la transformation de fourier

LA TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS DE L1
NB : POUR LES DEMONSTRATIONS VOIR LE POLYCOPIE MANUSCRIT
L1 est l’espace le plus naturel pour y définir la Transformée de Fourier.
Pour toute fonction intégrable, on pose :
F ( f )( )   R e 2ix f ( x)dx
Proposition :

La transformation de Fourier envoie L1 dans C 0 , l’ensemble des fonctions continues, bornées, nulles à l’infini :

Si f est L1, alors F(f) est L  : ||F(f)||  ||f|| 1
et F(f) est continue d’après le théorème de Lebesgue.
Pour montrer que F(f) est nulle à l’infini, on procède en deux temps :
1)
on le vérifie pour une fonction étagée
2)
on utilise la densité de ces fonctions dans L1
Exemple de transformée de Fourier :
Considérons la fonction indicatrice de [-1/2,1/2] :
1 si x  [1 / 2,1 / 2]
 ( x)  
0 sinon
Un calcul élémentaire nous donne :
 sin(  )
si   0

F ()( )   
1 si   0

Cet exemple prouve que malheureusement L1 n’est pas stable par transformée de Fourier.
La transformée de Fourier de

est appelée fonction sinus cardinal, son graphe est le suivant :
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
Propriétés :
1)
-0.4
-30
-20
Si f est L1, dérivable à l’ordre n et si toutes ses dérivées sont L1, on a :
dk
F ( k f )( )  (2i )k F ( f )( )
dx
2
-10
0
10
20
30
3)
Si x
k
f, sont L1, pour
k   0,1,..., n
, alors F(f) est dérivable à l’ordre n et :
dk
F ( f )( )  F ((2ix) k f )( )
k
d
3) Si f est L1 et  a f ( x)  f ( x  a) , alors : F ( a f )( )  e
2ia
F ( f )( )
et :
 a ( F ( f ))( )  F (e2ixax f )( )
4) Pour f dans L1 et a >0, on pose : daf(x)=f(x/a) alors : F (d a
f )  ad1/ a F ( f )
et :
d a F ( f )  aF (d1/ a f )
5)
Si f et g sont dans L1, on a :
 fF ( g )  F ( f ) g
3
6)
Si f est dans L1 et dans L2 on a l'égalité de Plancherel :

R
2
2
f ( x) dx   fˆ ( ) d
R
NB on définit la TF sur L2 et on montre que c'est un isomorphisme.
7) Si f et g sont dans L1, on a :
F ( f * g )  F ( f )F (g )
Deuxième exemple de Transformée de Fourier :
On pose
f ( x)  e ax où a>0
2
f est alors solution de l'équation :
f ' ( x)  2axf ( x)
En appliquant la T-F on obtient :
Or
et
4
F ( f ' )( )  2iF ( f )( )
F ( xf )( ) 
1 d
F ( f )( )
2i d
F ( f ' )( )  2aF ( xf )( )
d
a
F( f ) 
F ( f )  0
2 2
F(f) est alors solution de l'équation différentielle : d
D'où :
F ( f )( ) 

e
a

2 2

a
Cet exemple est intéressant car il donne d’une part une fonction L1, invariante par la TF ( pour a =  ) ;
D’autre part, il prouve l'existence d'un ensemble stable pour la TF.
Cette remarque sera utile lorsque l'on voudra étendre la TF aux distributions qui généralisent la notion de fonction.
Inversion de la TF
D'après l'introduction :
f ( x)   e2ix fˆ ( )d
R
Validité de la formule ?
Pas dans L1 car non stable.
Théorème :
Si f est L1 et continue par morceaux alors
Si de plus F(f) est dans L1 alors :
5
2 2
f ( x  )  f ( x )
 lim  e2ix e  / 2 fˆ ( )d
  0 R
2
f ( x)   e2ix fˆ ( )d
R
Les limites de la TF : le principe d'incertitude de Heisenberg
Une fonction ne peut-être bien localisée en temps et en fréquence :
f(t)
6
F(f)
H
L
F f
0.175
f
1
0.15
0.125
0.8
0.6
-4
-2
2
4
0.075
0.4
0.05
0.2
0.025
-4
-2
2
4
ou inversement :
17.5
-10
-5
5
15
10
0.9
12.5
0.8
10
0.7
7.5
0.6
5
0.5
2.5
0.4
-10
-5
5
10
Un signal ne peut pas être à la fois bine localisé en temps et en fréquence : Si mon signal est un morceau de musique, l’analyse
de Fourier permettra de voir qu’il contient par exemple un la 220Hz mais ne nous permettra pas de savoir à quel moment
cette note entre en jeu.
Signal bref donc bien localisé en temps
Transformée de Fourier étendue donc large gamme de fréquences
Idée pour comprendre :

le signal est nul en dehors d'un petit intervalle de temps
 Il est composé de beaucoup de sinus et de cosinus qui se compensent
7
Inversement :
Spectre court = signal bien localisé en fréquence
Signal étendu dans le temps
(Il n'y a pas assez de sinusoïdes qui se compensent pour annuler le signal en dehors d'un petit intervalle)
Si on note :
t
la plage de temps du signal et
stipule que :
f

la plage de fréquences du signal , alors le principe d'incertitude de Heisenberg
t  f 
La variance de
t
c
0
autour de t m pour le signal f est définie par:
t   (t  tm ) f (t ) dt
2
Variance de

R
autour de
m
pour le signal f :
  
R
Principe d'incertitude : pour tout signal f dans L2 de norme 1
8
2
(   m ) fˆ ( ) d
 t  
1
16 2


t
tm
f est concentrée autour de
t
f est étendue
est petit
est beaucoup plus grand
t2 f
f
0.0035
1
0.003
0.8
0.0025
0.002
0.6
0.0015
0.4
0.001
0.2
-1
-0.5
0.0005
0.5
1
-1
-0.5
0.5
1
35
1
30
0.8
25
20
0.6
15
0.4
10
5
0.2
-20
-20
9
-10
10
20
-10
10
20
En méchanique quantique :
On ne peut connaître simultanément et de façon précise la position d'une particule et sa quantité de
mouvement.
t

: probabilité pour que la particule se trouve dans un intervalle
: probabilité pour que la vitesse de la particule se trouve dans un intervalle
Pour palier ce problème et faire une analyse spectrale plus fine d’autres technique ont été introduites :
- La transformée de Fourier à fenêtre : Gabor en 1946 (Short Time Fourier Transform)
C’est une analyse de fourier par intervalle : on multiplie le signal par une "fenêtre" : une fonction g de norme L2 égale à 1
Sf (u,  )   f (t ) g (t  u)e2it d
R
(*)
On a défini toute une baterie de fenêtres, on peut citer les fenêtres de :
Hamming, Hanning,Gaussienne,Blackmann
La représentation fréquentielle du signal est alors une représentation” temps-fréquence” modélisée par les boîtes de
Heisenberg : On effectue un Pavage du plan par des rectangles de dimensions t 
10

fréquences

t

temps
Chaque « boîte » correspond a un intervalle de temps
t
 analysé, associé à sa plage de fréquence  . On affecte une teinte
de gris à chacune de ces boîtes suivant l’amplitude du coefficient (*) obtenu par la transformée de fourier à fenêtre.
On peut voir ainsi les fréquences qui jouent un rôle important dans le signal étudié sur un intervalle de temps précis.
La porte ouverte au numérique :
Le Théorème d’échantillonnage de Shannon-Nyquist
On peut l’énoncer ainsi :
Si f est un signal dont la gamme de fréquences est limitée par a alors on peut reproduire ce signal de façon exacte à partir
des mesures f(n/2a) de son amplitude prises 2a fois par secondes.
De façon plus général, un signal f à bande limitée est entièrement déterminé par ses valeurs échantillonnées aux points (nh),
n dans Z, si la fréquence d’échantillonnage h est inférieure à 1/2a ; où a est la plus haute fréquence de f :
11
supp fˆ  [a, a]