TD1. Espaces vectoriels, familles libres et génératrices

UNIVERSITÉ PAUL SABATIER – 1ÈRE ANNÉE LICENCE 2011–2012
MATH 3 – ALGÈBRE LINÉAIRE
TD1. Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
Exercice 1 : 1. Dessiner les sous-ensembles suivants de R2:
E1={(x1,x2)∈R2,x1−x2=0},E2={(x1,x2)∈R2,x1+x2=2},
E3={(x1,x2)∈R2,x12−x2=0},E4={(x1,x2)∈R2,x1−x2=2x1−3x2=0},
E5={(x1,x2)∈R2,x1≤x2}.
2. Lesquels sont des sous-espaces vectoriels de R2(muni des lois usuelles) ?
Exercice 2 : Les sous-ensembles suivants de R3sont-ils des sous-espaces vectoriels de (R3 ,+, .)?
F1={(x1,x2,x3)∈R3,x1=2x2−x3},
F2={(x1,x2,x3)∈R3,x1+2x2−x3=2},
F3={(x1,x2,x3)∈R3,sin(x3) = x1+x2},
F4={(x1,x2,x3)∈R3,x1−x2−x3=x1+2x2−3x3=0}.
Exercice 3 : Soit Eun espace vectoriel, et soient v∈E,λ∈R. Montrer que
λ·(−v) = (−λ)·v=−(λ·v).
Exercice 4 : 1. Dans R2, donner un exemple de deux sous-espaces vectoriels E1et E2tels que
l’union E1∪E2ne soit pas un espace vectoriel.
2. Toujours dans R2, donner un exemple tel que E1∪E2soit un espace vectoriel.
3. En général, si E1,E2sont des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, à quelle
condition E1∪E2est-il un espace vectoriel ? Même question pour E1∩E2.
Exercice 5 : 1. L’ensemble Fdes fonctions définies sur R, à valeurs réelles et qui prennent la
valeur 1 en x=0 est-il un espace vectoriel sur R, pour l’addition et l’opération extérieure
classique sur les fonctions ?
2. Même question pour l’ensemble Gdes fonctions paires de Rdans R.
3. Même question pour l’ensemble Hdes fonctions monotones de Rdans R
Exercice 6 : On considère l’équation différentielle 4y′(x)−3y(x) = 0.
Montrer que l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applica-
tions de Rdans R.
Exercice 7 : Soit El’espace des fonctions de Rdans R, soit Fl’ensemble des fonctions paires de R
dans Ret soit Gl’ensemble des fonctions impaires de Rdans R.
1. Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriel de Eet que F∩Gest réduit à la fonction
nulle.
2. Soit f:R→R. On considère les deux fonctions φet ψ, définies pour tout x∈Rpar
φ(x) = f(x) + f(−x)
2et ψ(x) = f(x)−f(−x) 2.
Montrer que φ∈E,ψ∈F, et f=φ+ψ.
3. En déduire que E=F⊕G.

Exercice 8 : Dans le Respace vectoriel (R2,+, .)on considère les vecteurs suivants :
v0= (0,0),v1= (1,1),v2= (1,−1),v3= (−3,−3),v4= (3,4).
Pour chacune des familles suivantes, indiquer si elle est libre, génératrice de R2, si elle forme
une base de R2.
1. {v0},2. {v0,v2},3. {v1},4. {v1,v2},5. {v1,v3},6. {v1,v2,v4}.
Exercice 9 : Peut-on déterminer x,yréels tels que le vecteur v= (−2,x,y,5)de R4soit combinaison
linéaire de vecteurs u1= (1,−1,1,2)et u2= (−1,2,3,1)?
Exercice 10 : Dans R3on considère les vecteurs u1= (0,1,2),u2= (−1,4,6),u3= (−2,9,14)et
u4= (0,0,−2).
1. La famille {u1,u2,u3}est-elle libre ? Est-elle une famille génératrice de R3?
2. Montrer que B= (u1,u2,u4)est une base de R3.
3. La famille {u1,u2,u3,u4}est-elle libre ? Est-elle une famille génératrice de R3?
4. Déterminer les coordonnées du vecteur u= (x,y,z)dans la base B.
Exercice 11 : Pour quelles valeurs de a∈R, la famille (a,1,2,2),(0,a,1,1),(1,0,a,1)est-elle
une famille libre de vecteurs de R4?
Exercice 12 : Montrer que dans R3les vecteurs v1= (2,3,−1)et v2= (1,−1,−2)engendrent le
même sous-espace vectoriel que les vecteurs v3= (3,7,0)et v4= (5,0,−7).
Exercice 13 : Montrer que les vecteurs u1= (1,2)et u2= (1,−2)forment une base de R2.
Si vest le vecteur de coordonnées (x,y)dans la base canonique de R2, exprimer le vecteur v
dans la base (u1,u2).
Exercice 14 : Soient M1=1 0
0 0,M2=1 1 0 0,M3=0 0 1 2,M4=0 3 0 2,M5=2 4 0 2. Pour
chacune des familles suivantes de M2, dire si elle forme un système libre, générateur, une base
de M2.
1. F1=M1,M2,M3.
2. F2=M1,M2,M3,M4}.
3. F3=M1,M2,M4,M5}.
Exercice 15 : Soient les fonctions de Rdans Rdéfinies par : pour tout xréel, f1(x) = sinx,f2(x) =
cosx,f3(x) = sin2x,f4(x) = cos2x,f5(x) = 1.
1. La famille F1=f1,f2,f5forme t-elle un système libre?
2. Même question pour la famille F2=f3,f4,f5.