Probabilités : le B.A.BA 1. Généralités P
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Probabilités : le B.A.BA 1. Généralités n p Coefficient binomial n p n p Formule de Pascal k p deux à deux, la famille P Ai i I 1 1 p 1 n 1 p n 1 p 1 n k k 0 I p m p Formule de Vandermonde i I 1 k p n Formule de Pascal généralisée PROPRIÉTÉ : Pour toute famille Ai n n p m n p k d’événements incompatibles est sommable et P An P Ai i I i I PROBABILITÉ CONDITIONNELLE : Soient A et B deux événements tels que P(B) P A B P B 0 . On appelle probabilité de A sachant B le réel PB (A) FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé On suppose A non négligeable. Alors : P A Plus généralement : soit Ai B P A , ,P . PA (B ) . une famille d’événements d’un i 1,n n 1 , espace probabilisé ,P telle que P 0 . Alors Ai i 1 n P Ai P A1 i 1 PA1 A2 PA1 A2 A3 ... PA1 A2 ... An 1 An . FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé tels que 0 P(A) P B P A Soit An n Soit B , ,P 1 . Alors : PA B P A PA B . un système complet d’événements non négligeables. . Alors la série P B P (B ) P B n 0 An converge et An P An n 0 PAn B FORMULE DE BAYES Pour tout couple A, B Soit An 2 d’événements non négligeables, P (A) PA (B ) PB (A) P (A) PA (B ) P (A) PA(B ) système complet d’événements non négligeables. n . Alors la série Soit B An converge et P B P Aj PB (Aj ) PAj B P An PAn B n 0 EVÉNEMENTS INDÉPENDANTS A et B sont indépendants si P A Une famille Ai B P A P B est dite : i I d’événements deux à deux indépendants si I2 : i, j i j P Ai Aj P Ai P Aj d’événements mutuellement indépendants si pour toute famille finie J incluse dans I : P Aj P Aj . j J j J 2. Variables aléatoires VARIABLES ALÉATOIRES Soit X : E. X variable aléatoire discrète X est une partie finie ou dénombrable de E . x X X X x est une partie finie ou dénombrable de E . A X , X x X A X X 1 x 1 A , X w w A /X w /X w x A LOI DE PROBABILITÉ On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X l’application PX : X 0,1 x P X x ou PX : X A 0,1 P X A 3. Espérance et variance ESPÉRANCE Soit X une variable aléatoire discrète sur Si X est à valeurs dans , l’espérance E X est la somme, dans , de la famille xP X 0, Si X est à valeurs dans famille xP X x ,P . , x x X , elle est dite « d’espérance finie » si la est sommable et alors E X x xP X x x X Une variable aléatoire X est dite centrée si E X 0. THÉORÈME DE TRANSFERT Soit X une variable aléatoire discrète réelle. La variable aléatoire f X est d’espérance finie si et seulement si la famille f x Dans ce cas : E f X P X f x x est sommable x X P X x x X INÉGALITÉ DE MARKOV Si la v.a.d.r. X admet une espérance finie, alors : a P X E X a a VARIANCE Soit X une variable aléatoire telle que X 2 est d’espérance finie. On appelle variance de X le nombre V X E X E X 2 . . On appelle écart-type de X le nombre s X V X . Une variable aléatoire est dite réduite si s X 1 1. FORMULE DE KOENIG-HUYGENS Soit X une v.a. admettant une variance. Alors V X E X2 PROPRIÉTÉS Soit X une v.a. telle que m 1. s X 2. a, b 3. X E X et s s X sont finies. X est presque surement constante . 0 , aX X 2 E X . m s b admet une variance et V aX Y a2 V X est une variable aléatoire centrée et réduite. INÉGALITÉ DE BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV Soit X une v.a. de variance finie. Alors e 0 : P X E X e V X e2 4. Lois usuelles LOIS USUELLES Loi de X Notation Définition de la loi X Uniforme n 1,n P X k 1 n de Bernoulli p 0,1 P X 1 p Binomiale n, p 0,n Géométrique p E X de Poisson l E X n P X k p kq n k pq n e l Espérance n k 1 Variance 2 n2 1 12 p pq np npq 1 p q p2 l l 1 ln n! CARACTÉRISATION DE LA LOI GÉOMÉTRIQUE COMME LOI SANS MÉMOIRE Soit X une variable aléatoire à valeurs dans . Il est équivalent d’écrire : X suit une loi géométrique 2 n, k : P X n k |X n P X k APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON Si pour tout n n, pn avec pn n , Xn est variable aléatoire suivant une loi binomiale l (où l ), alors n lk e l : lim P Xn k k n k! 5. Couples de variables aléatoires Définitions Soit X ,Y un couple de variables aléatoires. loi conjointe : c’est la loi du couple X ,Y : ce sont les lois de X et de Y . lois marginales du couple X ,Y loi conditionnelle de Y sachant X x : c’est la loi de la variable aléatoire Y dans l’espace probabilisé , PX , x Formules loi conjointe : pi, j I, lois marginales : i pi P X 0,1 i, j I J où pi, j xi PY pi, j yj P X xi Y yj pi, j xi P yj yj . P X xi Y yj i I loi conditionnelle de Y sachant X Y Y j J i I PX xi J: j j J qj P X X xi Y X xi P X x P Y xi : y j : yj pi, j pi probabilités composées : P X x Y y probabilités totales : P X x PX PY Y x y y PY X y x y X INDÉPENDANCE DE VARIABLES ALÉATOIRES Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, au choix : A, B version lourde : P X A P X Y B X x Y P X Y , y P X A PY B . x PY y au plus dénombrable de variables aléatoires . Les variables aléatoires X i sont dites indépendantes deux à deux si i, j i I Y x, y version légère : Soit une famille Xi X I j : X i et X j sont indépendantes J/ i Les v.a. X i sont dites mutuellement indépendantes si au choix : version lourde : I /J finie , J P X P X j J P X Xj , j J Aj j J I /J finie , J j J Aj j J version légère : Aj xj xj j J P X j J Xj j J xj , THÉORÈME DES COALITIONS Soit un vecteur aléatoire X1, X2,..., Xn et m Soit f : Xk k 1 1, n 1 . n m E et g : Xk F. k m 1 Si les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes, alors f X1,..., Xm et g Xm 1,..., Xn sont indépendantes. En particulier, soient deux v.a. X et Y et f : X E et g : Y Si X et Y sont indépendantes, alors f X et g Y sont indépendantes. F.
