la transformation de fourier

LA TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS DE L1
NB : POUR LES DEMONSTRATIONS VOIR LE POLYCOPIE MANUSCRIT
L1 est l’espace le plus naturel pour y définir la Transformée de Fourier.
Pour toute fonction intégrable, on pose :
dxxfefF xi
R)())((2
Proposition :
La transformation de Fourier envoie L1 dans C
0
, l’ensemble des fonctions continues, bornées, nulles à l’infini :
Si f est L1, alors F(f) est L : ||F(f)|| ||f||
1
et F(f) est continue d’après le théorème de Lebesgue.
Pour montrer que F(f) est nulle à l’infini, on procède en deux temps :
1) on le vérifie pour une fonction étagée
2) on utilise la densité de ces fonctions dans L1
Exemple de transformée de Fourier :
Considérons la fonction indicatrice de [-1/2,1/2] :

2
 inons
xsi
x0
]2/1,2/1[1
)(
Un calcul élémentaire nous donne :
01
0
)sin(
))((
si
si
F
Cet exemple prouve que malheureusement L1 n’est pas stable par transformée de Fourier.
La transformée de Fourier de est appelée fonction sinus cardinal, son graphe est le suivant :
Propriétés :
1) Si f est L1, dérivable à l’ordre n et si toutes ses dérivées sont L1, on a :
))(()2())(( fFif
dx
d
Fk
k
k
-30 -20 -10 0 10 20 30
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

3
3) Si x
k
f, sont L1, pour
nk ,...,1,0
, alors F(f) est dérivable à l’ordre n et :
))()2(())(( fxiFfF
d
dk
k
k
3) Si f est L1 et
)()( axfxf
a
, alors :
))(())((2 fFefF ai
a
et :
))(()))((( 2 feFfF xaxi
a
4) Pour f dans L1 et a >0, on pose : daf(x)=f(x/a) alors :
)()( /1 fFadfdF aa 
et :
)()( /1 fdaFfFd aa 
5) Si f et g sont dans L1, on a :
 gfFgfF )()(

4
6) Si f est dans L1 et dans L2 on a l'égalité de Plancherel :
 RR dfdxxf
2
2)(
ˆ
)(
NB on définit la TF sur L2 et on montre que c'est un isomorphisme.
7) Si f et g sont dans L1, on a :
)()()*( gFfFgfF 
Deuxième exemple de Transformée de Fourier :
On pose
2
)( ax exf 
où a>0
f est alors solution de l'équation :
)(2)(' xaxfxf 
En appliquant la T-F on obtient :
))((2))('( xfaFfF 
Or
))((2))('( fFifF 
et
))((
21
))(( fF
d
d
i
xfF

5
F(f) est alors solution de l'équation différentielle :
0)(
2
)( 2 fF
a
fF
d
d
D'où :
2
2
))((
a
e
a
fF
Cet exemple est intéressant car il donne d’une part une fonction L1, invariante par la TF ( pour a = ) ;
D’autre part, il prouve l'existence d'un ensemble stable pour la TF.
Cette remarque sera utile lorsque l'on voudra étendre la TF aux distributions qui généralisent la notion de fonction.
Inversion de la TF
D'après l'introduction :
R
xi dfexf
)(
ˆ
)( 2
Validité de la formule ?
Pas dans L1 car non stable.
Théorème :
Si f est L1 et continue par morceaux alors
R
xi dfee
xfxf
)(
ˆ
lim
2)()( 2/2
0
22
Si de plus F(f) est dans L1 alors :