Probabilités : le B.A.BA 1. Généralités P

Probabilités : le B.A.BA
1. Généralités
Coefficient binomial
1
1
nn
n
pp
p
Formule de Pascal
11
1
nn n
pp
p
Formule de Pascal généralisée
1
1
n
kp
n
k
pp
Formule de Vandermonde
0
p
k
mn mn
p
k p k
PROPRIÉTÉ : Pour toute famille
I
iiI
A
d’événements incompatibles
deux à deux, la famille
iiI
PA
est sommable et
ni
iI iI
P A P A
PROBABILITÉ CONDITIONNELLE : Soient A et B deux événements tels que
( ) 0PB
. On appelle probabilité de A sachant B le réel
()
B
P A B
PA PB
FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES
 Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé
,,P
.
On suppose A non négligeable. Alors :
()
A
P A B P A P B
.
 Plus généralement : soit
1,
iin
A
une famille d’événements d’un
espace probabilisé
,,P
telle que
1
1
0
n
i
i
PA
. Alors
1 1 2 1 2 1
1 2 3 ...
1
... n
n
i A A A A A A n
i
P A P A P A P A P A
.
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
 Soient A et B deux événements d’un espace probabilisé
,,P
tels que
0 ( ) 1PA
. Alors :
AA
P B P A P B P A P B
.
 Soit
nn
A
un système complet d’événements non négligeables.
Soit
B
. Alors la série
n
P B A
converge et
00
() n
n n A
nn
P B P B A P A P B

FORMULE DE BAYES
 Pour tout couple
2
,AB
d’événements non négligeables,
( ) ( )
() ( ) ( ) ( ) ( )
A
B
AA
P A P B
PA P A P B P A P B
 Soit
nn
A
système complet d’événements non négligeables.
Soit
B
. Alors la série
n
P B A
converge et
0
() j
n
jA
Bj
nA
n
P A P B
PA
P A P B
EVÉNEMENTS INDÉPENDANTS
 A et B sont indépendants si
P A B P A P B
 Une famille
iiI
A
est dite :
d’événements deux à deux indépendants si
2
,:i j I
i j i j
i j P A A P A P A
d’événements mutuellement indépendants si pour toute famille finie J
incluse dans I :
jj
j J j J
P A P A
.
2. Variables aléatoires
VARIABLES ALÉATOIRES
Soit : .
variable aléatoire discrète
est une partie finie ou dénombrable de .
,
est une partie finie ou dénombrable de .
,
XE
X
XE
x X X x
XE
A X X A
1/X x X x X xww
1/X A X A X Aww
LOI DE PROBABILITÉ
On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X l’application
0,1
:
X
X
Px P X x
ou
0,1
:
X
X
PA P X A

3. Espérance et variance
ESPÉRANCE Soit X une variable aléatoire discrète sur
,,P
.
Si X est à valeurs dans , l’espérance
EX
est la somme, dans
0,
, de la famille
xX
xP X x
Si X est à valeurs dans , elle est dite « d’espérance finie » si la
famille
x
xP X x
est sommable et alors
xX
E X xP X x
Une variable aléatoire X est dite centrée si
0EX
.
THÉORÈME DE TRANSFERT Soit X une variable aléatoire discrète réelle.
La variable aléatoire
fX
est d’espérance finie
si et seulement si la famille
xX
f x P X x
est sommable
Dans ce cas :
xX
E f X f x P X x
INÉGALITÉ DE MARKOV Si la v.a.d.r. X admet une espérance finie, alors :
a
EX
P X a a
VARIANCE Soit X une variable aléatoire telle que
2
X
est d’espérance finie.
On appelle variance de X le nombre
2
V X E X E X
.
.
On appelle écart-type de X le nombre
X V Xs
.
Une variable aléatoire est dite réduite si
1Xs
1.
FORMULE DE KOENIG-HUYGENS Soit X une v.a. admettant une
variance.
Alors
2
2
V X E X E X
.
PROPRIÉTÉS Soit X une v.a. telle que
m E X
et
Xss
sont finies.
1.
0 est presque surement constanteXXs
.
2.
,ab
,
aX b
admet une variance et
2
V aX Y a V X
3.
Xm
Xs
est une variable aléatoire centrée et réduite.
INÉGALITÉ DE BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV Soit X une v.a. de variance
finie.
Alors
0e
:
2
VX
P X E X ee

4. Lois usuelles
LOIS USUELLES
Loi de X
Notation
X
Définition de la loi
Espérance
Variance
Uniforme
n
1, n
1
P X k n
1
2
n
21
12
n
de Bernoulli
p
0,1
1P X p
p
pq
Binomiale
,np
0, n
k n k
n
P X k p q
k
np
npq
Géométrique
p
1n
E X pq
1
p
2
q
p
de Poisson
l
!
n
E X e n
ll
l
l
CARACTÉRISATION DE LA LOI GÉOMÉTRIQUE COMME LOI SANS MÉMOIRE
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans . Il est équivalent d’écrire :
 X suit une loi géométrique
2
,nk
:
|P X n k X n P X k
APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON
Si pour tout
n
,
n
X
est variable aléatoire suivant une loi binomiale
,n np
avec
nn
pn
l
(où
l
), alors
k
:
lim !
k
n
nP X k e k
ll

5. Couples de variables aléatoires
Définitions Soit
,XY
un couple de variables aléatoires.
loi conjointe : c’est la loi du couple
,XY
lois marginales du couple
,XY
: ce sont les lois de X et de Y .
loi conditionnelle de Y sachant
Xx
: c’est la loi de la variable
aléatoire Y dans l’espace probabilisé
,,
Xx
P
Formules
loi conjointe :
,,0,1 IJ ij ij
p
où
,i j i j
p P X x Y y
.
lois marginales :
iI
,
:jJ
,i i i j i j
j J j J
p P X x p P X x Y y
,j j i j i j
i I i I
q P Y y p P X x Y y
loi conditionnelle de Y sachant
i
Xx
:
j
yY
:
,
i
ij
ij
X x j
ii
P X x Y y p
P Y y P X x p
probabilités composées :
Xx
P X x Y y P X x P Y y
probabilités totales :
Yy
yX
P X x P Y y P X x
INDÉPENDANCE DE VARIABLES ALÉATOIRES
Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, au choix :
version lourde :
,A B X Y
P X A Y B P X A P Y B
.
version légère :
,x y X Y
,
P X x Y y P X x P Y y
Soit une famille
iiI
X
au plus dénombrable de variables aléatoires .
 Les variables aléatoires
i
X
sont dites indépendantes deux à deux si
,i j I J
/
ij
:
i
X
et
j
X
sont indépendantes
 Les v.a.
i
X
sont dites mutuellement indépendantes si au choix :
version lourde :
/J finieJI
,
jj
jJ jJ
AX
,
jj
j J j J
P X A P X A
version légère :
/J finieJI
,
jj
jJ jJ
xX
,
jj
j J j J
P X x P X x