ESPACE VECTORIEL

ESPACE VECTORIEL
PSI
Dans ce chapitre K désigne R ou C.
I - RÉVISIONS
1) Espace vectoriel
On appelle K-espace vectoriel, ou espace vectoriel sur K, tout triplet (E, +, .) tel que :
. est une loi externe sur l’ensemble E : ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ E, λ.x ∈ E
(E, +) est un groupe commutatif
∀ (λ1 , λ2 ) ∈ K2 , ∀ x ∈ E, (λ1 + λ2 ).x = λ1 .x + λ2 .x
déf. 1
∀ (x1 , x2 ) ∈ E 2 , ∀ λ ∈ K, λ.(x1 + x2 ) = λ.x1 + λ.x2
∀ (λ1 , λ2 ) ∈ K2 , ∀ x ∈ E, (`1 × λ2 ).x = λ1 .(λ2 .x)
∀ x ∈ E, 1.x = x.
Les éléments de E sont appelés des vecteurs, ceux de K les scalaires et la loi . s’appelle produit par un scalaire.
• R est un espace vectoriel sur R.
C est un espace vectoriel sur R et un espace vectoriel sur C.
prop. 1
• Si Ω est un ensemble non vide alors F(Ω, K), l’ensemble des fonctions de Ω dans K
est un espace vectoriel sur K.
En particulier KN , l’ensemble des suites à valeurs dans K est un espace vectoriel sur K.
• Si E et F sont des espaces vectoriels sur K alors E × F est un espace vectoriel sur K
Ce résultat se généralise au produit cartésien de n espaces vectoriels .
• Pour n ∈ N∗ , Kn
est un espace vectoriel sur K.
• K[X] est un espace vectoriel sur K.
Soit (E, +, .) un espace vectoriel sur K.
Une partie F de E est un sous espace vectoriel de E lorsque

déf. 2
 F ⊂E
F 6= ∅ : 0E ∈ F

F est stable par combinaison lineaire : ∀ (x, y) ∈ F 2 ,
∀ λ ∈ K,
λ.x + y ∈ F
prop. 2 Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
2) Application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
f : E −→ F est une application linéaire lorsque :
déf.
∀ (x, y) ∈ E 2 ,
∀ λ ∈ K,
f (λx + y) = λf (x) + f (y).
Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme d’espaces vectoriels .
Si E = F , on dit que f est un endomorphisme d’espaces vectoriels .
Si E = F et si f est bijective, on dit que f est un automorphisme d’espaces vectoriels .
On note L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F
et L(E) l’ensemble des endomorphismes de E.
Soit
f : E −→ F
une application linéaire.
• f (0E ) = 0F
prop. 1
• L’image directe par f d’un sous espace vectoriel de E est un sous espace vectoriel de F .
L’image réciproque par f d’un sous espace vectoriel de F est un sous espace vectoriel de E.
• Im f = f (E), est un sous espace vectoriel de F .
et Ker f = {x ∈ E / f (x) = 0F } est un sous espace vectoriel de E.
• (f est injective ⇐⇒ Ker f = {0E })
EspaceVectoriel - page 1
et
( f est surjective ⇐⇒ Im f = F )
• Toute combinaison linéaire d’applications linéaires est une application linéaire.
Donc (L(E, F ), +, .) est un espace vectoriel .
prop. 2 • La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
• Si f ∈ L(E, F ) et est bijective alors f −1 ∈ L(F, E).
• On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.
Alors
(GL(E), ◦)
est un groupe.
3) Famille génératrice
Soit E un espace vectoriel sur K.
Soit
\ S une partie de E. Notons A l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E contenant S.
F est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous espace vectoriel de E qui contient S.
déf. 1
F ∈A
Il s’appelle sous espace vectoriel engendré par S et se note Vect S.
• Vect ∅ = {0E }
• Si S est une partie non vide de E alors Vect S est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de S.
prop.
Vect S = {
p
X
λi xi / p ∈ N∗ ,
(λ1 , λ2 , . . . , λp ) ∈ Kp
et
(x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ S p }
i=1
Une famille F de vecteurs de E est génératrice lorsqu’elle engendre E, c’est-à-dire lorsque
déf. 2
Vect F = E.
F est une famille génératrice lorsque tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs de F.
4) Famille libre
Soit E un espace vectoriel sur K.
Soit
F = (xi )i∈[[ 1,p]]
une famille de vecteurs de E.
La famille F est libre lorsque, pour toute famille (λi )i∈[[ 1,p]]
X
p
λi xi = 0E =⇒ ∀ i ∈ [[1, p]], λi = 0 .
déf.
de scalaires,
i=1
Pour exprimer que F est libre, on dit aussi que les vecteurs xi sont linéairement indépendants.
La famille F est liée si elle n’est pas libre.
Pour démontrer que F est liée, on cherche une combinaison linéaire nulle des vecteurs de F nulle avec au moins
un scalaire non nul.
• Soit x ∈ E.
prop.
(x) est libre ⇐⇒ x 6= 0E
• Toute surfamille d’une famille liée est liée
et
toute sousfamille d’une famille libre est libre.
5) Base
Soient E et F des espaces vectoriels sur K.
Une base de E est une famille génératrice et libre.
déf.
B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base si et seulement si tout vecteur de E s’écrit de manière unique
comme combinaison linéaire des vecteurs de B.
∀ x ∈ E,
∃ !(λ1 , λ2 , . . . , λn ) ∈ Kn / x =
n
X
λ i ei
λ1 , . . . , λn sont les coordonnées de x dans la base B.
i=1
prop.
Si B = (ei )i∈[[ 1,p]] est une base de E et F = (yi )i∈[[ 1,p]] est une famille de vecteurs de F
alors il existe une unique application linéaire u de E dans F telle que ∀ i ∈ [[1, p]], u(ei ) = yi
L’image d’une base caractérise donc une application linéaire.
EspaceVectoriel - page 2
6) Espace vectoriel de dimension finie
Soit E un espace vectoriel sur le corps K.
On dit que E est de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie.
Sinon il est de dimension infinie.
déf. 1
Si E 6= {OE } est de dimension finie alors il admet une base.
Toutes les bases de E ont le même cardinal n. Cet entier n s’appelle la dimension de E et se note dim E.
Si E = {OE }, on convient que dim E = 0.
Exemples :
dimR (C) =
,
dimC (C) =
,
dim (Kn ) =
,
dim (Kn [X]) =
Théorème de la base incomplète :
th.
Si
alors
E est un espace vectoriel sur K de dimension n > 1 et B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E
toute famille libre de E peut se compléter en une base de E par des vecteurs puisés dans B
Soit E un espace vectoriel sur le corps K de dimension finie n > 1.
prop. 1
• Toute famille libre F de E a au plus n éléments.
Toute famille libre F de cardinal n est une base de E.
• Toute famille génératrice F de E a au moins n éléments.
Toute famille génératrice F de cardinal n est une base de E.
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 1 et F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
• F est alors de dimension finie et
prop. 2
• F × G est de dimension finie
dim F 6 dim E.
et
De plus
dim F = n =⇒ F = E
dim (F × G) = dim F + dim G.
• dim (F + G) = dim F + dim G− dim (F ∩ G)
Base adaptée à un sous espace vectoriel F :
déf. 2 Soit (ei )i∈[[ 1,p]]
Toute base de E,
une base de F.
(ei )i∈[[ 1,n]] , complétant celle de F s’appelle base adaptée à F
Soit E un espace vectoriel sur K et F une famille de vecteurs de E.
déf. 3 Si Vect F est de dimension finie, cette dimension s’appelle le rang de F et se note rg F
Si E est de dimension finie, toute famille de vecteurs de E admet donc un rang.
7) Application linéaire et dimension finie
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K
th. 1 Si E et F sont de dimension finie alors
et
u dans L(E, F ).
dim L(E, F ) = dim E × dim F .
• Si u est un isomorphisme et dim E = n alors dim F = n
Si u est un isomorphisme et dim F = n alors dim E = n.
prop. 1
• Si E et F sont de même dimension finie alors : u est injective ⇐⇒ u est bijective ⇐⇒ u est surjective.
EspaceVectoriel - page 3
déf.
Si
prop. 2
Im u
est de dimension finie, sa dimension s’appelle le rang de u et se note rg u :
Soient dim E = n > 1 et B = (e1 , e2 , . . . , en )
Alors Im u = V ect (u(e1 ), . . . , u(en )). Donc
Théorème du rang :
rg(u) = dim (Im u)
une base de E.
rg (u) = rg (u(e1 ), . . . , u(en ))
u ∈ L(E, F )
Soit
th. 2
Si E est de dimension finie alors
rg u existe
et rg u+ dim (Ker u) = dim E
Conservation du rang par un isomorphisme
Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur K et u un isomorphisme de E dans F .
prop. 3
• Toute famille F de vecteurs de E vérifie
• (v ∈ L(G, E) =⇒ rg (u ◦ v) = rg (v))
rg(F) = rg(u(F)).
et
(v ∈ L(F, G) =⇒ rg (v ◦ u) = rg (v))
II - SOMME DE SOUS ESPACES VECTORIELS
Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel sur K.
1) Somme de sous-espaces vectoriels
Soient p ∈ N∗ et E1 , E2 , . . . , Ep des sous espaces vectoriels de E.
p
X
Alors
Ei = E1 + · · · + Ep = {x1 + · · · + xp / ∀ i ∈ [[1, p]], xi ∈ Ei }
th.
est un sous espace vectoriel de E
i=1
appelé somme des sous espaces vectoriels E1 , . . . , Ep .
2) Somme directe
a. Cas particulier : p=2
Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E.
prop. 1 E1 et E2 sont en somme directe
si et seulement si
E1 et E2 sont deux espaces supplémentaires
déf.
ssi
ssi
ssi
E1 ∩ E2 = {0E }.
E1 ⊕ E2 = E.
∀ x ∈ E, ∃ !(x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 .
E1 + E2 = E et E1 ∩ E2 = {0E }.
On suppose ici E de dimension finie.
prop. 2
E = E1 + E2
E = E1 ⊕ E2 ⇐⇒
dim(E) = dim(E1 ) + dim(E2 )
⇐⇒
E1 ∩ E2 = {0E }
dim(E) = dim(E1 ) + dim(E2 )
Application : Définition des projections et symétries.
• Si u est un projecteur de E ie une application linéaire de E telle que u ◦ u = u
alors
th.
Ker u ⊕ Im u = E
et
u est la projection sur Im u parallèlement à Ker u.
• Si u est une application linéaire de E telle que u ◦ u =idE
alors
Ker(u − idE ) ⊕ Ker(u + idE ) = E et
u est la symétrie par rapport à Ker(u − idE ) parallèlement à Ker(u + idE ).
EspaceVectoriel - page 4
b. Cas général
Soient p ∈ N∗ et E1 , E2 , . . . , Ep des sous espaces vectoriels de E.
p
X
La somme
Ei
p
X
est directe lorsque la décomposition de 0E est unique dans
i=1
Cette décomposition est alors :
déf.
La somme
p
X
Ei
i=1
0E + 0E + · · · + 0E
∀ i ∈ [[1, p]],
puisque
0E ∈ Ei .
Ei est donc directe lorsque
i=1
X
p
∀ (x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep ,
p
M
Dans ce cas, on note cette somme
xi = 0E =⇒ ∀ i ∈ [[1, p]],
xi = 0E
i=1
Ei
i=1
Si
la somme
p
X
Ei est directe
i=1
prop. 1
alors
la décomposition de tout vecteur
∀x ∈
c’est-à-dire :
x∈
p
X
Ei
sur les sous-espaces vectoriels Ei est unique
i=1
p
X
Ei ,
∃ !(x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep / x =
i=1
prop. 2
p
X
xi
i=1
On suppose ici E de dimension finie
p
p
X
X
Alors dim
Ei 6
dim (Ei )
La somme
p
X
i=1
i=1
Ei est directe
si et seulement si
dim
p
X
i=1
p
X
Ei =
dim (Ei )
i=1
3) Décomposition de E en somme directe
Soient p ∈ N∗ , E1 , E2 , . . . , Ep des sous espaces vectoriels de E
On suppose E de dimension n > 1
et
E=
p
M
et
i=1
F un K−espace vectoriel .
Ei .
i=1
Si
th. 1
alors
pour
i ∈ [[1, p]],
B = (B1 , . . . , Bp )
Bi
est une base de Ei
est une base de E , dite adaptée à la décomposition E =
p
M
Ei
i=1
Si
th. 2
E=
p
M
Ei
et
∀ i ∈ [[1, p]],
ui ∈ L(Ei , F )
i=1
alors
∃ !u ∈ L(E, F ) / ∀ i ∈ [[1, p]],
u|Ei = ui
III - HYPERPLAN
Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel de dimension finie n > 1 sur K.
déf. 1 Les éléments de
L(E, K)
s’appellent des formes linéaires, ce sont des applications linéaires de E dans K.
déf. 2 Les hyperplans de E sont les sous-espaces vectoriels de E de dimension n − 1.
th. 1 Tout hyperplan de E est supplémentaire d’une droite vectorielle.
th. 2
Si
f est une forme linéaire non nulle
Si
H est un hyperplan
Equation d’un hyperplan :
EspaceVectoriel - page 5
alors
alors
Ker f est un hyperplan de E.
il existe une forme linéaire f , non nulle, unique à un facteur près,.
telle que H = Ker f