Rappel d’hier p,q,r : trois propositions logiques. P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p est aussi une proposition. En forme de tableau : p q r ¬q p ∨ r (¬q) ∧ (p ∨ r ) ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p V V V F V F V V V F F V F V V F V V V V V V F F V V V V F V V F V F V F V F F F F V F F V V V V F F F F V F F V Conclusion : P est faux si et seulement si (p est faux et q est faux et r est vraie). 16 septembre 2015 1 / 20 Soit P comme avant. Soit Q := ¬ ((¬p) ∧ ((¬q) ∧ r )). et soit R = p ∨ (q ∨ (¬r ). Tableau : p q r ¬p ¬q (¬q) ∧ r ) ((¬p) ∧ ((¬q) ∧ r )) Q V V V F F F F V V V F F F F F V V F V F V V F V V F F F V F F V F V V V F F F V F V F V F F F V F F V V V V V F F F F V V F F V R V V V V V V F V P V V V V V V F V Conclusion : P, Q et R ont la même vérité, n’importe les valeurs de p, q,r . On dit P, Q et R sont des propositions composées logiquement équivalent. 16 septembre 2015 2 / 20 Reformulation : On pourrait voir P = P(p, q, r ), Q = Q(p, q, r ), R = R(p, q, r ) comme trois formules ou trois fonctions qui dépendent de p, q, r . Ex : P : {propositions logiques}3 → {propositions logiques} où le triple de propositions (p, q, r ) est envoyé vers la proposition P = P(p, q, r ). Par définition : P et Q sont logiquement équivalentes si les fonctions composées avec la fonction "vérité" deviennent identiques : "vérité" ◦ P = "vérité" ◦ Q Vous comprenez cette abstraction ? (Cette diapos est sans importance). 16 septembre 2015 3 / 20 Avec P et Q comme avant. Discutons P ↔ Q : p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F P V V V V V V F V Q V V V V V V F V P↔Q V V V V V V V V La proposition logique composée P ↔ Q est toujours vraie, pour tous les valeurs de vérité de p, q et r . On dit P ↔ Q est une tautologie, notation P ⇔ Q. 16 septembre 2015 4 / 20 Definition Une proposition logique composée qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une tautologie. Exemple : p ∨ (¬p) est une tautologie. (p ∧ q) → (p ∨ q) est une tautologie. Si P est une tautologie, on écrit P ⇔ V (Ici V =une proposition toujours vraie). Definition Une proposition logique composée qui est toujours fausse, quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une contradiction. Exemple : p ∧ (¬p) est une contradiction. Si P est une contradiction on écrit P ⇔ F . 16 septembre 2015 5 / 20 Definition Deux propositions logiques composées P et Q sont appelées logiquement équivalentes si la proposition logique P ↔ Q est une tautologie. Dans se cas on écrit P ⇔ Q. Alors c’est cas si P vraie si et seulement Q est vraie, n’importe les valeurs de vérité des composantes simples. Une liste d’équivalences logiques utlisées tout le temps : 16 septembre 2015 6 / 20 p ∨ p ⇔ p (Idempotence) p ∧ p ⇔ p (Idempotence) ¬(¬p) ⇔ p (Loi de la double négation) p ∧ q ⇔ q ∧ p (Commutativité) p ∨ q ⇔ q ∨ p (Commutativité) ((p ∨ q) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r )) (Associativité) ((p ∧ q) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r )) (Associativité) (p ∨ (q ∧ r )) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r ))) (Distributivité) (p ∧ (q ∨ r )) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r ))) (Distributivité) ¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan) ¬(p ∨ q) ⇔ ((¬p) ∧ (¬q) (Loi de De Morgan) 16 septembre 2015 7 / 20 La plupart des preuves est facile. Deux exemples de preuve par tableau : Si P := p ∨ (q ∧ r ) et Q := (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) on a p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F q∧r V F F F V F F F P V V V V V F F F p∨q V V V V V V F F p∨r V V V V V F V F Q V V V V V F F F Effectivement P ⇔ Q (un des deux lois de la distributivité). 16 septembre 2015 8 / 20 Montrons ¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan). Soit P = ¬(p ∧ q) et Q = ((¬p) ∨ (¬q)). On a p V V F F q V F V F p∧q V F F F P F V V V ¬p F F V V ¬q F V F V Q F V V V Effectivement P ⇔ Q (un des deux lois de De Morgan). 16 septembre 2015 9 / 20 Ajoute de règles évidentes : p ∧ V ⇔ p, p ∨ F ⇔ p ("Identité") ; p ∨ V ⇔ V , p ∧ F ⇔ F ("Domination"). 16 septembre 2015 10 / 20 Autre exemple : (P → Q) ⇔ (¬Q → ¬P) et (P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q) Preuve : P V V F F Q V F V F P→Q V F V V ¬Q F V F V ¬P F F V V (¬Q) → (¬P) V F V V (¬P ∨ Q) V F V V 16 septembre 2015 11 / 20 Ces deux équivalences logiques sont souvent utilisées dans les preuves mathématiques. Soient P et Q deux proposition logiques en mathématiques. Considérons : Théorème P→Q Preuve directe typique : Si P est fausse, l’implication est automatiquement vraie. (Cette phrase est souvent omise). Supposons P est vraie. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que Q sera aussi vraie. On aura montré que P → Q est vraie. En math : si on écrit "On veut montrer P" ça veut dire "On veut montrer que la proposition P est vraie." 16 septembre 2015 12 / 20 Preuve indirecte typique : Il suffit de montrer sa contraposée (¬Q) → (¬P). Si ¬Q est faux (ou Q est vraie), l’implication est automatiquement vraie. (Cette phrase est souvent omise). Supposons Q est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que P sera aussi fausse. On aura montré que P → Q est vraie. Différence : avec une preuve directe on peut travailler avec l’hypothèse que P est vraie pour montrer qu’alors Q est aussi vraie. Avec une preuve indirecte on peut travailler avec l’hypothèse que Q est faux pour montrer qu’alors P est aussi faux. 16 septembre 2015 13 / 20 Fausse preuve typique : Il suffit de montrer (¬P) → (¬Q) est vraie. Si ¬P est faux (ou P est vraie), l’implication est automatiquement vraie. Supposons P est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que Q sera aussi fausse. On aura montré que P → Q est vraie. Une telle FAUSSE preuve est inacceptable. Ca vaut 0 points dans un examen. On est averti ! (Ce qu’on montre en fait est la réciproque q → p). 16 septembre 2015 14 / 20 Exemple : (P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) . Preuve : P V V F F Q V F V F P↔Q V F F V P→Q V F V V Q→P V V F V ((P → Q) ∧ (Q → P)) V F F V En mots : P ↔ Q est vraie si et seulement si P → Q et sa réciproque Q → P sont vraies. Pour montrer que P ↔ Q (est vraie) il suffit de montrer que P → Q (est vraie) et puis de montrer qu’aussi (¬P → ¬Q) (⇔ (Q → P))(est vraie). 16 septembre 2015 15 / 20 Soit p(u) une fonction propositionnelle avec domaine de discours U. Rappelons : "∀u p(u)" est fausse si et seulement s’il existe au moins un u tel que p(u) est fausse. Traduction : ¬(∀u p(u)) ⇔ ∃u (¬p(u)) Et "∃u p(u)" est fausse si et seulement si pour chaque u on a que p(u) est fausse. Traduction : ¬(∃u p(u)) ⇔ ∀u (¬p(u)) 16 septembre 2015 16 / 20 À la place d’utiliser un tableau pour vérifier une équivalence logique, on peut aussi utiliser les petites règles déjà montrées, comme en algèbre. Un exemple suffit pour comprendre. 16 septembre 2015 17 / 20 Disons P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p et Q := (p ∨ (q ∨ (¬r ))). P ⇔ (¬((¬q) ∧ (p ∨ r ))) ∨ p (Car (p → q) ⇔ ((¬p) ∨ q)) ⇔ (¬(¬q) ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Selon De Morgan) ⇔ (q ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Double négation) ⇔ (q ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) ∨ p (Selon De Morgan) ⇔ q ∨ (p ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) (Assoc. et comm. pour ∨) ⇔ q ∨ ((p ∨ (¬p)) ∧ (p ∨ (¬r ))) (Distrib.) ⇔ q ∨ (V ∧ (p ∨ (¬r ))) (Selon (p ∨ (¬p)) ⇔ V ) ⇔ q ∨ (p ∨ (¬r ))) (Selon (p ∨ V ) ⇔ p) ⇔ Q (Assoc. et commut.) Et voilà ! 16 septembre 2015 18 / 20 On a vu beaucoup de ()’s dans cette preuve. Trop. Convention Parce que p ∨ (q ∨ r ) = (p ∨ q) ∨ r , écrire p∨q∨r n’est pas ambigu. On supprime des ()’s. Aussi pour p∧q∧r On pose que "¬" a une plus haute priorité que ∨ ou ∧ ou → ou ... ¬p ∨ q veut dire (¬p) ∨ q. ¬p → q veut dire (¬p) → q. Mais p ∧ q ∨ r et p ∧ q → r sont ambigu : il faut avoir des ()’s. Vous aussi devez évitez des ambiguités, en utilisant les ()’s. 16 septembre 2015 19 / 20 ((P → Q) ∧ P) → Q est une tautologie. ((P → Q) ∧ ¬Q) → ¬P est une tautologie. 16 septembre 2015 20 / 20