TD1. Espaces vectoriels, familles libres et génératrices

UNIVERSITÉ PAUL SABATIER – 1ÈRE ANNÉE LICENCE 2011–2012
MATH 3 – ALGÈBRE LINÉAIRE
TD1. Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
Exercice 1 : 1. Dessiner les sous-ensembles suivants de R2:
E1={(x1,x2)R2,x1x2=0},E2={(x1,x2)R2,x1+x2=2},
E3={(x1,x2)R2,x12x2=0},E4={(x1,x2)R2,x1x2=2x13x2=0},
E5={(x1,x2)R2,x1x2}.
2. Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de R2(muni des lois usuelles) ?
Exercice 2 : Les sous-ensembles suivants de R3sont-ils des sous-espaces vectoriels de (R3
,+, .)?
F1={(x1,x2,x3)R3,x1=2x2x3},
F2={(x1,x2,x3)R3,x1+2x2x3=2},
F3={(x1,x2,x3)R3,sin(x3) = x1+x2},
F4={(x1,x2,x3)R3,x1x2x3=x1+2x23x3=0}.
Exercice 3 : Soit Eun espace vectoriel, et soient vE,λR. Montrer que
λ·(v) = (λ)·v=(λ·v).
Exercice 4 : 1. Dans R2, donner un exemple de deux sous-espaces vectoriels E1et E2tels que
l’union E1E2ne soit pas un espace vectoriel.
2. Toujours dans R2, donner un exemple tel que E1E2soit un espace vectoriel.
3. En général, si E1,E2sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, à quelle
condition E1E2est-il un espace vectoriel ? Même question pour E1E2.
Exercice 5 : 1. L’ensemble Fdes fonctions définies sur R, à valeurs réelles et qui prennent la
valeur 1 en x=0 est-il un espace vectoriel sur R, pour l’addition et l’opération extérieure
classique sur les fonctions ?
2. Même question pour l’ensemble Gdes fonctions paires de Rdans R.
3. Même question pour l’ensemble Hdes fonctions monotones de Rdans R
Exercice 6 : On considère l’équation différentielle 4y(x)3y(x) = 0.
Montrer que l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applica-
tions de Rdans R.
Exercice 7 : Soit El’espace des fonctions de Rdans R, soit Fl’ensemble des fonctions paires de R
dans Ret soit Gl’ensemble des fonctions impaires de Rdans R.
1. Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriel de Eet que FGest réduit à la fonction
nulle.
2. Soit f:RR. On considère les deux fonctions φet ψ, définies pour tout xRpar
φ(x) = f(x) + f(x)
2et ψ(x) = f(x)f(x)
2.
Montrer que φE,ψF, et f=φ+ψ.
3. En déduire que E=FG.
Exercice 8 : Dans le Respace vectoriel (R2,+, .)on considère les vecteurs suivants :
v0= (0,0),v1= (1,1),v2= (1,1),v3= (3,3),v4= (3,4).
Pour chacune des familles suivantes, indiquer si elle est libre, génératrice de R2, si elle forme
une base de R2.
1. {v0},2. {v0,v2},3. {v1},4. {v1,v2},5. {v1,v3},6. {v1,v2,v4}.
Exercice 9 : Peut-on déterminer x,yréels tels que le vecteur v= (2,x,y,5)de R4soit combinaison
linéaire de vecteurs u1= (1,1,1,2)et u2= (1,2,3,1)?
Exercice 10 : Dans R3on considère les vecteurs u1= (0,1,2),u2= (1,4,6),u3= (2,9,14)et
u4= (0,0,2).
1. La famille {u1,u2,u3}est-elle libre ? Est-elle une famille génératrice de R3?
2. Montrer que B= (u1,u2,u4)est une base de R3.
3. La famille {u1,u2,u3,u4}est-elle libre ? Est-elle une famille génératrice de R3?
4. Déterminer les coordonnées du vecteur u= (x,y,z)dans la base B.
Exercice 11 : Pour quelles valeurs de aR, la famille (a,1,2,2),(0,a,1,1),(1,0,a,1)est-elle
une famille libre de vecteurs de R4?
Exercice 12 : Montrer que dans R3les vecteurs v1= (2,3,1)et v2= (1,1,2)engendrent le
même sous-espace vectoriel que les vecteurs v3= (3,7,0)et v4= (5,0,7).
Exercice 13 : Montrer que les vecteurs u1= (1,2)et u2= (1,2)forment une base de R2.
Si vest le vecteur de coordonnées (x,y)dans la base canonique de R2, exprimer le vecteur v
dans la base (u1,u2).
Exercice 14 : Soient M1=1 0
0 0,M2=1 1
0 0,M3=0 0
1 2,M4=0 3
0 2,M5=2 4
0 2. Pour
chacune des familles suivantes de M2, dire si elle forme un système libre, générateur, une base
de M2.
1. F1=M1,M2,M3.
2. F2=M1,M2,M3,M4}.
3. F3=M1,M2,M4,M5}.
Exercice 15 : Soient les fonctions de Rdans Rdéfinies par : pour tout xréel, f1(x) = sinx,f2(x) =
cosx,f3(x) = sin2x,f4(x) = cos2x,f5(x) = 1.
1. La famille F1=f1,f2,f5forme t-elle un système libre?
2. Même question pour la famille F2=f3,f4,f5.
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