Exercices - Nombres complexes : énoncé Forme algébrique, forme

Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e
Forme alg´ ebrique, forme trigonom´ etrique
Exercice 1 --L1/Math Sup -?
Mettre sous forme alg´ebrique, puis trigonom´etrique le nombre complexe Z=−4
1 + i√3.
Calculer Z3.
Exercice 2 --L1/Math Sup -?
Soit z=eiθ avec θ∈]0, π[. D´eterminer le module et un argument de 1 + zet de 1 + z+z2.
Exercice 3 --L1/Math Sup -?
Donner la partie r´eelle et la partie imaginaire du nombre complexe suivant :
1 + i√3
1−i!20
.
Exercice 4 --L1/Math Sup -?
Soient zet z0deux nombres complexes de module 1 tels que zz06=−1. D´emontrer que z+z0
1+zz0
est r´eel, et pr´eciser son module.
Exercice 5 --L1/Math Sup -?
Soit z∈C. Montrer que |z−i|=|z+i|si et seulement si zest r´eel.
Exercice 6 -´ Egalit´e dans l’in´egalit´e triangulaire -L1/Math Sup -???
Soient z1, . . . , zndes nombres complexes tous non nuls. Donner une condition n´ecessaire et
suffisante pour que
|z1+··· +zn|=|z1|+··· +|zn|.
Equations et racines n-i` emes
Exercice 7 - Exponentielle -L1/Math Sup -?
R´esoudre l’´equation ez= 3√3−3i.
Exercice 8 - Racine carr´ee d’un nombre complexe -L1/Math Sup -?
Calculer les racines carr´ees des nombres complexes suivants : z1= 3 + 4i, z2= 8 −6i.
Exercice 9 - Racine carr´e de deux fa¸cons -L1/Math Sup -?
D´eterminer les racines carr´ees de Z=√3 + isous forme alg´ebrique, puis sous forme trigo-
nom´etrique. En d´eduire la valeur de cos π
12 .
Exercice 10 - Equations du second degr´e -L1/Math Sup -?
R´esoudre les ´equations du second degr´e suivantes :
1. z2−2iz −1+2i= 0 2. iz2+ (4i−3)z+i−5=0.
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Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e
Exercice 11 - Puissances -L1/Math Sup -?
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. z5=−i2. z6=−4
1+i√3
3. z5=(1+i√3)4
(1+i)2.
Exercice 12 - Qui se ram`enent aux puissances... -L1/Math Sup -??
R´esoudre les ´equations suivantes :
1.(z−1)5= (z+ 1)52. zn= ¯z(n≥2)
3.z+1
z−13+z−1 z+1 3= 0 4. z4−z3+z2−z+ 1 = 0
5.1+2z+··· + 2zn−1+zn= 0.
Exercice 13 - Degr´e plus grand ! -L1/Math Sup -??
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. iz8+iz4+1+i= 0 ;
2. 4iz3+ 2(1 + 3i)z2−(5 + 4i)z+ 3(1 −7i)=0, sachant qu’elle admet une racine r´eelle.
Exercice 14 - Somme et puissances de racines n-iemes -L1/Math Sup -??
Soit n≥1et ω=e2iπ/n.
1. Calculer le produit des racines n-i`emes de l’unit´e.
2. Soit p≥0. Calculer Pn−1
k=0 ωkp.
3. En d´eduire que Pn−1
k=0 (1 + ωk)n= 2n.
Application au calcul de sommes et ` a la trigonom´ etrie
Exercice 15 - Lin´eariser -L1/Math Sup -?
Lin´eariser cos5x,sin5xet cos2xsin3x.
Exercice 16 - Sommes trigonom´etriques -L1/Math Sup -??
Soit n∈N∗et x, y ∈R. Calculer les sommes suivantes :
1.
n
X
k=0 n
k!cos(x+ky);
2. S=
n
X
k=0
cos(kx)
(cos x)ket T=
n
X
k=0
sin(kx)
(cos x)k,avec x6=π
2+kπ,k∈Z;
3. Dn=
n
X
k=−n
eikx et Kn=
n
X
k=0
Dk, avec x6= 0 + 2kπ,k∈Z.
Exercice 17 - Un calcul d’int´egrale -L1/Math Sup -??
Calculer Rπ/2
0cos4tsin2t.
Nombres complexes et g´ eom´ etrie
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Exercices - Nombres complexes : ´enonc´e
Exercice 18 - Similitude -L1/Math Sup -?
D´eterminer la nature et les ´el´ements caract´eristiques de l’application qui `a tout Md’affixe
zassocie le point d’affixe (1 + i√3)z+√3(1 −i).
Exercice 19 - Lieux g´eom´etriques -L1/Math Sup -??
On se propose de d´eterminer les points Md’affixe zdu plan dans les cas suivants :
1. |(1 + i)z−2i|= 2 ;
2. I(i)et M0(iz)sont align´es avec M; d´eterminer alors l’ensemble des points M0correspon-
dants ;
3. <ez−1
z−i= 0 ;
4. M,Pd’affixe z2et Qd’affixe z3sont les sommets d’un triangle ´equilat´eral.
Exercice 20 - Points `a coordonn´ees enti`eres -L1/Math Sup -??
Soit ABCD un carr´e dans le plan complexe. Prouver que, si Aet Bsont `a coordonn´ees
enti`eres, il en est de mˆeme de Cet D. Peut-on trouver un triangle ´equilat´eral dont les trois
sommets sont `a coordonn´ees enti`eres ?
Exercice 21 - Triangle ´equilat´eral -L1/Math Sup -??
Soient A,Bet Ctrois points non align´es d’affixe a,bet c.
1. Montrer que le triangle ABC est ´equilat´eral direct si et seulement si a+bj +cj2= 0.
2. On consid`ere les trois triangles ´equilat´eraux de base AB,AC et BC construits `a l’ext´erieur
du premier. Montrer que les centres de gravit´e de ces trois triangles forme un triangle
´equilat´eral.
Exercice 22 - A partir des racines n-i`emes -L1/Math Sup -??
Soit aun nombre complexe de module 1, z1, . . . , znles racines de l’´equation zn=a. Montrer
que les points du plan complexe dont les affixes sont (1 + z1)n,...,(1 + zn)nsont align´es.
Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler `a
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Exercices - Nombres complexes : indications
Forme algébrique, forme trigonométrique
Exercice 1 --L1/Math Sup -?
Multiplier le dénominateur par la quantité conjuguée.
Exercice 2 --L1/Math Sup -?
Utiliser les formules d’Euler, et pour le deuxième calcul, la somme d’une série géométrique.
Exercice 3 --L1/Math Sup -?
Passer par la forme trigonométrique.
Exercice 4 --L1/Math Sup -?
Écrire z=eiθ ,z0=eiθ0et utiliser les formules d’Euler.
Exercice 5 --L1/Math Sup -?
Poser z=x+iy et calculer, ou faire un raisonnement géométrique.
Exercice 6 - Égalité dans l’inégalité triangulaire -L1/Math Sup -???
Prouver que c’est vrai si et seulement si zi=λiz1avec λiun réel positif.
Equations et racines n-ièmes
Exercice 7 - Exponentielle -L1/Math Sup -?
Poser z=a+ib et mettre 3√3−3isous forme trigonométrique.
Exercice 8 - Racine carrée d’un nombre complexe -L1/Math Sup -?
Poser z=a+ib, écrire z2=z1et |z|2=|z1|.
Exercice 9 - Racine carré de deux façons -L1/Math Sup -?
Exercice 10 - Equations du second degré -L1/Math Sup -?
Calculer le discriminant, chercher une racine carrée de ce discriminant, puis appliquer les
formules du cours.
Exercice 11 - Puissances -L1/Math Sup -?
Mettre le membre de droite sous forme trigonométrique, puis utiliser le cours.
Exercice 12 - Qui se ramènent aux puissances... -L1/Math Sup -??
1. Se ramener à w5= 1 avec w= (z+ 1)/(z−1).
2. Quel est le module de z? Puis faire comme si on doit résoudre zn= 1...
3. Poser w=z+1
z−1.
4. Somme géométrique.
5. Somme géométrique (deux fois !).
Exercice 13 - Degré plus grand ! -L1/Math Sup -??
1. Poser u=z4;
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Exercices - Nombres complexes : indications
2. Pour une racine réelle x, écrire que la partie réelle et la partie imaginaire de l’équation
doivent être nulles.
Exercice 14 - Somme et puissances de racines n-iemes -L1/Math Sup -??
1. Elles s’écrivent toutes sous la forme ωk,k= 0, . . . , n −1.
2. C’est une somme géométrique, attention au cas p=kn.
3. Développer suivant la formule du binôme de Newton.
Application au calcul de sommes et à la trigonométrie
Exercice 15 - Linéariser -L1/Math Sup -?
Utiliser les formules d’Euler, puis la formule du binôme de Newton.
Exercice 16 - Sommes trigonométriques -L1/Math Sup -??
1. Utiliser l’exponentielle complexe et la formule du binôme.
2. Fabriquer S+iT et utiliser une somme géométrique.
3.
Exercice 17 - Un calcul d’intégrale -L1/Math Sup -??
Linéariser les fonctions trigonométriques en utilisant les nombres complexes.
Nombres complexes et géométrie
Exercice 18 - Similitude -L1/Math Sup -?
Trouver le point invariant en résolvant l’équation z= (1 + i√3)z+√3(1 −i).
Exercice 19 - Lieux géométriques -L1/Math Sup -??
1. Traduire en termes de distance à un point.
2. Traduire l’alignement en termes d’angles.
3. Traduire la condition en terme d’orthogonalité.
4. Il y a trois possibilités d’orthogonalité. Raisonner ensuite comme à la question précédente.
Exercice 20 - Points à coordonnées entières -L1/Math Sup -??
Dest l’image de Bpar la rotation de centre Aet d’angle π/2.
Exercice 21 - Triangle équilatéral -L1/Math Sup -??
1. Que vaut le quotient c−a
b−a.
2. Utiliser quatre fois la question précédente !
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