TD1. Espaces vectoriels, familles libres et génératrices

U NIVERSITÉ PAUL S ABATIER – 1 ÈRE
M ATH 3 – A LGÈBRE LINÉAIRE
ANNÉE
L ICENCE
2011–2012
TD1. Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
Exercice 1 : 1. Dessiner les sous-ensembles suivants de R2 :
E1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 − x2 = 0}, E2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 + x2 = 2},
E3 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 2 − x2 = 0}, E4 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 − x2 = 2x1 − 3x2 = 0},
E5 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 , x1 ≤ x2 }.
2. Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de R2 (muni des lois usuelles) ?
Exercice 2 : Les sous-ensembles suivants de R3 sont-ils des sous-espaces vectoriels de (R3 , +, .) ?
F1 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , x1 = 2x2 − x3 },
F2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , x1 + 2x2 − x3 = 2},
F3 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , sin(x3 ) = x1 + x2 },
F4 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , x1 − x2 − x3 = x1 + 2x2 − 3x3 = 0}.
Exercice 3 : Soit E un espace vectoriel, et soient v ∈ E, λ ∈ R. Montrer que
λ · (−v) = (−λ) · v = −(λ · v).
Exercice 4 : 1. Dans R2 , donner un exemple de deux sous-espaces vectoriels E1 et E2 tels que
l’union E1 ∪ E2 ne soit pas un espace vectoriel.
2. Toujours dans R2 , donner un exemple tel que E1 ∪ E2 soit un espace vectoriel.
3. En général, si E1 , E2 sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, à quelle
condition E1 ∪ E2 est-il un espace vectoriel ? Même question pour E1 ∩ E2 .
Exercice 5 : 1. L’ensemble F des fonctions définies sur R, à valeurs réelles et qui prennent la
valeur 1 en x = 0 est-il un espace vectoriel sur R, pour l’addition et l’opération extérieure
classique sur les fonctions ?
2. Même question pour l’ensemble G des fonctions paires de R dans R.
3. Même question pour l’ensemble H des fonctions monotones de R dans R
Exercice 6 : On considère l’équation différentielle 4y′ (x) − 3y(x) = 0.
Montrer que l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applications de R dans R.
Exercice 7 : Soit E l’espace des fonctions de R dans R, soit F l’ensemble des fonctions paires de R
dans R et soit G l’ensemble des fonctions impaires de R dans R.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriel de E et que F ∩G est réduit à la fonction
nulle.
2. Soit f : R → R. On considère les deux fonctions φ et ψ, définies pour tout x ∈ R par
f (x) + f (−x)
f (x) − f (−x)
et ψ(x) =
.
2
2
Montrer que φ ∈ E, ψ ∈ F, et f = φ + ψ.
3. En déduire que E = F ⊕ G.
φ(x) =
Exercice 8 : Dans le R espace vectoriel (R2 , +, .) on considère les vecteurs suivants :
v0 = (0, 0),
v1 = (1, 1), v2 = (1, −1), v3 = (−3, −3), v4 = (3, 4).
Pour chacune des familles suivantes, indiquer si elle est libre, génératrice de R2 , si elle forme
une base de R2 .
1. {v0 },
2. {v0 , v2 },
3. {v1 },
4. {v1 , v2 },
5. {v1 , v3 },
6. {v1 , v2 , v4 }.
Exercice 9 : Peut-on déterminer x, y réels tels que le vecteur v = (−2, x, y, 5) de R4 soit combinaison
linéaire de vecteurs u1 = (1, −1, 1, 2) et u2 = (−1, 2, 3, 1)?
Exercice 10 : Dans R3 on considère les vecteurs u1 = (0, 1, 2), u2 = (−1, 4, 6), u3 = (−2, 9, 14) et
u4 = (0, 0, −2).
1. La famille {u1 , u2 , u3} est-elle libre ? Est-elle une famille génératrice de R3 ?
2. Montrer que B = (u1 , u2 , u4 ) est une base de R3 .
3. La famille {u1 , u2 , u3, u4 } est-elle libre ? Est-elle une famille génératrice de R3 ?
4. Déterminer les coordonnées du vecteur u = (x, y, z) dans la base B .
Exercice 11 : Pour quelles valeurs de a ∈ R, la famille (a, 1, 2, 2), (0, a, 1, 1), (1, 0, a, 1) est-elle
une famille libre de vecteurs de R4 ?
Exercice 12 : Montrer que dans R3 les vecteurs v1 = (2, 3, −1) et v2 = (1, −1, −2) engendrent le
même sous-espace vectoriel que les vecteurs v3 = (3, 7, 0) et v4 = (5, 0, −7).
Exercice 13 : Montrer que les vecteurs u1 = (1, 2) et u2 = (1, −2) forment une base de R2 .
Si v est le vecteur de coordonnées (x, y) dans la base canonique de R2 , exprimer le vecteur v
dans la base (u1 , u2 ).
1 0
1 1
0 0
0 3
2 4
Exercice 14 : Soient M1 =
, M2 =
, M3 =
, M4 =
, M5 =
. Pour
0 0
0 0
1 2
0 2
0 2
chacune des familles suivantes de M 2 , dire si elle forme un système libre, générateur, une base
de M 2 .
1. F 1 = M1 , M2 , M3 .
2. F 2 = M1 , M2 , M3 , M4 }.
3. F 3 = M1 , M2 , M4 , M5 }.
Exercice 15 : Soient les fonctions de R dans R définies par : pour tout x réel, f1 (x) = sin x, f2 (x) =
cos x, f3 (x) = sin2 x, f4 (x) = cos2 x, f5 (x) = 1.
1. La famille F 1 = f1 , f2 , f5 forme t-elle
libre?
un système
2. Même question pour la famille F 2 = f3 , f4 , f5 .