Q7 : Convolution : soient f et g deux fonctions sur R

QCM Distributions et Convolution
Q1 : On appelle distribution sur R :
01 : Une forme linéaire sur R
02 : Une fonction continue sur D( R)
03 : Une application linéaire et continue de D(R ) sur R ou C
04 : Une forme linéaire et continue sur L1(R)
05 : Une forme bilinéaire et symétrique sur R
06 : Un élément du dual topologique de D(R )
Q2 : Les fonctions suivantes sont dans D( R ) :
07 :
2
2
)( x exf 
08 :
sinon0
]1,1[
)( xsix xf
09 :
sinon0
]2,0[
)(
2
2xsie
xf x
10 :
sinon0
]1,1[1
)( xsix xf
11 :
sinon0
]1,1[
)( 2
1
1xsie
xf x
Q3 :  désigne la distribution de Dirac en 0 sur R et  une fonction de D(R ) :
12 :
)0(','
13 :
0,  x
14 :
)0('',''
15 :
Rdxx)(,
16 :
Rdxx)(,
ˆ
17 :
Raaax  ;)(),(
18 :  est une distribution régulière : Il existe une fonction f localement intégrable telle que :
Rdxxxf )()(,
19 :
0'6
)3(2 
x
'H
Q4 : Les fonctionnelles suivantes définissent des distributions sur R :
20 :
)0(
)(: RRDT 
21 :
)0(
)(: RRDT 

23 :
0
)(: RRDT 
22 24 :
)2(
)(: RRDT 
23 25 :
)0(
)(:
2
RRDT 
24 26 :
)0("
)(: RRDT 
Q5 : Les fonctions f suivantes définissent des distributions
f
T
en posant :
R
fdxxxfT )()(,
27 :
)ln()( xxf 
28 : f(x)= sin(x)
29 : f(x)=|x| 30 :
x
xf 1 )( 
31 :
2
1
)( x xf 
32 :
x
xf 1 )( 
Q6 : Opérations sur les distributions : T désigne une distribution et  une fonction test.
33 :
',,' TT 
34 :
)()( ,)1(, kkk TT
35 :
aa TT 
,,
où
a
désigne la translation de
Ra
36 : Si f est une fonction C1 par morceaux, présentant un point a une discontinuité de première
espèce on a :
aff TT
 '
'
37 : Si f est une fonction indéfiniment dérivable sur R :
fTfT ,, 
38 : On définit la dilatée d’indice
0a
de par
)()( a
x
xda
, alors la dilatée d’indice a de T est
définie par
aa dTTd ,, 
39: On peut définir la transformée de Fourier de toute distribution par
ˆ
,,
ˆTT 
40 :
1
ˆ
41 : La transformée de Fourier d’un polynôme est une combinaison linéaire de dérivées de  vrai
42 :
'
21
ˆ
i
x
43 :
1
ˆ
44 : La transformée de Fourier du peigne de Dirac est un peigne de Dirac.

45 :
)( 2ti eF
46 :
2))2(cos( tF
Q7 : Convolution : soient f et g deux fonctions sur R
47 :
 Rdtxtgtfxgf )()()(
48 :
gf 
est défini si f et g sont intégrables sur R.
49 :
 xdttxgtfxHgHf 0)()()(
50 :
fggf 
, quand le produit est défini.
51 :
)()( gFfFgfF 
, si f et g sont intégrables sur R, F désignant la transformée de
Fourier.
52 : si f et g sont intégrables sur R et de classe C1,
''' fggf 
53 :
gfgf aa 
,
Ra
, quand le produit est défini.
54 :
gfgf aa
,
Ra
, quand le produit est défini.
Q8 : Retrouver le graphe de où désigne la fonction porte :
55 : 56 :
57 : 58 :
Q9 : Retrouver le graphe de où désigne la fonction triangle
59: 60 :
61 62:
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2

Q10 : Convolution des distributions : S et T désignent deux distributions sur R,  une
fonction test.
63 : S*T est toujours défini
64 :
)(),(),(, xyyTxSTS
65 :
'' TT 
66 :
TT aa 
, où a est réel.
67 : S*T est bien défini si T est à support compact.
68 : (S*T) ’ =S’*T quand S*T est défini.
69 : Si a et b sont deux réels :
baTbTaTT '''"
baTbTaTT '''"
70:  est l’élément neutre pour la convolution
71 :
baba 