MOKRANI Ibtissam

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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université de BATNA
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
MEMOIRE DE MAGISTER
Présenté Pour l’Obtention du Diplôme de Magister en Mathématiques
Option: Analyse Fonctionnelle
Thème:
Transformation De Fourier Discrète
Et
Applications
Présentée Par: MOKRANI IBTISSAM
Soutenu publiquement le: 20/01/2014
Devant le jury composé de:
Mr. BENAISSA Abdellah
M C A
(U. de Batna)
Président
Mr. NOUI Lemnouar
Professeur
(U. de Batna)
Rapporteur
Mr. DJEFFAL Lakhdar
M C A
(U. de Batna)
Examinateur
Mr. KADEM Abdelwahab
Professeur (U.de Setif )
Examinateur
Dédicaces
Dédicaces
Je dédie ce modeste travail à :
A ma mère, Dieu ait son âme.
A mon père, que Dieu le protège.
A mon mari pour son soutien.
A Mes frères.
A Mes sœurs.
Et
A tous ceux qui me sont chers.
MOKRANI IBTISSAM
Remerciement
Remerciement
Je remercie Dieu tout puissant de m’avoir accorder la volonté et
le courage pour réaliser ma thèse.
J’exprime ma profonde reconnaissance et mes vifs remerciements
à Mr.NOUI Lemnouar, Professeur au département de mathématiques
à l'Université de Batna, pour m’avoir guidée et permis de terminer
cette thèse.
Un grand merci à Mr. BENAISSA Abdellah, Maître de
conférences à l'Université de Batna, pour avoir accepté de
présider ce Jury.
Mes remerciements les plus élogieux à Mr. DJEFFAL Lakhdar,
Maître de conférences au département de mathématiques à
l'Université de Batna, et à Mr. KADEM Abdelwahab, Professeur à
l'Université de Setif, de m’avoir honoré par leur présence au jury
autant qu’examinateurs.
Je vous remercie :
Mon père, que Dieu le protège.
Mon mari pour son soutien.
Mes frères et mes sœurs, merci pour vos encouragements, avec
une pensée particulière à ma grand-mère et ma tante.
A tous ceux qui m’ont enseigné, je vous suis très reconnaissant.
A plusieurs proches, et mes amis, qui ont contribuées de près ou de loin à
l’élaboration de ce travail, je ne serais les nommer toutes, mais je
tiens à leurs exprimer mes vives remerciements.
MOKRANI IBTISSAM
TABLE DES MATIERES
TABLE DES MATIERES
Introduction.......................................................................................................................01
Chapitre 1 : Notions préliminaires sur les groupes
1-Notions préliminaires sur les groupes .....................................................................03
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8
Groupe ......................................................................................................................03
Sous – groupe ..............................................................................................................04
Ordre d’un élément et groupe cyclique.........................................................................05
Théorème de Lagrange ...............................................................................................07
Homomorphismes ......................................................................................................09
Groupe quotient ........................................................................................................10
Décomposition des groupes abéliens …nis .....................................................................10
Indexation des éléments d’un groupe abélien …ni .......................................................13
Chapitre 2 : Les matrices circulantes
2-Les matrices circulantes..............................................................................................15
2-1 Dé…niton.......................................................................................................................15
2-2 Algèbre des matrices circulantes ................................................................................15
2-2-1 Dé…niton d’une algèbre ......................................................................................15
2-2-2 Diagonalisation de .........................................................................................16
2-2-3 La transformée du Fourrier discrète .................................................................20
2–2-4 Diagonalisation d’une matrice circulante ..........................................................20
2-3 Produit de convolution (discret) ................................................................................24
2-3-1 Dé…niton ..........................................................................................................24
2-3-2 Propriétés du produit de convolution ................................................................25
2-4 Matrices de Toeplitz .................................................................................................25
2-4-1 Définition ..........................................................................................................25
2-4-2 Propriétés des matrices de Toeplitz ..................................................................29
Chapitre 3 : Caractères d’un groupe …ni
3- Caractères d’un groupe …ni ..................................................................................31
3-1 Dé…nition ..................................................................................................................31
z
3-2 Dual d’un groupe cyclique: = ...............................................................................32
3-3 Dual d’un groupe abélien …ni ....................................................................................34
3-4 L’algèbre du groupe C [] .........................................................................................34
Chapitre 4 : La Transformée de Fourier sur un groupe
4 La Transformée de Fourier sur un groupe.............................................................37
4-1 La transformée de Fourier ..........................................................................................37
4-1-1 Dé…niton ............................................................................................................37
4-1-2 Théorème.............................................................................................................37
4-2 Produit de convolution ...............................................................................................38
TABLE DES MATIERES
Chapitre 5 : Variantes de la Transformée de Fourier
5 Variantes de la Transformée de Fourier.................................................................40
5-1 La transformée de Fourier discrète .............................................................................40
5-1-1 Représentation matricielle...................................................................................41
5-1-2 Discrétisation et quanti…cation du signal ..........................................................41
5-2 Transformée de Fourier rapide ..................................................................................43
5-3 Transformation de Fourier sur ..............................................................................45
5-4 Transformation d’Hadamard......................................................................................46
5-5 Transformation de Fourier sur
.........................................................................47
5-6 Transformée de Fourier sur les corps …nis.................................................................47
5-6-1 Rappel sur les corps …nis...................................................................................47
5-6-2 Exemple de construction d’un corps …ni .........................................................48
5-7 les applications de la transformée de Fourier discrète ..........................................50
5-7-1 Produits de deux entiers ...................................................................................50
5-7-2 Compression d'images .....................................................................................51
5-7-3 Tatouage d'images .........................................................................................52
INTRODUCTION
Introduction
La transformée de Fourier et l’analyse fréquentielle ou spectrale, sont
des outils fondamentaux pour la compréhension et la mise en œuvre de
nombreuses techniques numériques de traitement des signaux et des
images. On la trouve dans des domaines très variés.
On peut citer toutes les applications où il est nécessaire de mettre en
forme les signaux mesurés par des capteurs grâce à un filtrage.
On l’utilise par exemple dans le codage à débit réduit de la parole, la
reconnaissance vocale, l’amélioration de la qualité des images,la
compression, les transmissions numériques, les nouveaux systèmes de
radiodiffusion, dans les applications biomédicales (scanner, imagerie par
résonance magnétique nucléaire), en astronomie (synthèse d’image par
interférométrie), en modélisation de propagation d’ondes, en analyse
spectrale pour l’étude de structures moléculaires ainsi qu’en
cristallographie. Son extension (calculs sur les corps finis) est utilisée dans
la theorie des codes lineaires concernant les méthodes de correction
d’erreurs en transmission numérique.
Elle intervient aussi dans les méthodes envisagées en informatique
quantique pour la factorisation de nombres.
L’objectif de ce mémoire est l’étude de la transformée de fourrier
discrète, notion utile en théorie et en applications.
Dans ce mémoire on rappelle les notions mathématiques nécessaires
pour aborder ce genre de question.
Le premier chapitre est consacré aux groupes, groupes cycliques (en
particulier le groupe des racines nième de l’unité), décomposition des
groupes abéliens finis.
Dans le deuxième chapitre, on a introduit les matrices circulantes et
leur diagonalisation, outils indispensables pour définir la transformée de
fourrier discrète, ensuite on a définit le produit de convolution discret et les
matrices de Toeplitz .
Au troisième chapitre les caractères d’un groupe fini sont étudiés afin
de généraliser la transformée fourrier à un groupe quelconque, ce qui fait
l’objet du quatrième chapitre.
1
INTRODUCTION
Le dernier chapitre est consacré aux variantes de la transformée de
fourrier suivant le groupe de base, la transformée de fourrier sur le groupe
m
cyclique n , la transformée d’Hadamard sur G  2 ; et plus
généralement sur  nZZ  m .
On termine par la transformée de fourrier sur les corps finis et on
donne quelques exemples d’application à savoir le calcul du produit de
deux polynômes et le produit de deux entiers.
2
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Chapitre 1
1-Notions préliminaires sur les groupes .
Définitions :
1-1 Groupe :
Soit G un ensemble non vide muni d’une loin interne .
GG  G
x, y  x. y
on dit que G, .  est un groupe si :
1) .  est un associative.
2) il existe un élément neutre 1 : x  G : x. 1  1. x  x
3) tout élément x  G admet un inverse x 1 : x. x 1  x 1 . x  1 .
Si de plus la loi .  est commutative : xy  yx pour tout x, y  G , On dit que
G est un group commutatif .
Exemple :
1) ,  est un groupe infini .
2) n est un groupe commutatif fini pour le loi : +


xy


xy
3) , .  est un groupe commutatif multiplicatif infini .
4) ;  n’est pas un groupe, X;  non plus.
5) 1; 1 ;  est un groupe.
6) L’ensemble  ;  des applications de  dans  muni de la loi  est
un groupe dont l’élément neutre est la fonction nulle.
7)  n   ;  est un groupe dont l’élément neutre est 1.
Proposition :
Soit G; .  un groupe alors on a les propriétés suivantes :
1. L’élément neutre est unique.
2. Tout élément de x a un symétrique unique.
3
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Démonstration :
Suposons qu’il existe e 1 et e 2 deux éléments neutres de G, alors
e 1 e 2  e 1 car e 2 est un élément neutre
e 1 e 2  e 2 car e 1 est un élément neutre
donc e 1  e 2 .
Supposons qu’il existe un élément x ayant deux symétriques x 1 et x 2 donc
xx 1  e et x 2 x  e alors
x 2 . x. x 1   x 2 . e  x 2
mais par associativité de . on a
x 2 . x. x 1   x 2 . x. x 1  e. x 1  x 1
et donc
x1  x2
1-2 Sous - groupe :
Soit H une partie non vide du groupe G, . 
H est un sous - groupe de G si:
x, y  H , x. y 1  H
Si le groupe G est additif , H est un sous - groupe de G si est seulement
si x, y  H  x  y  H.
Exemple :
1 - nZ est un sous groupe de Z, .
2- L’ensemble des nombres pairs est un sous groupe de ;  ; mais pas
l’ensemble des nombres impairs.
3- X : polynômes à coefficients dans  est un sous-groupe deX; .
4- Soit u un vecteur (du plan ou de l’espace) alors l’ensemble des
vecteurs colinéaires à u :
v tel que k  ; v  ku
est un sous-groupe du groupe des vecteurs (du plan ou de l’espace)
muni de l'addition .
4
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
1-3 Ordre d’un élément et groupe cyclique .
On va maintenant donner quelques définitions .
* Ordre
d’un élément :
Définition :
Soit G; .  un groupe, et soit g  G, on note g le sous-groupe engendré
par g; donc g  g 2 ; g 1 ; 1; g; g 2 ; . . . . ; 
Proposition :
Si G; .  est un groupe fini, pour tout g  G il existe un entier positif k
minimal tel que g k  1 et alors g  1; g; g 2 ; . . . . ; g k1 
k s’appelle l’ordre de g et est noté ordg. On a de plus ordg  card g
Démonstration :
Si G est fini, g est fini donc il existe a et b   tel que g a  g b donc g |ab|  1
donc
x  , g x  1 est non vide donc il admet un élément minimal : k.
On a évidemment 1; g; g 2 ; . . . . ; g k1   g, réciproquement soit g un
élément de g x , effectuons la division euclidienne de xpar k,
on obtient x  kd  r où 0  r  k et donc g k  g kdr  g k  d g r  g r
donc g k  1; g; g 2 ; . . . . ; g k1 .
Il reste à montrer que card card g  k et donc que tous les éléments de
1; g; g 2 ; . . . . ; g k1  sont distincts, mais si on avait g x  g y avec
0  x  y  k  1alors on aurait g yx  1 où 0  y  x  k  1
or ceci est impossible par définition de k.
** Groupe
cyclique :
Définition :
Soit G; .  un groupe fini, G est dit cyclique si il existe un élément g de G
tel que G  g. On dit que g est un générateur de G.
5
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Exemple :
Le groupe  n ;  est cyclique, en effet n  1.
Il faut remarquer que dans un groupe cyclique tous les éléments ne sont

pas des générateurs par exemple dans 10
, 5  0; 5 et 2  0; 2; 4; 6; 8

alors que 3  7  10
.
On va maintenant donner le nombre de générateurs d’un groupe
cyclique.
Proposition :
Soit G ; .  un groupe cyclique de cardinal n. Le nombre de générateurs
de G est  n.
Démonstration :
Soit g un générateur de G et soit h un élément de G il existe donc un
entier positif k  n  1
tel que h  g k , on va montrer que
G  k  k  n  1
ce qui donnera le résultat puisque  n est le nombre d’entiers positifs
inférieurs à n qui sont premiers avec n
Si k  n  1 d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels
que ku  nv  1
donc g  g kunv  h u 1 v  h u , par conséquent pour tout entier d on a h ud  g d
et donc G  h.
Réciproquement :
si G  h alors il existe un entier u tel que h u  g donc g ku1  1 donc ku  1
est multiple den donc il existe un entier r tel que ku  1  rn et on a donc
ku  rn  1 et donc d’après le théorème de Bézout k  n  1.
Exemple :
a)


Z
5Z

    

est un groupe cyclique engendré par 1 :
0, 1, 2, 3, 4


1 1, 2 1,

3 1, 4 1, 5 1 0 .
b)  5ZZ   
Z
5Z
 0 
Z
5Z
    

0, 1, 2, 3, 4 est un groupe cyclique engendré par 2


 2  2 1 , 2 2  4, 2 3  3, 2 4  1
6
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Groupe des racines n  ieme de l’unité
Un 
z   / zn  1

est un groupe cyclique engendré par e
2ik
n
z  Un  z 
e
2ik
n
,0  k  n  1
.
e
2ik
n
k
2ik
on montre que les générateurs de U n sont de la forme e n avec k et n
premiers entre eux .
d’une façon générale si G  x, x k est un générateur de G, .  si est
selement si k est premier avec n l’ordre de G. .
le nombre de ses générateurs est calculé par la fonction d’euler :
n  card
k / 0  k  n , k, n  1 .
si n  p 1 1 p 2 2 . . . . . . p  est décomposé en produit de facteurs premiers , n
est calculé par :
n  n 1  p11 1  1 . . . . 1  p1 .
p2
en particulier si n  p k premier :
n  p k  p k1
Exemple :
a)G
b)G
Z
5Z
Z
4Z
on a 5  5  1  4 générateurs .
on a 4  2 2  2 1  2 générateurs .
1-4Théorème de lagrange :
Soit G; .  un groupe fini, soit H un sous-groupe de G alors le cardinal de
H divise le cardinal de G.
Démonstration :
Soit la relation binaire  définie sur G par :
xy  xy 1  H , x, y  G 2
a. Montrons que  est une relation d’équivalence :
xx 1  1  H  xx , donc  est réflexive.
xy  xy 1  H (H sous groupe )  xy 1  1  H  yx 1  H  yx , donc 
est symétrique.
xy et yz  xy 1  H et yz 1  H  xy 1 yz 1  xz 1  H  xz , donc  est
transitive.
Donc  est bien une relation d’équivalence.
7
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
La classe d’équivalence d’un élément a de G est, par définition :
y  G/ay  y  G/a 1 y  H  y  G/h  H, a 1 y  h
 y  G/h  H, a 1 y  ah
 aH
Cet ensemble est appelé classe à gauche (de a) modulo H.
b. Montrons que toutes les classes à gauche ont |H| éléments :
Pour cela, on considère, pour tout a  G, l’application
f a : H  aH
h  ah
 f a h 1   f a h 2   ah 1  ah 2  h 1  h 2 , donc f a est injective.
 y  aH , h  H tel que y  ah, donc f a est surjective.
f a étant bijective, on déduit :
a  G |aH|  |H|
c. Montrons que toutes les classes à gauche sont disjointes :
Considérons deux classes aH et bH  a ; b  G 2 
Et supposons
aH  bH  
Soit g  aH  bH. Alors :
h  H tel que g  ah et h   H tel que g  ah 
On à alors :
ah  ah
a  bh  h 1
Tout élément ah" de aH s’écrit donc :
bh  h 1 h 
Or, h  h 1 h   H, donc tout élément ah" de aH est aussi élément de bH, d’où :
aH  bH
On montre, de même :
bH  bH
8
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
On a donc :
bH  bH
Ceci prouve que les classes à gauches sont disjointes.
Et enfin
En notant m le nombre de classes à gauches, on a donc :
G   mn1 a n H
D’où :
|G| 
m
m
n1
n1
|a n H|  |H|  m|H|
Alors
L’ordre du sous-groupe H divise donc l’ordre du groupe G.
1-5 Homomorphismes :
Soit G 1 , .  et G 2 , .  deux groupes et f une application de G 1 dans G 2 ,
on dit que f est un homomorphisme si fab  fafb pour tout a , b  G 1.
le noyau de f est défini par : f 1 G 2   x  G 1 / fx  1 .
et image de f est définie par : Im f  y  G 2 / y  fx, x  G 1 .
si f est bijective on dit que f est un isomorphisme de groupes .
Exemple :
1) Soit n 0  . L’application f :    donnée par m   fm  n 0 m est
unmorphisme de groupes.
2) Soit G, .  un groupe, soit a  G. Alors l’application f : ,   G, . 
définie par :
n  fn  a n est un morphisme de groupes.
3) L’application canonique   n qui à chaque élément x de  associe
sa classe modulo x est un morphisme de groupes.
4) On note GLn,  le groupe des matricces inversibles n  n à coefficients
dans .
Alors l’application GLn,   \0,  qui à tout M associe son
déterminant est un morphisme de groupes.
9
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
1-6 Groupe quotient :
Comme les groupes utilisés par la suite sont commutatifs , on définit le
quotient dans le cas d’un groupe commutatif G .

G
 x  H, x  G (appelé ensemble des classes , x  x  H ).
H
cet ensemble est muni d’une structure de groupe par la loi


xy


xy
(et on montre que la loi est bien définie , c’est à dire le résultat obtenu ne


depend pas du choix des représentants des classes x , y ).
ce groupe ainsi obtenu est dit groupe quotient de G par H .
Exemple:
G   , H  3 on a
  
G  G  0, 1, 2
H 3
1-7 Décomposition des groupes abéliens finis :[1] , [2]
Théorème :
Tout groupe abélien fini G est prouduit d’un nombre fini de groupes
cycliques , c’est à dire
m
G
 ni 
i1
Théorème chinois :
Soient m et n deux nombres premiers entre eux alors le groupe


isomorphe à m
 n
.

mn
est
Démonstration :
Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Si x désigne un entier, on
notera cl a x la classe de x modulo a, cl b x la classe de x modulo b.
et cl N x la classe de x modulo N  ab. Soit f l’application définie sur n , à
valeurs dans  a    b  définie par cl N x  cl a x; cl b x.
Vérifions que f est bien définie.
Soient x et y tels que cl N x  cl N y. N divise x  y, c’est- à-dire ab divise
x  y. Par suite, a divise x  y et b divise x  y.
10
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
On a donc cl a x  cl a y et cl b x  cl b y et donc
fcl N x  fcl N y
Montrons maintenant que f est linéaire. Soient x; y  .
fcl N x  cl N y  fcl N x  y (définition de l’addition dans

N
)
 cl a x  y; cl b x  y
(définition de la fonction f)
 cl a x  cl a y; cl b x  cl b y

a
(définition de l’addition dans

b
et
)
 cl a x; cl b x  cl a y; cl b y
(définition de l’addition sur

a


b
)
 fcl N x  fcl N y
De même, on montre que
fcl N x. cl N y  fcl N x. fcl N y.
De plus,fcl N 1  cl a 1; cl b 1 et


cl a 1; cl b 1 est l’unite de a
 b
.
f est donc un morphisme d’anneaux.
Montrons que f est injective. Soit x   tel que
fcl N x  cl a 0; cl b 0
Alors cl a x  cl a 0 donc a divise x.
De même, cl b x  cl b 0
donc b divise x. a et b etant premiers entre eux, il en résulte que ab divise
x, c’est- à-dire cl N x  cl N 0. f est donc injective.
Pour terminer,il reste à montrer que f est surjective.
Soit
cl a ; cl b  
  
a
b
On cherche x   tel que
fcl N x  cl a ; cl b 
c’est- à-dire x tel que x mod a et x mod b.
D’après le théorème des restes chinois, on sait qu’un tel x existe. f est
donc surjective.
Remarque :
Si m et n ne sont pas premiers entre eux l’isomorphisme cité ci-dessus
est faux .
11
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Exemple :
Résoudre dans  le système suivant :
x  4mod 5
x  3mod 6
x  2mod 7
5  6  7  1. On applique le théorème des restes chinois, avec n 1  5;
n 2  6; n 3  7; N  210; a 1  4; a 2  3
et a 3  2. On sait que ce système admet une unique solution modulo 210,
donnée par x  u 1 a 1 N 1  u 2 a 2 N 2  u 3 a 3 N 3 , où
N 1  nN1  210
 42 , N 2  nN2  210
 35 , N 3  nN3  210
 30 , et u 1 ; u 2 ; u 3 sont
5
7
6
les inverses respectifs de N 1 ;N 2 ;N 3 modulo n 1 ; n 2 ; n 3 .
42  5  1. D’après le théorème de Bezout, il existe u; v   2 tel que
42u  5v  1. L’algorithme d’Euclide donne :
42  5  8  2
5  221
2  120
En remontant cet algorithme, on obtient successivement :
1  522
1  5  42  5  8  2
1  5  42  2  5  16
422  5  17  1
On en déduit que
u 1  2
Un raisonnement analogue conduit à u 2  1 et u 3  3.
Par suite, x  2  4  42  13  35  3  30  2mod 210, c’est- à-dire x
 9mod 210 (aprés simplifications).
    
2
2
4
en effet 4 est cyclique mais 2  2 ne l’est pas .
dans le théorème (1) si on choisit la suite n 1 , . . . , n m  de telle sorte que n i1
divise n i pour tout i entier entre 1 et m  1 alors
la suite n 1 , . . . , n m  est unique , ses élèment son dits facteurs invariants .
12
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Exemple :



Un groupe d’ordre 96 : G  12
 4
 2
admet pour facteurs invariants :

12, 4, 2 un groupe cyclique d’rdre 96 : G  96 , ses facteurs sont 96 .
1-8 Indexation des élèments d’un groupe
abélien fini:[1],[2]
On distingue trois cas :
Premier cas :
G est cyclique.

G est isomorphe à  n
,  , ses élèments sont présentés par 0, 1, . . . , n  1
Exemple :
G

4
est cyclique, ses élèment sont : 0, 1, 2, 3.
Deuxième cas :
G    m
2
dans ce cas on utilise l’écriture binaire des entiers compris 0 et 2 m  1 ,
d’une façon précise tout élèment u 1 , u 2; . . . , u m  de G et indexé par l’entier
m
u  u 1 2 0  u 2 2 1 . . . . u m 2 m1 
 u i 2 i1
i1
Exemple :
  
2
2
donc on a
0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1
alors par exemple
u 1 , u 2   1, 1  u 1 2 0  u 2 2 1
 1112
3
13
Chapitre 1
Notions préliminaires sur les groupes
Cas général :
Posons e 1  1 et on définit e i pour i  1 par
e i  n j , 1  j  i
alors tout élèment est représenté par l’entier
m
u
 uiei
i1
Exemple :
  
2
4
0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3
e 1  1, e 2   1j2 n j  n 1  n 2  8
alors par exemple u 1 , u 2   u  u 1 e 2  u 2 e 1 , donc
0, 0  0
0, 1  0  1  1  8  8
0, 2  16
0, 3  24
1, 0  1
1, 1  9
1, 2  17
1, 3  25
14
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Chapitre 2
2-Les matrices circulantes .
2-1 Définition :
La matrice C  c i;j  de taille n  n est dite circulante si elle est de la
forme suivante :
C
c0
c1
c2
...
c n1
c n1
c0
c1
...
c n2
c0
...
c n3
c n2 c n1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c1
c2
c3
...
c0
où les coefficients c i;j ; i; j  0, n  1 sont des éléments d’un corps K ,
telle que chaque ligne se déduit de la ligne précédente par une permutation
circulaire .
Exemple :
C
1
i
3
3
1
i
i
3
1
est une matrice circulante d’ordre 3.
2- 2Algèbre des matrices circulantes :
2-2-1 Définition d’une algèbre :
En mathématiques ,une algèbre sur un corps commutatif K ou
simplement une K-algèbre est une structure algèbrique A, , . ,   telle que :
A, , .  est un espace vectoriel sur K.
La loi  est définie de A  A dans A (loi de composition interne ).
La loi  est distributive par rapport à la loi 
15
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Pour tout a, b dans K² et pour tout x, y dans A².
a. x  b. y  ab. x  y
Pour alléger les notations , on désigne par C ( c 0 , c 1 , . . . . , c n1 ) la matrice
circulante précédente ( engendrée par la première ligne c 0 , . . . . , c n1 ).
En notant J  C0, 1, 0,   , 0, On peut constater que toute matrice
circulante est un polynôme en J : C ( c 0 , c 1 , . . . . , c n1 )  c 0 I n  c 1 J c n1 J n1 .
Exemple :
2
3 
C1, i,
 cjJj
j0
 c0J0  c1J1  c2J2
1 0 0
J 
0
0 1 0
;J 
1
0 1 0
0 0 1
0 0 1
J 
2
:
1 0 0
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
1 0 0
0 0 1

1 0 0
0 1 0
Donc
1 0 1
C1, i,
3   1
0 1 0
i
0 1 0
0 0 1
0 0 1

1 0 0
1
i
3
3
1
i
i
3
1
0 0 1
 3
1 0 0
0 1 0
C
2-2-2 Diagonalisation de J :
L’ ensembles des matrices circulantes est une algébre pour l àddition et
le produit des matrices et la multiplication par un scalaire.
La matrice J vérifiant J n  I , elle est diagonalisable sur  .
Les valeurs propres sont des racines n-èmes de l’unité; elles forment un
groupe cyclique pour le produit .
2i
On prend donc   e n , une racine primitive de l’unité qui est un
générateur du groupe cyclique en question .
16
Chapitre 2
Les matrices circulantes
En effet ; soit X un vecteur propre associé à la valeur propre  de J :
On à : JX  X alors
J²X  JX  ²X
et
J3 X  3 X

d’une facon générale
JmX  mX
Alors pour m  n on obtient
X1   n   0 X  0
donc  n  1et  est une racine n-èmes de l’unité.
2ik
Comme les valeur propres  i  e n avec k  0; . . . ; n  1
alors J est diagonalisable sur  .
sont distinctes
Exemple :
Considérons la matrice
0 1 0
J
0 0 1
1 0 0
Cette matrice admet comme valeur propres
0  1 :
1 
1  i 3
2
: 2 
1  i 3
:
2
Ou encore
 i   1, e
2i
3
, e
2i
3

Les racines primitives troisièmes de l’unité sont :

1  i 3
1  i 3
,

2
2
Ainsi J qui est de taille 3  3 a trois valeurs propres distinctes ,donc elle
est diagonalisable sur .
Si nous voulons diagonaliser J ; nous avons besoin de déterminer les
vecteurs propres correspondonts , par exemple ,
On a :
J X0  0 X0
17
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Alors
0 1 0
x1
0 0 1
x2
1 0 0
x3
x1

x2
x3
Alors
x2  x1
x3  x2
x1  x3
donc
1
X0  x3
1
1
et posons
1
V0 
1
1
J X1
 1X1
alors
0 1 0
x1
0 0 1
x2
1 0 0
x3
x1
 e
et
x2  e
2i
3
x3  e
2i
3
x1  e
2i
3
x1
x2
x3
et
1
 21
 31
18
x2
x3
.
X1  x3
2i
3
Chapitre 2
Les matrices circulantes
posons
1
V1 
 21
 31
Et de même on obtient
2
X2  x3
 22
 32
posons
2
V2 
 22
 32
La matrice de passage pour la diagonalisation est
1 1 2
P
1  21  2
1  31  32
On à
P 1 JP 
1
0
0
0 e
2i
3
0
0
2i
3
0
e

0
0
0
0
1
0
0
0
2
Pour le cas général on vérifie alors sans peine que pour tout entier k
1
k
Vk

 2k

 n1k
est un vecteur propre associé à la valeur propre
k  e
2ik
n
 k
. K  0,   . , n  1
Remarque :
On peut choisir la matrice de passage P formée des vecteurs propres
de sorte à obtenir une base orthonormée.
19
Chapitre 2
Les matrices circulantes
2-2-3 La transformée du Fourrier discrète :
K est un corps fini ou infini.
A est une matrice circulante
 est une racines n-èmes de l’unité
La transformée de Fourrier Discrète est une application définie par
: Kn  Kn
TFD
X  fX  AX
où
A
1
1
...
1
1

...
 n1
...
...
...
...
...
2
 n1
1

n1
2–2-4 Diagonalisation d’une matrice circulante :
Rappelons la proposition suivante
Proposition :
Si A est une matrice de type n  n ;  une de ses valeurs propres :
AX  X
et
a0  a1X    amXm
PX 
est un polynôme alors la matrice
PA 
a0I  a1A    amAm
a pour valeur propre
P  a 0  a 1     a m  m
c’est à dire il existe un vecteur non nul X tel que
PAX  PX
Démonstration :
Premièrement nous montrous que si  est une valeur propre de A et p
  alors  p est une valeur propre de A p .
Soient  une valeur propre de A et V un vecteur propre associé a cette
valeur, donc

AV  V
20
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Donc il suffit de montrer l’égalite suivante :
ApV  pV
p   
par récurrence.
 AV  V donc la propriété est vraie pour p  1.
 Supposons la propriété vraie pour un certain rang n, c’est-à-dire
supposons que
AnV  nV
Alors
A n1 V  AA n V  A n V   n AV   n V   n1 V
par conséquent
A n1 V   n1 V
La propriété est donc vraie au rang n  1.
d’ou elle est vraie quel que soit l’entier naturel p.
Donc si  est une valeur propre de A associée au vecteur propre V ,alors
p
 est une valeur propre de A p associée au même vecteur propre V et les
vecteurs propres de A sont des vecteurs propres de A p .
Comme
pAV   a 0 I  a 1 A    a m A m V  a 0 V  a 1 AV    a m A m V
 a 0 V  a 1 V    a m  m V
Donc, nous avons
pAV  pV
En conclusion si  est une valeur propre de A associée au vecteur propre
V ,alors p est une valeur propre de pA associée au même vecteur propre
V et les vecteurs propres de A sont des vecteurs propres de pA .
Exemple :
Soient I 5 la matrice identite d’ordre 5 , A et B les matrices d’ordre 5 à
coefficients complexes définies par
A
0 0 0 0 1
a e d c b
1 0 0 0 0
b a e d c
et
0 1 0 0 0
B
c b a e d
0 0 1 0 0
d c b a e
0 0 0 1 0
e d c b a
21
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Premièrement prouvons qu’il existe un polynôme Q de X tel que
B  QA
On calcule
A 
2
A 
3
A 
4
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
donc
B  aI 5  bA  cA 2  dA 3  e A 4
D’où B  QA avec
QX  a  bX  cX 2  dX 3  e X 4
.
Donc par la proposition precedente on deduit que pour trouver les
valeurs propres de B il suffit de calculer les valeurs propres de A
Pour cela , on calcule le polynôme caractéristique deA : detA  XI 5  .
On trouve :
p car,A X  X 5  1
22
Chapitre 2
Les matrices circulantes
donc les valeur propres de A sont :
2i
4i
6i
8i
0  1 , 1  e 5
,  2  e 5 ,  3  e 5 ,  4  e 5 , et comme la matrice A
d’ordre 5 a cinq valeurs distinctes , donc A est diagonalisable ,et donc B est
aussi diagonalisable et ses valeur propres sont :
Q 0  , Q 1  , Q 2  , Q 3  , Q 4 
donc les valeur propres de B sont :
abcde ,
a  be
6i
5
a  be
 ce
12i
5
2i
5
 de
 ce
18i
5
4i
5
ee
 de
24i
5
6i
5
 ee
, a  be
8i
5
8i
5
a  be
,
 ce
16i
5
4i
5
 de
 ce
24i
5
8i
5
ee
 de
12i
5
ee
32i
5
Montrons maintenant que toute matrice circulaire C c 0 ,  , c n1  est
diagonalisable ?
Comme C c 0 ,  , c n1  
c 0  c 1 J    c n1 J n1  P c J
avec
P c X

c 0  c 1 X    c n1 X n1
Comme J est diagonalisable : JV k   k V k alors
C c 0 ,  , c n1 V k  P c  k  V k

donc  k  P c  k   P c  k  sont les valeurs propres de C et V k sont les
vecteurs propres de C .
U est une matrice de Vandermonde de déterminant
 i   U. c i , où
non nul car les valeurs  k sont distinctes; donc U est inversible , d’où
c i   U 1  i  et comme U  U  I alors :
U 1  U  
t
U
Posons :
1 Uu
n
 i   U. c i 
alors
c i   U 1  i 
et c i   1 u 1  i  et c i   1 u t  i 
n
n
23
16i
5
,
Chapitre 2
Les matrices circulantes
u
1
n
1
1
...
1
1

...
 n1
...
...
...
...
... 
n1 2

1
c i  
1 . 1
n
n
 1
n
n1
1
1
...
1
1

...
 n1
...
...
...
...
... 
n1 2
1

1
1
...
1
1

...
 n1
...
...
...
...
...
2
 n1
1

n1
n1
 i 
 i 
n1 
alors c i  1n  j0
 j  kj ; c’est la forme de la transformée de Fourrier
Discrete inverse.
2-3 Produit de convolution ( discret ) :
2-3-1 Definition :
En mathématiques , le produit de convolution de deux vecteurs v et v  se
note généralement par “*” et s’écrit : v  v   c m

m
avec c m   i0
a i b mi ; avec v  a 0 , . . . . , a n1  et v  b 0 , . . . . , b n1 .
Exemple :
Soit :
v  a 0 , a 1 , a 2 
;

v  b 0 , b 1 , b 2 
alors :

v  v  a 0 , a 1 , a 2   b 0 , b 1 , b 2   a 0 b 0 , a 0 b 1  a 1 b 0 , a 0 b 2  b 0 a 2  a 1 b 1 
24
Chapitre 2
Les matrices circulantes
2-3-2 Propriétés du produit de convolution :
 Le produit de convolution est commutatif :
v  v   v  v
 Le produit de convolution est distributif par rapport à la somme.
u  v  v    u  v  u  v 
 Le produit de convolution de v et v  correspond à l’image par F 1 du
produit (discrèt) des transformeés de fourier des vecteurs v et v 

v  v  F 1 Fv. Fv  
où F désigne la transformation de fourier et F 1 la transformation de
fourier inverse.
 L’intérêt principal de l’utilisation de la transformée de fourier discrète
est le gain dans le coût du calcul :
le calcul du produit de convolution ( assez couteux) est remplacé par un
produit simple ( composante par composante ).
2-4 Matrices de Toeplitz :
2-4-1 Définition :
En algèbre linéaire une matrice de Toeplitz ou matrice à diagonales
constantes est une matrice carrée de type n  n dont les coefficients a i;j 
vérifie l’égalité
a i;j  a i1;j1 pour tout 1  i  n et 1  j  n
Exemple :
La matrice suivante est une matrice de Toeplitz
a b c d e
f a b c d
g f a b c
h g f a b
j h g f a
25
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Toute matrice A à m lignes et n colonnes de la forme :
A
a0
a 1 a 2
...
a n1
a1
a0
a 1
...
.
a2
a1
a0
...
a 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a2
a1
a0
a m1 . . . .
est une matrice de Toeplitz .Si l’élément situé à l’intersection des ligne i
et colonne j de A est noté A ij alors on a :
A ij  a ij . Donc toute matrice de Toeplitz est de la forme
T  t ij  n1
i,j0
Remarque :
La notion des matrices de Toeplitz est une généralisation de la notion
des matrices circulantes.
Les matrices de Toeplitz sont des matrices dont les entrées sont
constante le long de leurs diagonales.
Cette structure est très intéressante en soi pour toutes les propriétés
théoriques riches qu’elle entraîne,mais en même temps il est important
pour l’impact considerable qu’il a dans les applications.
Les matrices de Toeplitz se posent dans de nombreux domaines
théoriques et applicatives différentes, dans la modélisation mathématique
de tous les problèmes où une sorte d’invariance de décalage se produit en
termes d’espace ou de temps.
Cette invariance de changement se reflète dans la structure de la
matrice elle-même où un décalage vers gauche -droite des entrées quitte la
matrice inchangé.
La structure Toeplitz peut se produire entrée-sage,pour des problèmes
unidimensionnels ou bloc-sages,pour des problèmes bidimensionnels, voire
à plusieurs niveaux imbriqués dans les problèmes multidimensionnels.
Problèmes modélisés par des matrices de Toeplitz
Les problèmes typiques modélisés par des matrices de Toeplitz sont les
suivants:
La résolution numérique de certaines équations différentielles.
Certaines équations intégrales (régularisation des problèmes inverses);
Analyse de série temporelle.
26
Chapitre 2
Les matrices circulantes
Traitement du signal et d’image.
Les chaînes de Markov et de la théorie de files d’attente.
Calculs des séries de la puissance et polynômes .
D’autres problèmes concernent les matrices Toeplitz-like ou des
matrices ayant une structure de déplacement (Hankel, Bezout, Cauchy,
Hilbert, Loewner et matrices de Frobenius).
Il existe une correspondance entre les problèmes impliquant la structure
des Toeplitz-like et polynômes (série de puissance) qui permet un passage
d’algorithmes de calcul pour Toeplitz-like à des algorithmes de calcul de
polynômes et vice-versa (série puissance). De cette façon, Fast Fourier
Transform (FFT) devient un outil fondamental pour tous les calculs
impliquant des matrices Toeplitz-like.
Exemples :
A. Matrice de Frobenius
Une matrice de Frobenius est une matrice de forme spéciale utilisée
dans des applications numériques. Elle possède les propriétes suivantes :
1. Tous les éléments de la diagonale principlale sont des 1.
2. Les éléments d’une colonne au plus sont arbitraires au dessous de la
diagonale et les éléments restant sont nuls.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 a 1 0
0 b 0 1
est une matrice de Frobenuis d’ordre 4.
On remarque que multiplier à gauche une matrice A par une matrice de
Frobenuis revient a utiliser une opération élémentaire de Gauss sur des
lignes de A:
1 0 0 0
a 11 a 12 a 13 a 14
0 1 0 0
a 21 a 22 a 23 a 24
0 a 1 0
a 31 a 32 a 33 a 34
0 b 0 1
a 41 a 42 a 43 a 44
a 11
a 12
a 13
a 14
a 21
a 22
a 23
a 24

a 31  aa 21 a 32  aa 22 a 33  aa 23 a 34  aa 24
a 41  ba 21 a 42  ba 22 a 43  ba 23 a 44  ba 24
27
Chapitre 2
Les matrices circulantes
B. Matrice de Hankel
Une matrice de Hankel est une matrice H constante sur les diagonales
ascendantes et dont les éléments verifient la relation
hi j
 h i 1;
j1
Par exemple une matrice de Hankel de taille 4 s’écrit sous la forme
a b c d
b c d e
c d e f
d e f g
On remarque qu’une matrice de Hankel carré d’ordre n est une matrice
symétrique et que si on multiplie à gauche ou à droite la matrice J n par une
matrice de Hankel on obtient une matrice de Toeplitz :
Jn 
0
0
0
...
1
0
0
0
1
0
0
0
1
...
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
0
...
0
a b c d
0 0 0 1
b c d e
0 0 1 0
c d e f
0 1 0 0
d e f g
1 0 0 0
g f e d
0 0 0 1
a b c d
d e f g
0 0 1 0
b c d e
0 1 0 0
c d e f
1 0 0 0
d e f g
28
d c b a


e d c b
f e d c
c d e f
b c d e
a b c d
:
Chapitre 2
Les matrices circulantes
2-4-2 Propriétés des matrices de Toeplitz : [4],[5]
1- soit Ax  b  une équation matricielle.
a/ Dans le cas général :
 Nous savons que  correspond à un système de n équations
linéaires.
 Il contient n 2 informations .
b/ Cas particulier : A est une matrice de Toeplitz :
 il ne contient que 2n  1 informations arrangées d’une manière bien
particulière .
2- Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas en générale de
Toeplitz .
Exemple :
Soient T 1 et T 2 les matrices d’ordre 3 à coefficients complexes définies
par
2 1 1
T1 
5 2
1
0 5
2
T2 
et
1
0
3
4
1
0
2
4
1
Alors
T1T2 
2 1 1
1
0
3
5 2
1
4
1
0
0 5
2
2
4
1
29

0
5 5
5
2
16
24
3
2
Chapitre 2
Les matrices circulantes
3- L’inverse d’une matrice de Toeplitz n’est pas une matrice de Toeplitz
sauf pour les matrices triangulaires .[6]
Exemple :
L’inverse de la matrice T 1 donné dans l’exemple précédent est
1
37
10
37
 25
37
T 1
1 
7
37
4
 37
10
37
3
 37
7
37
1
37
mais l’inverse de la matrice de Toeplitz triangulaire suivante
1
2
3
0
1
2
0
0
1
1 2 1
est
30
0
1 2
0
0
1
Chapitre 3
Caractères d’un groupe fini
Chapitre 3
3- Caractères d’un groupe fini .
3-1 Définition :
Soit G, .  un groupe fini .
Définition 1 :
On appelle caractère de G tout homomorphisme  de G, .  dans le
groupe multiplicatif   :
 : G  
comme  est un homomorphisme alors x m   x m ,
x  G, n   , en particulier si |G|  n alors
x n   1  1  x n donc x  u n le groupe des racines n-ième de
l’unité.
ceci nous conduit à simplifier la définition 1 comme suit :
Définition 2 :
si G est d’ordre n ,  est un caractère de G si  est un homomorphisme
de G dans u n .
soit Ĝ l’ensemble des caractères de G ,on définit le produit dans Ĝ par
 1   2 : G    ,  1  2 x   1 x 2 x.
alors il est facile à vérifier que Ĝ , .  est un groupe , il est appelé le dual
de G .
31
Chapitre 3
Caractères d’un groupe fini
3-2 Dual d’un groupe cyclique: G 

n
Proposition :
Soit G 1; g 0 ; g 20 ; . . . . . ; g n1
0  un groupe cyclique de cardinal n et de
générateur g 0 .
Soit  une racine primitive n ieme de l’unité, par exemple e 2ikn
Les eléments de Ĝ sont de la forme, pour j  0; 1; . . . ; n  1 :
G  
j :
g k0   j  k  e
2ijk
n
Démonstration :
Pour déterminer un caractère , il nous faut calculer sa valeur sur chacun
des eléments de G, c’est- a-dire calculer g k  pour k  0; 1; . . . ; n  1, ce qui
donne
g k   g
k
  j 
k
Dans cette egalité on a noté  j  g avec 0  j  n  1 puisque cette
quantité est racine n-ième de l’unité. Donc   Ĝ est bien un des 0 ; . . . ;  n1 .
Réciproquement, on constate que pour j  0; . . . . ; n  1 les applications
 j sont bien des morphismes de G dans   , et donc appartiennent bien au
dual de G.
Le groupe Ĝ est cyclique, d’ordre n, engendré par  1 (on a  k   k1 ).
Proposition :
G et Ĝ sont isomorphes.
Démonstration :
On identifie les eléments de
définit l’application suivante :

n
:
avec leur représentant j  0; . . . . ; n 1  et on

n
Ĝ
j  j
Cette application est un morphisme bijectif donc Ĝ  n  G .
Remarquons toutefois que cet isomorphisme n’est pas canonique, car il
dépend de la racine primitive de l’unité  choisie.
32
Chapitre 3
Caractères d’un groupe fini

Prenons l’exemple du groupe cyclique 12
.
2i
On choisit ici comme racine primitive de l’unité   e 12 .
On peut alors définir comme suit les caractères de ce groupe :
 0 : g 0  k  1
 1 : g 0  k  e
ik
6
 2 : g 0  k  e
ik
3
 3 : g 0  k  e
ik
2
 4 : g 0  k  e
2ik
3
 5 : g 0  k  e
5ik
6
 6 : g 0  k  e ik
 7 : g 0  k  e
7ik
6
 8 : g 0  k  e
4ik
3
 9 : g 0  k  e
3ik
2
 10 : g 0  k  e
5ik
3
 11 : g 0  k  e
11ik
6
Pour determiner complètement ces caractères, il reste à choisir un

genérateur de 12
.
Les générateurs d’un groupe cyclique additif n sont les classes
d’équivalences des eléments premiers avec n.
Ici on peut donc choisir 1, 5, 7 ou 11 comme générateur, mais nous irons
au plus simple en prenant 1.
33
Chapitre 3
Caractères d’un groupe fini
3-3 Dual d’un groupe abélien fini :
Théorème :[1] , [2]
Soit G 1 et G 2 deux groupes finis.
L’application :
f : Ĝ1  Ĝ2 

G1  G2
 1 ,  2   f 1 ,  2 
où   f 1 ,  2  est défini par: g 1 , g 2    1 g 2 g est un isomorphisme.

Noter que le théorème décrit explicitement les caractères de G 1  G 2 en
fonction de ceux de Ĝ 1 et de Ĝ 2 .
Corollaire :[1] , [2]
Le dual d’un groupe abélien fini est (non canoniquement) isomorphe à
ce groupe; en particulier ils ont même ordre.
Par contre, on a un isomorphisme cette fois canonique entre un groupe
G abélien fini et son bidual.
3-4 L’algèbre du groupe G :
On note G  l’ensemble des fonctions f :G   , on définit dans
cet ensemble deux lois internes :
1 l’addition
f  g : f  gx  fx  gy
2 la multiplication
f. g : fgx  fxgx
3 et une loi externe :
  G  G
, f  f
34
Chapitre 3
Caractères d’un groupe fini
Alors il est facile à vérifier que G  est une   algèbre , on
l’appelle algèbre du groupe .
Soit
B   x /x  G
Où
x : G  
x1
y  x   x y  0
B est une base nouvelle de G , tout elément f  G s’ecrit  xG fx x .
Résultat :
On a :
a)
dim G  card G
b) Quand G est commutatif , l’ensemble des caractères de G forme
une deuxième base B  de G  .
il est possible de munir G  d  un produit hermetien comme suit :
f 1 , f 2  1
|G|
 f 1 xf 2 x
xG
donc B est une base orthogonale de G ,dans ce cas
 1 ,  2   1 x  G
|G|
maintenant si on considère la deuxième base B  et on suppose que G est
abélien , B  est une base orthonormé pour le produit précédent :
Il faut calculer   1 ,  2  pour deux caractères de G. Remarquons d’abord
que   1 ,  2   1  1
2 , 1  En effet .
 1 ,  2  1
|G|
  1 x 2 x
xG
 1
|G|
  1 x 12 x
 1
|G|
 1  12 x
xG
xG
  1  1
2 ,1 
35
Chapitre 3
Caractères d’un groupe fini
En posant    1  1
2 , il nous reste à calculer  , 1 . Lorsque   1, on a
 xG x  |G| soit , 1  1. Supposons maintenant que   1. Il existe
donc un élémentb  G tel que b  1. Comme hG  G, on a
S  x 
xG

 bx
xG
 bx
xG
 b  x  b S
xG
Soit S  bS, que l’on peut écrire dans  : 1  bS  0. Comme  b  1
on peut en déduire que S  0.
On a donc démontré que les éléments de Ĝ forment une famille
orthonormée.
Comme il y en a exactement |G|, ils forment bien une base .
36
Chapitre 4
La Transformée de Fourier sur un groupe
Chapitre 4
4. La Transformée de Fourier sur un groupe .
On suppose désormais que notre groupe G est abélien fini.
4-1 La transformée de Fourier :
Soit f  G. On peut décomposer f sur les deux bases orthonormées
que l’on connait: |G|  x /x  G et x/x  Ĝ . Cela donne:
f
 fx x   c f 
xG
xĜ
où
c f   f,  
4-1-1Définition :

On appelle transformée de Fourier de f et on note f l’élément de  Ĝ
défini par :

f   |G|c f  
 fxx
xG
L’application transformée de Fourier, notée F , est:
F : G  Ĝ

f

f
C’est bien sûr un isomorphisme d’éspaces vectoriels.
4-1-2Théorème :1 , 2
Soit f, g  G. On a:
 Formule dinversion:
f
1
 c f   |G|
xĜ
37

xĜ

f  1
Chapitre 4
La Transformée de Fourier sur un groupe
 Formule de Plancherel :
 fxxgx  |G|  c f c g  
xG
xĜ
1
|G|



f g 
xĜ
4-2Produit de convolution :
Définition :
Soient f 1 et f 2 deux fonctions définies sur G à valeurs complexes. La
convolée de f 1 et de f 2 est la fonction complexe
f 1  f 2 définie sur G par
 f 1 x  yf 2 y
f 1  f 2 x  1
n
yG
Il est facile de voir que f 1  f 2 s’écrit aussi :
f 1  f 2 x  1
n
 f 1 yf 2 x  y
yG
f 1  f 2 x  1
n
 f 1 yf 2 x  y
yG
 f 1 uf 2 v
f 1  f 2 x  1
n
uvx
Théorème :
La transformée de Fourier d’un produit de convolution est le produit
(ordinaire) des transformées de Fourier



f 1  f 2 f 1  f 2
Preuve

f1  f2 1
n
 f 1  f 2 xu
uG

f 1  f 2  12
n

f 1  f 2  12
n
  f 1 af 2 bu
uG abu
  f 1 aaf 2 bb
uG abu
38
Chapitre 4
La Transformée de Fourier sur un groupe


et la dernière expression correspond bien au produit de b f 1  par b f 2 .
Il suffit de revenir à la définition pour voir que
Théorème : [1] , [2]
Le symétrique d’un produit de convolution est le produit de convolution
des symétriques



f1  f2  f1  f2
En utilisant les résultats précédents on peut également vérifier que
Théorème : [1] , [2]
La transformée de Fourier d’un produit de fonctions est n fois le produit
de convolution des transformées de Fourier



f1  f2 n f1  f2
39
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Chapitre 5
5.Variantes de la Transformée de Fourier .
5-1 La transformée de Fourier discrète :
La transformée de Fourier discrète DFT est extrêmement utile en
théorie du signal. C’est en fait une transformée de Fourier sur n .
et on peut en calculer les valeurs par un algorithme rapide FFTanalogue .
Définition :
Soit :
wN  e
2i
N
L’application DFT N est définie par:
DFT N
: N  N

f
f
où :

N1
f k 
 fnw nk
N
n0
Faisons le lien avec la transformée de Fourier définie au Chapitre 4.
Le groupe G  n a pour caractères les applications:  k définies par:
 k n mod N  w nk
N
Notons encore f l’application de n dans  associée à f  f0, . . . , fN  1,
c’est-à-dire fk mod N  fk. Alors il est clair que:
DFT N fk  Ff f 
Pour cette raison, on note de la même façon:

f
 DFT N f  Ff
Les résultats du Chapitre 4 s’applique en particulier à la transformée de
Fourier discrète; ainsi, la fornmule d’inversion (Thèorème *) montre que DFT
est inversible et que DFT 1 est encore une DFT, où on a remplacé w N par w 1
N .
40
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
En termes matriciels, notons V w N la matrice de tailleN  N définie par :
V w N i, j : w i1j1
pour tout 1  i , j  N.
N
La matrice de DFT N dans la base canonique de  N est V w N et celle de
1
DFT 1
On a bien sûr :
N est N V w 1
N
V w N V w 1
 N Id N
N
La formule de Plancherel (Thèorème *) devient:
N1
 fngk  N1

k0
En termes matriciels, la matrice :
1
N
N1


f ng k
k0
V w N est unitaire .
5-1-1 Représentation matricielle :
Soient X 0 , . . . . , X n1 des nombres complexes.
La transformée de Fourier discrète est définie par la formule suivante :
ou en notation matricielle :
f0
1
1
1

1
x0
f1
1

2

 n1
x1
1


 
f2


f n1
2


1 
n1
4



2n1
 
2n1

n1 2
x2
,  e
2i
n

x n1
5-1-2 Discrétisation et quantification du signal :
A Discrétisation
Soit ft un signal analogique .
La discrétisation de ce signal revient à n’en garder qu’un certain nombre
de valeurs . . . , f 1 , f 0 , f 1 , . . .  correspondant aux valeurs . . . , t 1 , t 0 , t 1 , . . .  de la
variable t:
On ne dispose donc plus, après discrétisation, que d’une suite fn Z , où Z
désigne l’ensemble des entiers relatifs. On appelle cette suite un signal
discret associé au signal analogique ft.
41
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Dans la quasi-totalité des cas, l’échantillonnage est périodique,
c’est-à-dire que ... t 0  t 1  t 1  t 0 . . .  T e , valeur qu’on appelle la période
d’échantillonnage. On définit aussi la pulsation d’échantillonnage par :
w e  2
Te
Un problème majeur en traitement du signal est le choix de cette
pulsation d’échantillonnage w e :
Si w e est trop grand, on aura trop de données à traiter et à stocker.
Si w e est trop petit, la suite fn Z ne sera pas fidèle au signal initial ft.
Nous verrons un peu plus loin qu’il existe un critère optimal pour choisir
cette pulsation, qui s’appelle le "critère de Shannon".
B Quantification
La quantification est une opération qui modifie légèrement les valeurs du
signal discret précédent.
Ceci vient du fait qu’en informatique, les supports d’information ne sont
pas analogiques mais binaires, et que donc toute valeur réelle ne peut pas
être mémorisée.
On obtient donc, après quantification, une suite fn Z telle que, pour tout
entier n. f n  f n
Remarques :
On dit parfois que la discrétisation est une "discrétisation en abscisse",
alors que la quantification est une "discrétisation en ordonnée".
La quantification introduit une erreur dans les valeurs du signal, ce que
ne fait pas la discrétisation.
La discrétisation fait-elle perdre de l’information ?
On a vu qu’il était très simple de passer d’un signal analogique f(t) au
signal discret correspondant fn Z , pourvu qu’une pulsation
d’échantillonnage w e ait été choisie.
Notions :
Modélisation de l’échantillonnage
L’opération mathématique associée à cette discrétisation revient à
multiplier le signal ft par un peigne de Dirac  T e t :
f  t  ft Te t  ft  t  nT e 
42
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
On peut ainsi calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné
en utilisant les propriétés liant une multiplication temporelle qui dans
l’espace fréquentiel devient un produit de convolution :
TFft. P Te t  F  f  T1 Ff   fe
e
1
Te
f
soit :

F f  T1

e
 Ff  kfe
k
Echantillonner le signal ft dans le domaine temporel, revient donc à
recopier dans le domaine fréquentiel son spectre Ff tous les w e
Notion de repliement de spectre
On remarquera que si le spectre du signal d’origine à une largeur
supérieur à 2w e on a ce qu’on appelle un repliement de spectre ce qu’on
appelle un repliement de spectre.
S’il y a repliement de spectre, il n’est plus possible de retrouver le
spectre du signal d’origine.
Dans ce cas, l’opération d’échantillonnage modifie les caractéristiques
du signal d’entrée.
Ainsi, si l’on ne veut pas perdre d’informations par rapport au signal que
l’on échantillonne, on devra toujours respecter la condition : (w e  2w max).
Condition plus connue par le théorème de Shannon.
Théorème de Shannon :[14] ; [15]
On ne peut échantillonner un signal sans pertes d’informations que si :
w e  2w max
5-2 Transformée de Fourier rapide :
Il existe divers façons proches les une des autres de calculer une
transformée de Fourier discrète.
Toutes ces variantes sont des algorithmes de transformée de Fourier
rapides FFT.
Nous nous placerons ici dans le cas où le nombre d’éléments du groupe
est n  2 m et où le groupe G est nZ .
Pour tout r  0 et tout 0  k  2 r  1 posons
W k2 r  e
43
2ik
2r
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Remarquons que
2
W k2 r  W k2 r1  2  W k2
2 r1 
r
r
W k2 r1  W k2
2 r1
par exemple
W 18  W 116  2  W 916  2
W 116  W 916
On rappelle que si
m
f  a 0, a 1 , . . . , a 2 m 1 , et si p f X  1m a 0  a 1 X, . . . , a 2 m 1 X 2 1 
2
alors
fu  a u  p f  W u2 m 
Pour tout polynôme
PX  p 0  p 1 X . . . p 2 r 1 X 2 1
r
notons
P 0 X  p 0  p 2 X . . . p 2 r 2 X 2
r1 1
P 1 X  p 1  p 3 X . . . p 2 r 1 X 2
r1 1
et
alors
PX  P 0 X 2   XP 1 X 2 
ce qui donne si
0  k  2 r1  1
PW k2 r   P 0 W k2 r1   W k2 r P 1 W k2 r1 
et
PW k2
  P 0 W k2 r1   W k2 r P 1 W k2 r1 
2r
r1
Ces dernières formules vont nous donner un algorithme pour calculer les
valeurs de la transformée de Fourier.
44
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
5-3 Transformation de Fourier sur
On se place donc dans le cas où G 
G sont les fonctions

n
 u v  e

n
: [16]
. Dans ce cas les caractères de
2iuv
n
Ces fonctions sont indexées par les entiersu compris entre0 et n  1 si
bien qu’une transformée de Fourier apparaît ici comme fonction d’un tel
entier.
Plus précisément si f  FG, notons
a u  fu où u  0, 1, . . . , n  1
Dans ces conditions
n1

f v  f,  v   1
n
 aue
2iuv
n
u0
n1
fu 


f ve
2iuv
n
v0
En ce qui concerne la convolution, il est intéressant de noter qu’elle
s’interprète à l’aide du produit de polynômes.
Pour cela si f est la fonction dont les images sont a 0 , a 1 , . . . , a n1 , et h celle
dont les images sont b 0 , b 1 , . . . , b n1 , notons
n1
P f X  1
n a 0  a 1 X, . . . , a n1 X 
n1
P h X  1
n b 0  b 1 X, . . . , b n1 X 
On sait que

f  hu  1
n
aibj
ijun
0in1
0jn1
donc
P fh  p f p h modx n  1
Remarquons en outre que

f u  P f e
2iu
n

Cette dernière remarque met en évidence un aspect très important de la
transformée de Fourier discrète : l’aspect interpolation. En effet il est facile
de trouver grâce à ce que nous avons vu un polynòme trigonométrique
n1
Px 
  u e iux
u0
45
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
qui interpole une fonction donnée aux points x V  2v
n
Nous verrons par la suite le lien qui existe entre ce polynôme
trigonométrique et les sommes partielles de la série de Fourier de la
fonction.
5-4 Transformation d’Hadamard : [16]
La transformation d’Hadamard relève du cas particulier où
m

G  2
Dans ce cas là a les caractères de G sont les fonctions
définies par :
W x y  1 x,y
(ces fonctions sont les fonctions de Walsh). Nous pouvons indexer les
caractères en utilisant la décomposition binaire des nombres.
Ainsi on peut supposer que l’élément x  x 1 , x 2 , . . . , x m   G représente le
nombre entier compris entre 0 et 2 m  1
x 1  2x 2 . . . 2 m  1x m
Comme cas particulier soit x  0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0où x j  1 et x i  0 si i  j.
On obtient alors la fonction de Rademacher d’ordre joù 1  j  n
r j y  W 2 j1 y
1 si y j  0
1 si y j  1
Si besoin est on posera r 0  1. Les fonctions de Walsh sont des produits
de fonctions de Rademacher. Plus précisément
n
W 
 r j , r j 
j1
r j si  j  1
1 si  j  0
En reprenant la définition générale de la transformation de Fourier nous
voyons que la transformation d’Hadamard s’écrit (très simplement) sous la
forme

f x  1m
2
2 m 1
 fy1 x,y
y0
et
2 m 1
fy 

 f x1 x,y
x0
A partir des fonctions de Rademacher on peut définir une autre base
orthonormée intéressante : les fonctions de Haar.
46
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
5-5 Transformation de Fourier sur  nZZ  m : [16]
Dans ce cas G est le groupe produit  nZZ  m .
Soit f une fonction complexe définie sur G, notons pour tout élément
u  u 1 , u 2 , . . . , u m  de G
a u 1 ,u 2 ,...,u m  fu
et
P f X 1 , X 2 , . . . , X m   1
n
 au 1 , u 2 , . . . , u m X u11 , X u2 , . . . , X um
2
m
uG
On sait que les caract‘eres de G sont indexés par les éléments de G et
on peut écrire

f u  1
n
 ave
2i u,v
n
vG
c’est-à-dire encore

f u  P f e
2iu 1
n
,e
2iu 2
n
,...,e
2iu m
n

Il est aussi facile de constater que si  est l’idéal engendré par les
polynômes X ns  1 (où s  1, . . . , m) alors
P fh X 1 , X 2 , . . . , X m   P f X 1 , X 2 , . . . , X m P h X 1 , X 2 , . . . , X m mod
5-6 Transformée de fourier sur les corps finis :
5-6-1 Rappel sur les corps finis :
soit F un ensemble non vide et fini muni de deux lois internes :
 F est un groupe abélien .
 F;  est un anneau où tout élément sauf 0 par  admet un inverse .
Exemple :

p
 0, 1, . . . . , p  1 avec p premier sont des corps fini de cardinal p .
Proposition :[13]
soit K un corps fini à p élément alors
x  K : x p  x
47
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Théorème :[13]
₣ p n est le corps de rupture de tout polynôme irréductible de degré n sur

p
.
5-6-2 Exemple de construction d’un corps fini :
a/ Représentation primitive
Soit ₣ 8 un corps fini , on a ₣ 8  ₣ 2 3 , ₣ 2  0, 1 prenons le polynome primitif
fx  1  x  x 3
Le corps admet huit éléments donc il contient un élément  d’ordre 7 qui
est une racine primitive de l’unité.
₣ 8  0, , ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  7  1 et  est racine du polynôme x 7  1 mod 2
On à :
1  x  x3  0
x3  1  x
x4  x  x2
x5  x2  x3  x2  x  1
x6  x3  x2  x  1  x  x2  x  1  x2
x7  x3  x  1  x  x  1
Donc
₣ 8   x / 1  x  x 3 
2
et de même on construit les corps suivants
₣ 9   x / 1  x 2 
3
₣ 16   x / 1  x  x 4 
2
b/ Représentation vectoriale ( polynomiale) :
₣ 8 a  bx  cx 2 /a, b, c  ₣ 2 

0, 1, x, 1  x, 1  x 2 , 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2 ,
où x est une racine primitive 7  ime de l’unite
48
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Remarque :
Pour le calcul de l’addition on préfere utiliser la représentation vectoriale,
pour le produit on utilise la représentation primitive .
Définition :
Soit ₣ q un corps fini tell que q  p m ; alors
TFD de long n  n div q  1  n div p m  1 p m  1n
On cherche le plus petite valeur de m tel que  est vérifié.
Exemple :
Soient ₣ q un corps fini de cardinal n  27 alors :
TFD de long n  n divise q  1
on à :
27 div p m  1 / q  p m donc m ? : 2 m  127
on à :
2  227
2 2  427
2 3  827
2 4  1627
2 5  527
2 6  1027
2 17  1427
2 8  1327
2 9  2627
2 10  2527
2 11  2327
2 12  1927
2 13  1127
2 14  2227
2 16  727
2 15  1727
2 17  1427
49
2 18  127
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Le plus petit corps fini dans lesquel on peut définir un TFD de longeur 27
18
est 2 18 , ₣ 2 18 ,  2 1  1
  ₣ q  ₣ 2 18 ,  27  1    27
u
1
1
...
1
1

...
 26
...
...
...
...
1
 26 . . .  26
2
5-7 les applications de la transformée de Fourier
discrète :
5-7-1 Produits de deux entiers :
Soit A et B deux polynômes de degré n 
En Ologn opération tel que
N
2
n1
A   aixi
i0
n1
B   bixi
i0
et
2n
R  AB 
 riXi
i0
On utilise une transformée de Fourier de taille N  2n avec les vecteurs :
a  a 0 , a 1 ,  , a n1 , 0, 0,  , 0 n termes.
b  b 0 , b 1 ,  , b n1 , 0, 0,  , 0 n termes.
Soit  une racine primitive 2n  ieme de l’unité la transformée de a
F  a  à 0 , à 1 ;  à 2n1 
N’est autre que :
a 0 , a 1 ,  a 2n1 
De même pour b, de sorte que le produit terme à terme des deux
vecteurs :
Fa  F  b  à 0 b 0 , à 1 b 1 , . . . à 2n1 b 2n1 .
50
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
Donne en fait les valeurs de
Rx  AxBx  T 1 à 0 b 0 , à 1 b 1 , . . . à 2n1 b 2n1 .
en les racine de l’unité c.à.d.
F  R,   e
2i
N
5-7-2 Compression d’images : [17]
Définition de la CDT
Soit :
f 0 : 0,  . , N  1


fn  f 0 reste de la division de n par N
alors pour tout v, n tels que . 0 v, nN.
DCT f V  
Cv
v2n  1
  fn cos 

2N
N 0nN
1 si v  0
Cv 
2
sinon
le principe :
On choisit un paramètre q1,  dit de ( quantification ) on divise les
valeurs de DCTf par q et on arrondit à l’entier le plus proche . Ces
nouvelles valeurs sont appelées «valeurs quantifiées» Cela a pour effet
d’annuler les valeurs  q2 , ce qui sera le cas pour le grandes de V. Pour une
image, cela permet d’identifier les zones contigües de couleurs voisines
(mise en évidence de corrélations entre les pixels). Cela a aussi pour effet
d’introduire un certain nombre de zéros dans la représentation des
données que l’on peut de nouveau compresser. (sans perte) via une
méthode d’agrégation de zéros le principe en est le suivant :
Supposons que l’on ait une suite consécutive de m zéros 0, 0,  , 0
m zéros
Alors on l’encode sous la forme m  0
Ainsi, si l’on a juste un zéro, on ajoute une donnée supplémentaire, mais
génériquement on réduira la taille.
En complément, on appliquera aussi un codage de Hoffman qui permet
de nouveau de faire une compression sons perte les formats MP3. Ogg.
vorbis, speese (format audio utilisé eu téléphonie).
51
Chapitre 5
Variantes de la Transformée de Fourier
JPEG, MPEG  1, MPEG  2Divx utilisent les procédés d’écrits
ci-dessus le format JPE. G2000 utilise des transformations par ondelettes
au lieu de la DCT .
Remarque :
DCT est la partie réel de TFD tel que TFD est notée :
N1
Xk  fne
2ikn
N
n0
Le calcul de la DCT se déduit de celui de la TFD
DCT est plus précis que TFD.
Formule pour calculer la DCT sur une matrice NxN : 16
i2x  1
j2y  1
N1
DCTi, j  1 cicj N1
cos

x0  y0 pixelx, ycos
2N
2N
2
5-7-3 Tatouage d’images :
On a le plan suivant :
TFD
Image originale I (hôte)  I, on ajoute  i a’ des valeurs particulières
de I  I 1 image tatouée (elle contient le water mark “la marque”
Ww 1 , , w n1 
En pratique ( W contient des informations sur le propriétaire ), donc le
tatouage est utilisé pour la protection des droits d’auteurs .
52
Résumé
Résumé :
Dans ce travail, on s’est intéressé à l’étude de la transformée de Fourier
discrète, notion utile en théorie et en application.
A travers ce thème, on a rappelé les outils mathématiques indispensables
pour ce genre d’étude.
Ensuite on a utilisé la notion de caractères pour généraliser la transformée
de Fourier à un groupe quelconque, les différentes variantes de la transformée
de Fourier son obtenues suivant le groupe de base, des exemples d’application
sont donnés.
Abstract
Abstract :
In this work, we are interested in the study of the discrete Fourier transform,
this concept is useful in theory and applications.
Through this theme, we recalled the necessary mathematical tools for this
kind of study.
Then we used the notion of characters to generalize the Fourier transform to
any group, variants of Fourier transform are obtained according to appropriate
group, and examples of applications are given .
‫الملخص‬
‫اﻟﻤﻠﺨﺺ ‪:‬‬
‫ﻓﻲ ھﺬه اﻟﻤﺬﻛﺮة ﻧﮭﺘﻢ ﺑﺪراﺳﺔ ” ﺗﺤﻮﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻲ اﻟﻤﺘﻘﻄﻊ “ ‪،‬إن ھﺬا اﻟﻤﻔﮭﻮم ﻣﮭﻢ ﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﯿﺔ اﻟﻨﻈﺮﯾﺔ‬
‫و اﻟﺘﻄﺒﯿﻘﯿﺔ ﻣﻌﺎ ‪.‬‬
‫ﺧﻼل ھﺬا اﻟﻤﻮﺿﻮع ‪ ،‬ﻋﺮﺿﻨﺎ اﻷدوات اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺔ اﻟﻀﺮورﯾﺔ ﻟﮭﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﺒﺤﺚ ‪ ،‬ﺑﻌﺪﺋﺬ‬
‫اﺳﺘﺨﺪﻣﻨﺎ ﻣﻔﮭﻮم ” اﻟﺘﻮﺳﯿﻤﺎت “ ﻟﺘﻌﻤﯿﻢ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻲ إﻟﻰ زﻣﺮة ﻛﯿﻔﯿﺔ ‪ ،‬وھﻜﺬا ﻓﺈن أﻧﻮاع ﺗﺤﻮﯾﻼت‬
‫ﻓﻮرﯾﯿﮫ اﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﺗﻈﮭﺮ ﻛﺤﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺣﺴﺐ اﺧﺘﯿﺎر اﻟﺰﻣﺮة اﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ‪ ،‬وﻓﻲ اﻷﺧﯿﺮ أﻋﻄﯿﻨﺎ أﻣﺜﻠﺔ ﺗﻄﺒﯿﻘﯿﺔ ‪.‬‬
Bibliographie
Bibliographie
[1] Gabriel Peyré, L’algèbre discrète de la transformée de Fourier
(ellipses 2004) .
[2] Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard, Modern computer algebra
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Time Series with an Application to Information Theory,” Information and
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[13] Robert Mc Eliece, Finite fields for computer scientists and
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[14] Rudolf Lidl andHarald Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia
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Extrêmement complet !
[15] A. J. Jerri, "The Shannon sampling theorem - its various extensions
and applications : a tutorial review", Proceedings IEEE, Vol. 65, No. 11,
November 1977, pp. 1565-1596.
[16] R. Rolland, Association ACrypTA, 50 Rue Edmond Rostand 13006
Marseille, 2006 .
[17] Transformée de Fourier discrète et Applications à la Compression
Audio/Vidéo ,Philippe Elbaz-Vincent .
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