∫ ∫=

Mécanique quantique PC 2
Transformation de Fourier – Paquets d’ondes
Soit )(xg une fonction de carré sommable. Sa transformée de Fourier )]([)( xgFkf = est
définie par :
fk gx ikxdx( ) ( ) exp[ ]=−
−∞
+∞
∫
1
2
π
La transformée de Fourier inverse, )]([)( 1kfFxg −
=, s’écrit
gx f k ikxdk( ) ( ) exp[ ]=
−∞
+∞
∫
1
2
π
.
Linéarité : )]([)]([)]()([ 22112211 xgFaxgFaxgaxgaF
+
=
+
Théorème de Parseval-Plancherel ( F est une isométrie)
f k f k dk g x g x dx
12 12
**
() () () ()
−∞
+∞
−∞
+∞
∫∫
= ou encore ff gg
12 12
=
Dérivation :
()
)()( kfikxg
dx
d
Fn
n
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
()
)()(
1xgixkf
dk
d
Fn
n
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Exercice I : Quelques propriétés des gaussiennes
1) Résoudre l'équation différentielle du premier ordre ′+=fk kfk() ()/
σ
20, connaissant la
condition initiale f() /01 2=
σπ , où
σ
2 est un nombre complexe de partie réelle
strictement positive.
2) Ecrire la transformée de Fourier inverse de l'équation différentielle ci-dessus. En déduire
l’expression de )]([)( 1kfFxg −
=.
3) Montrer qu’il est possible de choisir a réel tel que les lois ag x()
2 et af k() 2 soient des
densités de probabilité pour les variables aléatoires
x
et k. Déterminer Δ
x
et Δk. Que
dire du produit ΔΔ
x
k
?

Exercice II : Relation d'incertitude
Soit
x
une variable aléatoire dont la loi de probabilité a pour densité gx()
2. La variable
k
,
dite variable conjuguée de
x
, a pour densité de probabilité fk()
2, fk( ) étant la
transformée de Fourier de
g
x
( ). Ces densités de probabilité sont supposées centrées, ce qui
signifie que x=0 et k=0 , cas auquel on peut toujours se ramener à l’aide d’un
changement de variable.
1) Exprimer Δ
x
2 et Δk2 à l’aide de fk() et
′
fk().
2) Ecrire l’intégrale Ikfkfkdk() () ()
λλ =+
′
−∞
+∞
∫2 comme un polynôme en
λ
dont on
déterminera les coefficients. En déduire l’inégalité :
Δ
Δ
x
k
≥12
/
3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’égalité
Δ
Δ
x
k=12
/
soit réalisée.
Exercice III : Propagation d’un paquet d’ondes libre
On considère le mouvement à une dimension d’une particule libre de masse m.
1) Ecrire l’équation différentielle à laquelle obéit la fonction d’onde
ψ
(,)
x
t. Ecrire l'équation
correspondante portant sur sa transformée de Fourier,
ϕ
(,)kt. En déduire l’expression de
ϕ
(,)kt en fonction de
ϕ
(,)k0.
2) Exprimer )(tk et )(tk
Δ
en fonction de leurs valeurs à l’instant t
=
0, k0 et Δk0.
3) Calculer )(tx (On pourra utiliser le théorème de Parseval-Plancherel pour exprimer
)(tx à l’aide de la fonction
ϕ
(,)kt).
4) Ecrire l’expression de )(
2tx . Montrer que )( 2txΔ est un polynôme du second degré en t.
On supposera que l’origine de l’axe des temps est choisie de sorte que ce polynôme
atteigne son extremum à l’instant t
=
0. En déduire l’expression de )(txΔ. Interpréter
physiquement le résultat obtenu.