Q7 : Convolution : soient f et g deux fonctions sur R

QCM Distributions et Convolution
Q1 : On appelle distribution sur R :
01
02
03
04
05
06
:
:
:
:
:
:
Une forme linéaire sur R
Une fonction continue sur D( R)
Une application linéaire et continue de D(R ) sur R ou C
Une forme linéaire et continue sur L1(R)
Une forme bilinéaire et symétrique sur R
Un élément du dual topologique de D(R )
Q2 : Les fonctions suivantes sont dans D( R ) :
07 :
f ( x)  e 2 x
2
 x si x  [1,1]
08 : f ( x)  
0 sinon
e 2 x si x  [0,2]
f ( x)  
0 sinon
2
09 :
1  x si x  [1,1]
10 : f ( x)  
0 sinon
11 :
  12
 1 x si x  [1,1]
f ( x)  e
0 sinon
Q3 :  désigne la distribution de Dirac en 0 sur R et  une fonction de D(R ) :
12 :
 ' ,   ' (0)
13 :
x ,   0
14 :
 ' ' ,   ' ' (0)
15 :
 ,    ( x)dx
R
16 : ˆ ,     ( x)dx
R
17 :
 ( x  a),    (a) ; a  R
18 :  est une distribution régulière : Il existe une fonction f localement intégrable telle que :
 ,   f ( x) ( x)dx
R
19 : x
2
 (3)  6 '  0   H '
Q4 : Les fonctionnelles suivantes définissent des distributions sur R :
20 :
21 :
T : D( R)  R
   (0)
T : D( R)  R
   (0)
T : D( R)  R
0
23 :
T : D( R)  R
   (2)
22 24 :
T : D( R)  R
23 25 :
   2 (0)
T : D( R)  R
   " (0)
24 26 :
Q5 : Les fonctions f suivantes définissent des distributions T f en posant :
T f ,    f ( x) ( x)dx
R
27 :
f ( x)  ln( x )
28 : f(x)= sin(x)
29 : f(x)=|x| 30 : f ( x ) 
31 : f ( x ) 
32 :
f ( x) 
1
x
1
x2
1
x
Q6 : Opérations sur les distributions : T désigne une distribution et  une fonction test.
33 :
T ' ,  T , '
34 : T
35 :
(k )
,   (1) k T ,  ( k )
 a T ,   T ,   a
où
 a désigne la translation de a  R
36 : Si f est une fonction C1 par morceaux, présentant un point a une discontinuité de première
espèce on a :
T f'  T f '   a
fT ,   T , f
x
38 : On définit la dilatée d’indice a  0 de  par d a ( x )   ( ) , alors la dilatée d’indice a de T est
a
définie par d aT ,   T , d a
37 : Si f est une fonction indéfiniment dérivable sur R :
39: On peut définir la transformée de Fourier de toute distribution par
Tˆ ,   T , ˆ
40 : ˆ  1
41 : La transformée de Fourier d’un polynôme est une combinaison linéaire de dérivées de  vrai
42 : xˆ  
1
'
2i
43 :   1̂
44 : La transformée de Fourier du peigne de Dirac est un peigne de Dirac.
45 : F (e
46 :
2 it
)  
F (cos( 2t ))  2 
Q7 : Convolution : soient f et g deux fonctions sur R
47 :
 f  g ( x)  R f (t ) g (t  x)dt
48 : f  g est défini si f et g sont intégrables sur R.
49 :
Hf  Hg ( x)  0
x
f (t ) g ( x  t )dt
50 : f  g  g  f , quand le produit est défini.
51 :
F  f  g   F ( f )  F ( g ) , si f et g sont intégrables sur R, F désignant la transformée de
Fourier.
52 : si f et g sont intégrables sur R et de classe C1,
53 :
54 :
 f  g '  g' f '
 a  f  g    a f  g , a  R , quand le produit est défini.
 a  f  g   f   a g , a  R , quand le produit est défini.
Q8 : Retrouver le graphe de
55 :
0.7
   où  désigne la fonction porte :
56 :
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
57 :
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
2
58 :
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
4
6
8
10
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-2
-1 fonction triangle
1
2
Q9 : Retrouver le graphe de    où  désigne
la
-2
-1
1
2
59:
60 :
1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3
-2
-1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
2
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
61
-2
-1
4
62:
1
2
6
8
10
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-2
-1
1
2
Q10 : Convolution des distributions : S et T désignent deux distributions sur R,  une
fonction test.
63 : S*T est toujours défini
64 : S  T ,   S ( x), T ( y ),  ( xy)
65 :  'T  T '
66 :
 a T   a  T , où a est réel.
67 : S*T est bien défini si T est à support compact.
68 : (S*T) ’ =S’*T quand S*T est défini.
69 : Si a et b sont deux réels : T " aT 'bT   ' 'T  a  b T " aT 'bT   ' 'T  a  b
70:  est l’élément neutre pour la convolution
71 :  a   b   a b