
déf. 1
Soit Eun espace vectoriel sur le corps K.
On dit que Eest de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.
Sinon il est de dimension infinie.
Si E6={OE}est de dimension finie alors il admet une base.
Toutes les bases de Eont le même cardinal n. Cet entier ns’appelle la dimension de Eet se note dim E.
Si E={OE}, on convient que dim E= 0.
Exemples : dimR(C) = ,dimC(C) = ,dim (Kn) = ,dim (Kn[X]) =
th.
Théorème de la base incomplète :
Si Eest un espace vectoriel sur Kde dimension n>1et B= (e1, e2, . . . , en)une base de E
alors toute famille libre de Epeut se compléter en une base de Epar des vecteurs puisés dans B
prop. 1
Soit Eun espace vectoriel sur le corps Kde dimension finie n>1.
•Toute famille libre Fde Ea au plus néléments.
Toute famille libre Fde cardinal nest une base de E.
•Toute famille génératrice Fde Ea au moins néléments.
Toute famille génératrice Fde cardinal nest une base de E.
prop. 2
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie n>1et Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
•Fest alors de dimension finie et dim F6dim E. De plus dim F=n=⇒F=E
•F×Gest de dimension finie et dim (F×G) = dim F+dim G.
•dim (F+G) = dim F+dim G−dim (F∩G)
déf. 2
Base adaptée à un sous espace vectoriel F:
Soit (ei)i∈[[ 1,p]] une base de F.
Toute base de E, (ei)i∈[[ 1,n]] , complétant celle de Fs’appelle base adaptée à F
déf. 3
Soit Eun espace vectoriel sur Ket Fune famille de vecteurs de E.
Si Vect Fest de dimension finie, cette dimension s’appelle le rang de Fet se note rg F
Si Eest de dimension finie, toute famille de vecteurs de Eadmet donc un rang.
7)Application linéaire et dimension finie
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur Ket udans L(E, F ).
th. 1Si Eet Fsont de dimension finie alors dim L(E, F ) = dim E ×dim F .
prop. 1
•Si uest un isomorphisme et dim E=nalors dim F=n
Si uest un isomorphisme et dim F=nalors dim E=n.
•Si Eet Fsont de même dimension finie alors : uest injective ⇐⇒ uest bijective ⇐⇒ uest surjective.
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déf. Si Im uest de dimension finie, sa dimension s’appelle le rang de uet se note rg u:rg(u) = dim (Im u)
prop. 2Soient dim E=n>1et B= (e1, e2, . . . , en)une base de E.
Alors Im u=V ect (u(e1), . . . , u(en)). Donc rg (u) = rg (u(e1), . . . , u(en))
th. 2Théorème du rang : Soit u∈ L(E, F )
Si Eest de dimension finie alors rg uexiste et rg u+dim (Ker u) = dim E
prop. 3
Conservation du rang par un isomorphisme
Soient E,Fet Gtrois espaces vectoriels sur Ket uun isomorphisme de Edans F.
•Toute famille Fde vecteurs de Evérifie rg(F) = rg(u(F)).
•(v∈ L(G, E) =⇒rg (u◦v) = rg (v)) et (v∈ L(F, G) =⇒rg (v◦u) = rg (v))
II -SOMME DE SOUS ESPACES VECTORIELS
Dans ce paragraphe Edésigne un espace vectoriel sur K.
1)Somme de sous-espaces vectoriels
th.
Soient p∈N∗et E1,E2, . . . , Epdes sous espaces vectoriels de E.
Alors
p
X
i=1
Ei=E1+· · · +Ep={x1+· · · +xp/∀i∈[[1, p]], xi∈Ei}est un sous espace vectoriel de E
appelé somme des sous espaces vectoriels E1, . . . , Ep.
2)Somme directe
a. Cas particulier : p=2
Soient E1et E2deux sous espaces vectoriels de E.
prop. 1E1et E2sont en somme directe si et seulement si E1∩E2={0E}.
déf.
E1et E2sont deux espaces supplémentaires ssi E1⊕E2=E.
ssi ∀x∈E, ∃!(x1, x2)∈E1×E2/ x =x1+x2.
ssi E1+E2=Eet E1∩E2={0E}.
prop. 2
On suppose ici Ede dimension finie.
E=E1⊕E2⇐⇒ E=E1+E2
dim(E) = dim(E1) + dim(E2)⇐⇒ E1∩E2={0E} dim(E) = dim(E1) + dim(E2)
Application : Définition des projections et symétries.
th.
•Si uest un projecteur de Eie une application linéaire de Etelle que u◦u=u
alors Ker u⊕Im u=Eet uest la projection sur Im uparallèlement à Ker u.
•Si uest une application linéaire de Etelle que u◦u=idE
alors Ker(u−idE)⊕Ker(u+idE) = Eet
uest la symétrie par rapport à Ker(u−idE)parallèlement à Ker(u+idE).
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b. Cas général
Soient p∈N∗et E1,E2, . . . , Epdes sous espaces vectoriels de E.
déf.
La somme
p
X
i=1
Eiest directe lorsque la décomposition de 0Eest unique dans
p
X
i=1
Ei
Cette décomposition est alors : 0E+ 0E+· · · + 0Epuisque ∀i∈[[1, p]],0E∈Ei.
La somme
p
X
i=1
Eiest donc directe lorsque
∀(x1, . . . , xp)∈E1× · · · × Ep,p
X
i=1
xi= 0E=⇒ ∀ i∈[[1, p]], xi= 0E
Dans ce cas, on note cette somme
p
M
i=1
Ei
prop. 1
Si la somme
p
X
i=1
Eiest directe
alors la décomposition de tout vecteur x∈
p
X
i=1
Eisur les sous-espaces vectoriels Eiest unique
c’est-à-dire : ∀x∈
p
X
i=1
Ei,∃!(x1, . . . , xp)∈E1× · · · × Ep/ x =
p
X
i=1
xi
prop. 2
On suppose ici Ede dimension finie
Alors dim 
p
X
i=1
Ei6
p
X
i=1
dim (Ei)
La somme
p
X
i=1
Eiest directe si et seulement si dim 
p
X
i=1
Ei=
p
X
i=1
dim (Ei)
3)Décomposition de Een somme directe
Soient p∈N∗,E1,E2, . . . , Epdes sous espaces vectoriels de Eet Fun K−espace vectoriel .
th. 1
On suppose Ede dimension n>1et E=
p
M
i=1
Ei.
Si pour i∈[[1, p]],Biest une base de Ei
alors B= (B1,...,Bp)est une base de E, dite adaptée à la décomposition E=
p
M
i=1
Ei
th. 2
Si E=
p
M
i=1
Eiet ∀i∈[[1, p]], ui∈ L(Ei, F )
alors ∃!u∈ L(E, F )/∀i∈[[1, p]], u|Ei=ui
III -HYPERPLAN
Dans ce paragraphe Edésigne un espace vectoriel de dimension finie n>1sur K.
déf. 1Les éléments de L(E, K)s’appellent des formes linéaires, ce sont des applications linéaires de Edans K.
déf. 2Les hyperplans de Esont les sous-espaces vectoriels de Ede dimension n−1.
th. 1Tout hyperplan de Eest supplémentaire d’une droite vectorielle.
th. 2
Si fest une forme linéaire non nulle alors Ker fest un hyperplan de E.
Si Hest un hyperplan alors il existe une forme linéaire f, non nulle, unique à un facteur près,.
telle que H= Ker f
Equation d’un hyperplan :
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