Exercices

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Exercices
Endomorphismes et matrices symétriques
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1
Rappels sur les groupes orthogonaux
Exercice 1 CCP 2007
Soit E un espace euclidien de dimension n. On rappelle qu’un endomorphisme de E est déclaré orthogonal
lorsqu’il conserve la norme. Soit B une base orthonormée et A = Mat(u).
B
1. Montrer qu’il y a équivalence entre :
(a) u est orthogonal ;
(b) A.tA = In ;
(c) A est inversible et A−1 = tA.
2. Montrer que si u est orthogonal, alors u∗ = u−1 .
Exercice 2 CCP 2007, 2008, 2009
Soit E un espace euclidien.
1. Soit u ∈ L(E) conservant la norme (2009 : le produit scalaire). Montrer que u est bijectif.
2. Montrer que les endomorphismes orthogonaux forment un groupe pour la loi ◦.
Exercice 3 CCP 2009
Soient n ∈ N∗ et M ∈ On (R). Montrer :
X
X
m
|mi,j | 6 n3/2 .
i,j 6 n 6
i,j
i,j
Exercice 4 Mines 2010
X
Soit A ∈ On (R). Montrer : ai,j 6 n.
i,j
Exercice 5 Mines 2008
On considère E = R3 muni de sa base canonique, du produit scalaire canonique < | > et de sa norme
euclidienne k k associée. Pour u ∈ E unitaire et a ∈ R∗ , on définit fa : x 7→ x + a <u|x> u.
1. Montrer que fa ∈ L(E).
2. Montrer qu’il existe un unique a ∈ R∗ tel que pour tout x ∈ E, kfa (x)k = kxk. Montrer qu’on a
alors Ker (fa − IdE ) ⊕ Ker (fa + IdE ) = E.
3. Montrer que fa est un endomorphisme symétrique. Préciser ses éléments propres.
Exercice 6 Mines 2010
Soient E un euclidien de dimension 3, r une rotation et s une symétrie orthogonale. Reconnaître s ◦ r ◦ s.
Exercice 7 Mines 2010


a c b
Soient (a, b, c) ∈ R3 . Montrer que  b a c  appartient à SO3 (R) si et seulement s’il existe t ∈ [0, 4/27]
c b a
tel que a, b et c soient les racines de X 3 − X 2 + t.
1
Exercice 8 Mines 2009
Soit p, q, r ∈ R distincts deux

p q
r p
q r
à deux. Montrer :

r
q  ∈ SO3 (R) ⇐⇒
p
p3 − p2 = q 3 − q 2 = r3 − r2 .
Trouver alors l’axe et l’angle de cette rotation.
Exercice 9 Mines 2009
Trouver les matrices de M3 (R) qui commutent avec tous les éléments de SO3 (R).
Exercice 10 Mines 2009
Soient f, g ∈ SO(R3 ) distinctes de l’identité. Montrer que f et g commutent si et seulement si f et g ont
même axe, ou bien sont des symétries orthogonales par rapport à deux axes orthogonaux.
Exercice 11 Mines 2009
−
−
−
−
Soit →
a ∈ R3 muni de sa structure euclidienne canonique. Calculer l’exponentielle de u : →
x 7→ →
a ∧→
x.
Exercice 12 Mines 2009
→
→
−
− →
→
−
→
−
→
−
−
Soit f ∈ L(R3 ) tel que f ( i ) = j , f ( j ) = k et f k = i . Caractériser géométriquement f .
Exercice 13 Mines 2009

1
1
On note f l’endomorphisme de E = R3 dont la matrice dans la base canonique est  4
9
−8
Étudier l’application (x, y, z) 7→ (2, 3, 4) + f (x, y, z).
−8
4
1

4
7.
4
Exercice 14 Déterminer les endomorphismes orthogonaux diagonalisables :
– en dimension 2 puis 3 ;
– en dimension quelconque.
2
Adjoint d’un endomorphisme
Exercice 15 Déterminer tous les endomorphismes u d’un euclidien vérifiant u∗ ◦ u = −IdE .
Exercice 16 Déterminer tous les endomorphismes d’un euclidien qui sont à la fois orthogonaux et
auto-adjoints.
Exercice 17 Soit f un endomorphisme de E euclidien. Montrer : Ker (f ∗ ◦f ) = Ker (f ), et Im (f ∗ ◦f ) =
⊥
(Ker f ) .
Exercice 18 CCP 2008
Soient E un espace euclidien, u ∈ L(E), et B une base orthonormée de E.
1. Montrer que Mat(u) = t Mat(u∗ ).
B
B
2. Trouver une relation entre rg(u) et rg(u∗ ).
3. Montrer que u est bijective si et seulement si u∗ est bijective.
kf (x)k
4. On définit |||f ||| = Sup
· Montrer que |||u∗ ||| = |||u|||.
kxk
x6=0
Exercice 19 Mines 2010
Soient E un euclidien, et u ∈ L(E) vérifiant u2 = 0. Montrer que u + u∗ ∈ GL(E) si et seulement si
Im u = Ker u.
2
Exercice 20 Mines 2010
Soit E un espace euclidien, et u ∈ E. On dit que u est une contraction lorsque ku(x)k 6 kxk pour tout
x ∈ E.
1. Montrer que u est une contraction si et seulement si u∗ en est une.
2. Soit u une contraction. On pose, pour k > 0 : pk =
k−1
1X i
u . Étudier la convergence de (pk )k>0 .
k i=0
Exercice 21 Mines 2009
Soit (e1 , ..., en ) une base orthonormée de E euclidien.
1. Soit p un projecteur orthogonal de rang 1. Calculer
n
X
2
kp(ei )k .
i=1
2. Soit p un projecteur de rang 1 tel que
n
X
2
kp(ei )k = 1. Montrer que p est orthogonal.
i=1
Exercice 22 Montrer que le seul endomorphisme auto-adjoint vérifiant pour tout x ∈ E <u(x)|x>= 0
est l’endomorphisme nul.
Exercice 23 Déterminer les endomorphismes antisymétriques (u∗ = −u) en dimension 3.
Exercice 24 Sur E = C ∞ ([−1, 1], R) muni du produit scalaire <f |g>=
morphisme ϕ : f 7→ x 7→ (1 − x2 )f 00 − 2xf 0 est symétrique.
Z
1
f g, montrer que l’endo−1
Exercice 25 On munit E = Mn (R) du produit scalaire usuel <A|B>= tr(tAB), et on fixe A0 , B0 ∈ E.
Déterminer l’adjoint de M 7→ A0 M − M B0 .
3
Réduction des auto-adjoints
Exercice 26 Soit u ∈ S(E) avec E euclidien, de valeurs propres λ1 6 · · · 6 λn . Montrer que pour tout
2
2
x ∈ E, λ1 kxk 6<u(x)|x>6 λn kxk .
Cas d’égalité ?
Exercice 27 Soit A ∈ Sn (R) telle qu’il existe k ∈ N∗ tel que Ak = In . Montrer que A2 = In .
Exercice28 CCP 2008
−2 −2 1
Soit A = −2 1 −2
1 −2 −2
1. Justifier que A est diagonalisable.
2. Trouver P ∈ O3 (R) telle que tP AP soit diagonale.

6
Exercice 29 «Réduire en base orthonormée» la matrice −2
2
−2
5
0

2
0.
7
Exercice 30 CCP 2009
Soient E un espace euclidien et s une symétrie vectorielle de E. On pose u = s∗ ◦ s et on note λ1 , ..., λn
les valeurs propres de u («comptées avec leur multiplicité»).
1. Montrer que pour tout i, λi > 0.
n
n Y
Y
1
·
2. Montrer que det(u + IdE ) =
(1 + λk ) =
1+
λk
k=1
k=1
3
3. En déduire : det
s∗ ◦ s + IdE
2
> 1.
Exercice 31 Mines 2009
Soit f ∈ L(E). Montrer qu’il existe un unique u ∈ L(E) auto-adjoint positif tel que u2 = f ∗ ◦ f .
Exercice 32 Mines 2009
E est un espace vectoriel euclidien.
1. Soit u un endomorphisme auto-adjoint de E. Montrer que u est défini positif si et seulement s’il
existe w ∈ GL(E) auto-adjoint tel que u = w2 .
2. Soient u et v deux endomorphismes auto-adjoints de E, u étant défini positif. Montrer que u ◦ v
est diagonalisable.
Exercice 33 Mines 2009
Soient A ∈ Sn+ (R) et B ∈ Sn++ (R) telles que <AX|X>6<BX|X> pour tout X ∈ Rn (produit scalaire
canonique).
1. Établir l’existence et l’unicité de S ∈ Sn++ (R) telle que S 2 = B −1 .
2. Étudier la suite (M k )k>0 où M = SAS.
3. En déduire que det A 6 det B.
Exercice 34 Soit M une matrice symétrique. Montrer que M est définie positive si et seulement s’il
existe P triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs tels que M = tP P .
– Géométriquement : en orthonormalisant la base canonique de Rn pour le produit scalaire défini sur
cette même base par M .
– Matriciellement : par récurrence (c’est gore mais assez efficace).
Exercice 35 Centrale 2009
Soit A ∈ Mn (R).
1. Montrer que t AA est symétrique positive. Donner une condition sur A pour que t AA soit définie
positive.
2. On suppose cette condition remplie. Montrer :
n
|det A| 6 nn/2 (max |ai,j |) .
Indication : on pourra utiliser une matrice P triangulaire supérieure à diagonale dans R∗+ telle
que t P P = t AA.
Exercice 36 ENSEA 2009 (PSI)
Trouver les M ∈ Sn (R) telles que M 3 − M 2 + M − In = 0.
ExerciceX
37 Soit A ∈ Sn (R) de valeurs propres λ1 , ..., λn (comptées avec leur multiplicités). Montrer :
X
2
ai,j =
λ2i
i,j
Exercice 38 ENS 2010 A
Soient A ∈ Sn (R) et B =
In
In
. Trouver les valeurs propres de B.
A
Exercice 39 Mines 2010
1/n
Soit A ∈ Sn+ (R). Montrer : 1 + (det A)1/n 6 (det(In + A)) .
Exercice 40 Mines 2010
Que dire de A ∈ Sn+ (R) vérifiant A5 + A3 + A = 3I3 ?
4
Exercice 41 Mines 2010
Soient E euclidien et f ∈ GL(E). Montrer qu’il existe un unique couple (u, s) avec u ∈ O(E), s ∈ S ++ (E)
et f = u ◦ s.
Exercice 42 Mines 2010
Soit A ∈ Mn (C).
1. On suppose qu’il existe N ∈ N∗ tel que AN ∈ Sn++ (R). Montrer que A est diagonalisable.
2. On suppose que dim Ker A2 = 1 et qu’il existe N ∈ N∗ tel que AN ∈ Sn+ (R). Montrer que A est
diagonalisable.
Exercice 43 Mines 2010
Soient A, B ∈ Mn (R) telles que tAA = tBB.
1. On suppose A inversible. Montrer qu’il existe P ∈ On (R) telle que B = P A.
2. Montrer que ce résultat reste vrai sans l’hypothèse sur A.
Exercice 44 Centrale 2009 et 2010
Soit U ∈ Sn (R). On cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe V ∈ An (R) telle que
U + V soit orthogonale.
1. On suppose ici que V ∈ An (R) est telle que U + V soit orthogonale.
(a) Montrer que U V = V U et U 2 − V 2 = In .
(b) En déduire que si λ ∈ Sp(U ), alors λ ∈ [−1, 1] et que si λ ∈] − 1, 1[, alors dim Ker (U − λIn )
est paire.
2. Conclure.
Exercice 45 CCP 2010 (PSI)
Soit M ∈ Mn (R) vérifiant M tM M = In . Montrer que M est inversible et symétrique. Déterminer M .
Exercice 46 Montrer que si A ∈ Sn+ (R), alors ses mineurs principaux sont positifs. Réciproque ?
Exercice 47 Soient A ∈ Sn (R) et B ∈ Sn++ (R). Montrer que les valeurs propres de AB sont réelles.
Exercice 48 Montrer que la matrice H ∈ Mn (R) de terme général hi,j =
1
est (symétrique) définie
i+j
positive.
Exercice 49 Soit A ∈ Sn+1 (R) de valeurs propres λ1 6 λ2 6 · · · 6 λn+1 . On suppose que son mineur
principal (n, n) a pour valeurs propres µ1 6 · · · 6 µn . Montrer :
λ1 6 µ1 6 λ2 6 µ2 6 · · · 6 λn 6 µn 6 λn+1 .
Exercice 50 Revisitons l’exercice 46
Soit A ∈ Sn (R) dont tous les mineurs principaux sont strictement positifs. Montrer que A est définie
positive.
4
Des indications
– Exercice 1 : «Le cours, il faut le sa-ouar».
– Exercice 2 : Voir plus haut.
– Exercice 3 : Cauchy-Schwarz entre v = e1 +· · ·+en et u(v) à gauche. À droite : sommer n inégalités
de Cauchy-Schwarz. Au milieu : (|a| + |b|)2 > a2 + b2 !
Au fait, quels sont les cas d’égalité ?
– Exercice 4 : Je l’ai mis juste pour la comparaison avec l’exercice précédent...
5
– Exercice 5 : La condition kfa (u)k = kuk impose |1 + a| = 1 donc a = −2. Réciproquement...
Le caractère symétrique est une simple vérification : <fa (x)|y >=<x|fa (y)>... Il s’agit enfin de
résoudre fa (x) = λx... Ne soyez pas surpris si fa est diagonalisable.
– Exercice 6 : D’une manière générale, f ◦ r ◦ f −1 (conjugué de r par f ) est de même nature que r,
mais a ses éléments propres géométriques transportés par f
– Exercice 7 : Classique... Relations coefficients/racines ; conditions d’orthogonalité <fi |f j>= δi,j ,
déterminant, et brassage d’air algébrique. Équivalences «déconseillées».
– Exercice 8 : La relation p3 − p2 = q 3 − q 2 est équivalente (puisque p 6= q) à p2 + pq + q 2 − (p + q) = 0.
Par ailleurs, l’appartenant à SO3 (R) de la matrice de l’énoncé est équivalente à la conjonction des
relations p2 + q 2 + r2 = 1, pq + pr + qr = 0, et p3 + q 3 + r3 − 3pqr = 1. Le reste est à nouveau du
brassage d’air algébrique peu intéressant à mon avis...
– Exercice 9 : Ils (les endomorphismes canoniquement associés) stabilisent les axes, donc toutes les
droites : ce ne sont que les homothéties.
– Exercice 10 : Un sens n’est pas trop compliqué (vérification géométrique, ou même matricielle pour
les fainéants). Pour le sens direct, la commutation impose de stabiliser les éléments propres de celui
en face.
– Exercice 11 : Travailler dans une base adaptée est probablement une bonne idée.
−
2π
→
− →
− →
d’axe dirigé et orienté par i + j + k .
– Exercice 12 : C’est la rotation d’angle
3
– Exercice 50 : Il s’agit d’une application affine, dont j’étudierais bien les points fixes et la partie
linéaire...
– Exercice 14 : En dimension 2 : les réflexions et −Id (qui est une rotation). En dimension 3 :
les réflexions, demi-tours (rotations d’angle π) et −IdE . En dimension quelconque : les symétries
orthogonales (dont les réflexions et −IdE ).
– Exercice 15 : Évaluer en x puis cogner contre x.
– Exercice 16 : Déjà, u∗ = u−1 = u, donc u est une symétrie. Ensuite, cette symétrie est orthogonale
(prendre par exemple des éléments du noyau et de l’image, et les cogner l’un contre l’autre).
2
– Exercice 17 : Encore <f ∗ ◦ f (x)|x>= kf (x)k (pour l’inclusion non triviale). Ensuite, u = f ∗ ◦ f
⊥
est symétrique, donc Im (u) = (Ker (u∗ )) = Ker (u)⊥ = Ker (f )⊥ .
– Exercice 18 : C’est à nouveau quasiment du cours. Rappel : |||f ||| = Sup <f (x)|y>.
x,y∈S1
– Exercice 19 : Déjà, Im u ⊂ Ker u. Ensuite, on travaille dans une base adaptée au problème. Le rang
de u + u∗ vaut alors deux fois le rang de u...
– Exercice 20 : Pour le premier point (que je n’utilise pas dans la suite) : |||u||| = |||u∗ |||. Ensuite,
E1 = Ker (u − IdE ) et E2 = Im (u − IdE ) jouent un rôle spécial vis-à-vis des pk , puisque pk (x) = x
sur E1 , et pk (x) −→ 0 sur E2 . Il reste à prouver que ces deux espaces sont supplémentaires (j’ai eu
k→+∞
à utiliser |||u||| 6 1). La limite est ainsi une projection p telle que |||p||| 6 1 : elle est donc orthogonale !
– Exercice 21 : C’est la trace de p∗ ◦ p, qu’on peut calculer dans une autre base orthonormée adaptée
au problème... Bonus : généraliser l’exercice avec le rang égal à r, ainsi que la somme.
– Exercice 22 : Calculer <u(x + y)|x + y>.
– Exercice 23 : Ce sont les
Z x 7→ a ∧ x : travailler dans une base orthonormée directe...
1
(x2 − 1)f 00 (x)g(x)dx par parties en primitivant f 00 .
– Exercice 24 : Intégrer
−1
– Exercice 25 : Je trouve <A0 M − M B0 |N>=<M |tA0 N − N tB0>.
– Exercice 26 : Travailler dans une base orthonormée de vecteurs propres. Il y a égalité si et seulement
si x est dans le sous-espace propre associé à la valeur propre concernée.
– Exercice 27 : On a peut-être A diagonalisable sur R... et la relation Ak = In réduit alors les
possibilités pour les valeurs propres...
– Exercice 28 : Si on ouvre les yeux, on trouve que la matrice ressemble furieusement à une matrice
1
orthogonale croisée n fois (n > 10) : A est orthogonale et symétrique : c’est la matrice d’une
3
symétrie orthogonale (et même d’une réflexion, d’après la trace). Il reste à déterminer le noyau de
A − 3I3 (c’est une droite) et celui de A + 3I3 (un plan).
– Exercice 29 : Mouais... Je trouve comme valeurs propres 3, 6 et 9...
– Exercice 30 : On a u−1 = s−1 ◦ (s∗ )−1 = s ◦ s∗ , et
u + IdE = s∗ ◦ s + IdE = s ◦ (s ◦ s∗ + IdE ) ◦ s = s ◦ (u−1 + IdE ) ◦ s,
6
–
–
–
–
1
donc det(u + IdE ) = det(u−1 + IdE ). Enfin, (1 + λ) 1 +
> 4, donc det2 (s∗ ◦ s + IdE ) > 4n .
λ
Exercice 31 : Tellement classique que ça devient du cours : le point clé est que v = f ∗ ◦ f est
symétrique positif. Pour l’existence, il suffit de se placer dans une base de diagonalisation de v.
Pour l’unicité, on note que les sous-espace de v sont nécessairement stables par u (car u ◦ v = v ◦ u),
et les restrictions de v à ces sous-espaces sont auto-adjointes donc diagonalisables. On trouve
finalement une base de diagonalisation commune, avec des éléments diagonaux imposés pour u.
Exercice 32 : Pour le premier point (sens direct), voir plus haut (la réciproque est immédiate). Pour
le second point, c’est à la fois classique, culturel, faisable et non évident.
– Point de vue géométrique : en prenant w comme plus haut, on définit un nouveau produit scalaire
[x, y] =<w−1 (x)|w−1 (y)> pour lequel u ◦ v est auto-adjoint.
– Point de vue matriciel : U V = W 2 V = W (W V W )W −1 , et la matrice au milieu est symétrique
réelle donc diagonalisable. On y comprend rien mais ça va vite !
Exercice 33 : Je ne suis pas l’indication : <M X|X>= · · · =<A.SX|SX>6 · · · =<X|X>, donc les
valeurs propres de M sont dans [0, 1] donc 0 6 det M 6 1.
Exercice 34 : On s’intéresse au sens non trivial (sens direct). Géométriquement, on peut noter que
M représente un produit scalaire sur Rn : <x|y>1 = t XM Y (avec X et Y les coordonnées de x
et y dans la base canonique E de Rn ). On peut orthonormaliser E pour obtenir une base F, et en
notant P = Pas , on a (avec X1 et Y1 les coordonnées de x et y dans F) : <x|y>1 = tXM Y d’une
F →E
part, et <x|y>1 = t X1 Y1 = t X t P P Y d’autre part, donc t P P = M (pourquoi au fait ?), et P est
bien de la forme souhaité, si on a Gram-Schmidté.
A1 C 1
Pour la version matricielle par récurrence : on écrit A = t
, et on cherche P tel que
C1 α P1 D1
t
P P = A. On peut raisonnablement le chercher sous la forme P =
, avec P1 tel que
0
β
t
P1 P1 = A1 (l’existence de P1 est assurée par la récurrence). Il est alors nécessaire et suffisant
d’avoir t P1 D1 = C1 et t D1 D1 + β 2 = α. La première condition est facilement vérifiée en définissant
−1
t
D1 = (tP1 ) C1 . Pour la seconde, il suffit de vérifier
α −
D1 D1 > 0, soit encore tC1 A−1
1 C1 < α.
:−1
A
C
1
On peut pour cela s’intéresser à tXAX, avec X =
.
−1
– Exercice 35 : Pour que B = t AA soit définie, il est nécessaire et suffisant que A soit inversible.
Lorsque c’est le cas, il existe (exercice précédent !) P triangulaire supérieure telle que t P P = t AA.
On la prend ainsi (avec le point de vue Gram-Schmidt, et les notations de l’exercice précédent).
n
n
Y
Y
2
2
On a alors det A = det P =
<fi |ei>1 6
kei k1 ... et que |bi,j | 6 n max |ai,j | .
i=1
i=1
– Exercice 36 : X 3 − X 2 + X − 1 = (X − 1)(X 2 + 1), donc les valeurs propres possibles pour cette
matrice symétrique réelle sont limitées...
– Exercice 37 : C’est la somme du carré des normes des images d’une base orthonormée, quantité qui
ne dépend pas de la base orthonormée...
– Exercice
38 : Vraiment
simple pour un exercice d’ENS : si X est un «vecteur» propre pour A, alors
X
X
et
sont des vecteurs propres pour B. Il reste à vérifier que la famille de 2n vecteurs
X
−X
propres à laquelle on pense... est bien une base de R2n .
– Exercice 39 : Convexité de x 7→ ln(1 + ex ) après réduction.
– Exercice 40 : X 5 + X 3 + X − 3 = (X − 1)(X 4 + X 3 + 2X 2 + 2X + 3) donc la seule valeur propre
positive est 1...
– Exercice 41 : Analyse : nécessairement, s2 = f ∗ ◦ f . Synthèse : f ∗ ◦ f est auto-adjoint défini positif,
donc possède une unique «racine» symétrique définie positive, et il reste à vérifier qu’en prenant s
cette racine puis u = f ◦ s−1 , on a bien u orthogonal.
– Exercice 42 : L’endomorphisme u canoniquement associé à A commute avec uN donc stabilise les
sous-espaces propres de uN , sur lesquels il a un polynôme annulateur scindé...
Ensuite, Ker (u) est dimension strictement positive et majorée par 1 donc égale à 1, et donc les
noyaux itérés stagnent dès le rang 1, donc Ker (uN ) est de dimension 1, donc la restriction de
u à cette droite est nulle. C’est gagné puisque Ker (uN ) était le seul sous-espace propre posant
problème.
7
– Exercice 43 : Dans le cas inversible, il suffit bien entendu de poser P = BA−1 , et de vérifier que
2
2
cette matrice est orthogonale. Dans le cas général, on note d’abord que ka(x)k = kb(x)k , donc
Ker (a) = Ker (b).
On ne peut pas poser p = b ◦ a−1 , car a n’est pas bijectif, mais comme d’habitude, a induit
une bijection entre tout supplémentaire du noyau et son image. Vu le contexte, il est raisonnable
de considérer a1 = a|IKa⊥ , avec K = Ker (a) = Ker (b) et Ia = Im (a). On prolonge a−1
en un
1
automorphisme c à l’aide d’une isométrie entre Ia⊥ et K. On pose alors p = b ◦ c, et on vérifie sans
mal que p ◦ a = b (évaluer en x ∈ K et en x ∈ K ⊥ ).
Pour le caractère orthogonal de p, on évalue kp(y)k lorsque y ∈ Ia (utiliser kb(x)k = ka(x)k qui
découle de l’hypothèse faite sur A et B) et lorsque y ∈ Ia⊥ : on voit alors que ça coince (p(y) = 0),
mais que tout irait mieux si on prenait p = b1 ◦ c, avec b1 coïncidant avec b sur K ⊥ , et réalisant
une isométrie entre K et Ib⊥ . C’est ce qu’on fait. On vérifie alors qu’on a toujours p ◦ a = b, et que
cette fois, p est bien orthogonal !
– Exercice 44 : Après avoir écrit tM M = In , on peut s’intéresser aux parties symétriques et antisymétriques des deux membres (rappel : il existe une unique décomposition «symétrique plus
antisymétrique»). Ensuite, évaluer en X vecteur propre, et cogner contre X. Pour la dimension de
E1 = Ker (u − λIn ) : puisque U V = V U , le sous-espace propre E1 est stable par v et de plus, la
restriction v1 de v à ce sous-espace est injective (prendre un élément du noyau et constater que sa
norme ne peut valoir que 0), donc son déterminant est non nul. Or :
det(v1 ) = det(v1∗ ) = det(−v1 ) = (−1)p det(v1 ),
avec p la dimension du sous-espace propre...
On vérifie sans mal que les deux conditions nécessaires de la question précédente... sont suffisantes.
En effet, si −1 < λ < 1, on peut écrire λ = cos θ, puis :
λ 0
cos θ − sin θ
0
− sin θ
=
−
0 λ
sin θ
cos θ
sin θ
0
−1
– Exercice 45 : Déjà, det(M )3 = 1 donc M est inversible. Ensuite, M = (tM M )
est en effet
symétrique, puis M 3 = In avec M diagonalisable sur R, donc M = In .
– Exercice 46 : si on note ϕ la forme bilinéaire représentée par A dans la base canonique de Rn ,
alors ses mineurs principaux sont les matrices des restrictions de ϕ à des sous-espaces de Rn . Ces
restrictionsétant des
formes bilinéaires positives, on a bien le résultat demandé. Pour la réciproque,
0 0
considérer
.
0 −1
– Exercice 47 : Ça ressemble furieusement à l’exercice 32... Donc si on veut rester dans le matriciel,
on part à nouveau de U ∈ Sn++ telle que U 2 = B, et on écrit AB = U −1 (U AU )U ...
Z 1
– Exercice 48 : Dans C([0, 1], R) muni du produit scalaire <f |g>=
f g, la famille F = (f1 , ..., fn ),
0
avec f (x) = xi−1/2 , est libre. La matrice de Hilbert H représente alors le produit scalaire dans la
2
base F de Vect(F), donc est (symétrique) définie positive (puisque tXHX = kx1 f1 + · · · + xn fn k ...).
n+1
– Exercice 49 : Le point clé est qu’en notant u l’endomorphisme auto-adjoint de E = R
canoni<u(x)|x>
, avec F décrivant les sous-espaces de E
quement associé à A, λk est le minimum des Sup
2
F
kxk
<u(x)|x>
de dimension k. De même, µk est le minimum des Sup
, avec G décrivant les sous-espaces
2
G
kxk
de E1 = Rn × {0} de dimension k.
Si G est un tel sous-espace, alors il est également un sous-espace de E de dimension k, donc
<u(x)|x>
Sup
> λk . Ceci étant vrai pour tout G, c’est vrai également pour celui réalisant le
2
G
kxk
minimum, donc λk 6 µk . Pour montrer que µk 6 λk+1 , on prendra le point de vue dual : µk est le
<u(x)|x>
, avec G décrivant...
maximum des Inf
2
G
kxk
– Exercice 50 : Presque immédiat par récurrence, si on utilise le résultat de l’exercice précédent...
8