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Endomorphismes et matrices symétriques
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1 Rappels sur les groupes orthogonaux
Exercice 1 CCP 2007
Soit Eun espace euclidien de dimension n. On rappelle qu’un endomorphisme de Eest déclaré orthogonal
lorsqu’il conserve la norme. Soit Bune base orthonormée et A= Mat
B(u).
1. Montrer qu’il y a équivalence entre :
(a) uest orthogonal ;
(b) A.t A=In;
(c) Aest inversible et A−1=t A.
2. Montrer que si uest orthogonal, alors u∗=u−1.
Exercice 2 CCP 2007, 2008, 2009
Soit Eun espace euclidien.
1. Soit u∈ L(E)conservant la norme (2009 : le produit scalaire). Montrer que uest bijectif.
2. Montrer que les endomorphismes orthogonaux forment un groupe pour la loi ◦.
Exercice 3 CCP 2009
Soient n∈N∗et M∈On(R). Montrer :
X
i,j
mi,j  6n6X
i,j
|mi,j |6n3/2.
Exercice 4 Mines 2010
Soit A∈On(R). Montrer : 
X
i,j
ai,j  6n.
Exercice 5 Mines 2008
On considère E=R3muni de sa base canonique, du produit scalaire canonique <|>et de sa norme
euclidienne k k associée. Pour u∈Eunitaire et a∈R∗, on définit fa:x7→ x+a <u|x> u.
1. Montrer que fa∈ L(E).
2. Montrer qu’il existe un unique a∈R∗tel que pour tout x∈E,kfa(x)k=kxk. Montrer qu’on a
alors Ker (fa−IdE)⊕Ker (fa+IdE) = E.
3. Montrer que faest un endomorphisme symétrique. Préciser ses éléments propres.
Exercice 6 Mines 2010
Soient Eun euclidien de dimension 3,rune rotation et sune symétrie orthogonale. Reconnaître s◦r◦s.
Exercice 7 Mines 2010
Soient (a, b, c)∈R3. Montrer que 
a c b
b a c
c b a
appartient à SO3(R)si et seulement s’il existe t∈[0,4/27]
tel que a, b et csoient les racines de X3−X2+t.
1

Exercice 8 Mines 2009
Soit p, q, r ∈Rdistincts deux à deux. Montrer :
p q r
r p q
q r p
∈SO3(R)⇐⇒ p3−p2=q3−q2=r3−r2.
Trouver alors l’axe et l’angle de cette rotation.
Exercice 9 Mines 2009
Trouver les matrices de M3(R)qui commutent avec tous les éléments de SO3(R).
Exercice 10 Mines 2009
Soient f, g ∈SO(R3)distinctes de l’identité. Montrer que fet gcommutent si et seulement si fet gont
même axe, ou bien sont des symétries orthogonales par rapport à deux axes orthogonaux.
Exercice 11 Mines 2009
Soit −→ a∈R3muni de sa structure euclidienne canonique. Calculer l’exponentielle de u:−→ x7→ −→ a∧−→ x.
Exercice 12 Mines 2009
Soit f∈ L(R3)tel que f(−→ i) = −→ j,f(−→ j) = −→ ket f−→ k=−→ i. Caractériser géométriquement f.
Exercice 13 Mines 2009
On note fl’endomorphisme de E=R3dont la matrice dans la base canonique est 1
9
1−8 4
4 4 7
−814
.
Étudier l’application (x, y, z)7→ (2,3,4) + f(x, y, z).
Exercice 14 Déterminer les endomorphismes orthogonaux diagonalisables :
– en dimension 2puis 3;
– en dimension quelconque.
2 Adjoint d’un endomorphisme
Exercice 15 Déterminer tous les endomorphismes ud’un euclidien vérifiant u∗◦u=−IdE.
Exercice 16 Déterminer tous les endomorphismes d’un euclidien qui sont à la fois orthogonaux et
auto-adjoints.
Exercice 17 Soit fun endomorphisme de Eeuclidien. Montrer : Ker (f∗◦f) = Ker (f), et Im (f∗◦f) =
(Ker f)⊥.
Exercice 18 CCP 2008
Soient Eun espace euclidien, u∈ L(E), et Bune base orthonormée de E.
1. Montrer que Mat
B(u) = tMat B(u∗).
2. Trouver une relation entre rg(u)et rg(u∗).
3. Montrer que uest bijective si et seulement si u∗est bijective.
4. On définit |||f||| = Sup
x6=0
kf(x)k
kxk·Montrer que |||u∗||| =|||u|||.
Exercice 19 Mines 2010
Soient Eun euclidien, et u∈ L(E)vérifiant u2= 0. Montrer que u+u∗∈GL(E)si et seulement si
Im u= Ker u.
2

Exercice 20 Mines 2010
Soit Eun espace euclidien, et u∈E. On dit que uest une contraction lorsque ku(x)k6kxkpour tout
x∈E.
1. Montrer que uest une contraction si et seulement si u∗en est une.
2. Soit uune contraction. On pose, pour k > 0:pk=1
k
k−1
X
i=0
ui. Étudier la convergence de (pk)k>0.
Exercice 21 Mines 2009
Soit (e1, ..., en)une base orthonormée de Eeuclidien.
1. Soit pun projecteur orthogonal de rang 1. Calculer
n
X
i=1
kp(ei)k2.
2. Soit pun projecteur de rang 1tel que
n
X
i=1
kp(ei)k2= 1. Montrer que pest orthogonal.
Exercice 22 Montrer que le seul endomorphisme auto-adjoint vérifiant pour tout x∈E <u(x)|x>= 0
est l’endomorphisme nul.
Exercice 23 Déterminer les endomorphismes antisymétriques (u∗=−u) en dimension 3.
Exercice 24 Sur E=C∞([−1,1],R)muni du produit scalaire <f|g>=Z1
−1
fg, montrer que l’endo-
morphisme ϕ:f7→ x7→ (1 −x2)f00 −2xf0est symétrique.
Exercice 25 On munit E=Mn(R)du produit scalaire usuel <A|B>= tr(t AB), et on fixe A0, B0∈E.
Déterminer l’adjoint de M7→ A0M−MB0.
3 Réduction des auto-adjoints
Exercice 26 Soit u∈ S(E)avec Eeuclidien, de valeurs propres λ16· · · 6λn. Montrer que pour tout
x∈E,λ1kxk26<u(x)|x>6λnkxk2.
Cas d’égalité ?
Exercice 27 Soit A∈ Sn(R)telle qu’il existe k∈N∗tel que Ak=In. Montrer que A2=In.
Exercice 28 CCP 2008
Soit A=
−2−2 1
−2 1 −2
1−2−2
1. Justifier que Aest diagonalisable.
2. Trouver P∈O3(R)telle que t P AP soit diagonale.
Exercice 29 «Réduire en base orthonormée» la matrice 
6−2 2
−250
2 0 7
.
Exercice 30 CCP 2009
Soient Eun espace euclidien et sune symétrie vectorielle de E. On pose u=s∗◦set on note λ1, ..., λn
les valeurs propres de u(«comptées avec leur multiplicité»).
1. Montrer que pour tout i,λi>0.
2. Montrer que det(u+IdE) =
n
Y
k=1
(1 + λk) =
n
Y
k=1 1 + 1
λk·
3

3. En déduire : det s∗◦s+IdE
2>1.
Exercice 31 Mines 2009
Soit f∈ L(E). Montrer qu’il existe un unique u∈ L(E)auto-adjoint positif tel que u2=f∗◦f.
Exercice 32 Mines 2009
Eest un espace vectoriel euclidien.
1. Soit uun endomorphisme auto-adjoint de E. Montrer que uest défini positif si et seulement s’il
existe w∈GL(E)auto-adjoint tel que u=w2.
2. Soient uet vdeux endomorphismes auto-adjoints de E,uétant défini positif. Montrer que u◦v
est diagonalisable.
Exercice 33 Mines 2009
Soient A∈ S+
n(R)et B∈ S++ n(R)telles que <AX|X>6<BX|X> pour tout X∈Rn(produit scalaire
canonique).
1. Établir l’existence et l’unicité de S∈ S++
n(R)telle que S2=B−1.
2. Étudier la suite (Mk)k>0où M=SAS.
3. En déduire que det A6det B.
Exercice 34 Soit Mune matrice symétrique. Montrer que Mest définie positive si et seulement s’il
existe Ptriangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs tels que M=t P P .
– Géométriquement : en orthonormalisant la base canonique de Rnpour le produit scalaire défini sur
cette même base par M.
– Matriciellement : par récurrence (c’est gore mais assez efficace).
Exercice 35 Centrale 2009
Soit A∈ Mn(R).
1. Montrer que tAA est symétrique positive. Donner une condition sur Apour que tAA soit définie
positive.
2. On suppose cette condition remplie. Montrer :
|det A|6nn/2(max |ai,j |)n.
Indication : on pourra utiliser une matrice Ptriangulaire supérieure à diagonale dans R∗
+telle
que tP P =tAA.
Exercice 36 ENSEA 2009 (PSI)
Trouver les M∈ Sn(R)telles que M3−M2+M−In= 0.
Exercice 37 Soit A∈ Sn(R)de valeurs propres λ1, ..., λn(comptées avec leur multiplicités). Montrer :
X
i,j
a2
i,j =Xλ2 i
Exercice 38 ENS 2010
Soient A∈ Sn(R)et B=A In
InA. Trouver les valeurs propres de B.
Exercice 39 Mines 2010
Soit A∈ S+
n(R). Montrer : 1 + (det A)1/n 6(det(In+A))1/n.
Exercice 40 Mines 2010
Que dire de A∈ S+
n(R)vérifiant A5+A3+A= 3I3?
4

Exercice 41 Mines 2010
Soient Eeuclidien et f∈GL(E). Montrer qu’il existe un unique couple (u, s)avec u∈O(E),s∈ S++(E)
et f=u◦s.
Exercice 42 Mines 2010
Soit A∈ Mn(C).
1. On suppose qu’il existe N∈N∗tel que AN∈ S++
n(R). Montrer que Aest diagonalisable.
2. On suppose que dim Ker A2= 1 et qu’il existe N∈N∗tel que AN∈ S+
n(R). Montrer que Aest
diagonalisable.
Exercice 43 Mines 2010
Soient A, B ∈ Mn(R)telles que t AA =t BB.
1. On suppose Ainversible. Montrer qu’il existe P∈On(R)telle que B=P A.
2. Montrer que ce résultat reste vrai sans l’hypothèse sur A.
Exercice 44 Centrale 2009 et 2010
Soit U∈ Sn(R). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe V∈ An(R)telle que
U+Vsoit orthogonale.
1. On suppose ici que V∈ An(R)est telle que U+Vsoit orthogonale.
(a) Montrer que UV =V U et U2−V2=In.
(b) En déduire que si λ∈Sp(U), alors λ∈[−1,1] et que si λ∈]−1,1[, alors dim Ker (U−λIn)
est paire.
2. Conclure.
Exercice 45 CCP 2010 (PSI)
Soit M∈ Mn(R)vérifiant Mt MM =In. Montrer que Mest inversible et symétrique. Déterminer M.
Exercice 46 Montrer que si A∈ S+
n(R), alors ses mineurs principaux sont positifs. Réciproque ?
Exercice 47 Soient A∈ Sn(R)et B∈ S++
n(R). Montrer que les valeurs propres de AB sont réelles.
Exercice 48 Montrer que la matrice H∈ Mn(R)de terme général hi,j =1
i+jest (symétrique) définie
positive.
Exercice 49 Soit A∈ Sn+1(R)de valeurs propres λ16λ26· · · 6λn+1. On suppose que son mineur
principal (n, n)a pour valeurs propres µ16· · · 6µn. Montrer :
λ16µ16λ26µ26· · · 6λn6µn6λn+1.
Exercice 50 Revisitons l’exercice 46
Soit A∈ Sn(R)dont tous les mineurs principaux sont strictement positifs. Montrer que Aest définie
positive.
4 Des indications
– Exercice 1 : «Le cours, il faut le sa-ouar».
– Exercice 2 : Voir plus haut.
– Exercice 3 : Cauchy-Schwarz entre v=e1+· · ·+enet u(v)à gauche. À droite : sommer ninégalités
de Cauchy-Schwarz. Au milieu : (|a|+|b|)2>a2+b2!
Au fait, quels sont les cas d’égalité ?
– Exercice 4 : Je l’ai mis juste pour la comparaison avec l’exercice précédent...
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