LA TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS DE L1
NB : POUR LES DEMONSTRATIONS VOIR LE POLYCOPIE MANUSCRIT
L1 est l’espace le plus naturel pour y définir la Transformée de Fourier.
Pour toute fonction intégrable, on pose :
Proposition :
La transformation de Fourier envoie L1 dans C
, l’ensemble des fonctions continues, bornées, nulles à l’infini :
Si f est L1, alors F(f) est L
: ||F(f)||
||f||
et F(f) est continue d’après le théorème de Lebesgue.
Pour montrer que F(f) est nulle à l’infini, on procède en deux temps :
1) on le vérifie pour une fonction étagée
2) on utilise la densité de ces fonctions dans L1
Exemple de transformée de Fourier :
Considérons la fonction indicatrice de [-1/2,1/2] :