Rappel d`hier p,q,r : trois propositions logiques. P := ((¬q) ∧ ( p ∨ r

Rappel d’hier
p,q,r: trois propositions logiques.
P:= ((¬q)∧(p∨r)) →pest aussi une proposition.
En forme de tableau :
p q r ¬q p ∨r(¬q)∧(p∨r) ((¬q)∧(p∨r)) →p
V V V F V F V
V V F F V F V
V F V V V V V
V F F V V V V
F V V F V F V
F V F F F F V
F F V V V V F
F F F V F F V
Conclusion : Pest faux si et seulement si (pest faux et qest faux et rest
vraie).
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Soit Pcomme avant.
Soit Q:= ¬((¬p)∧((¬q)∧r)). et soit R=p∨(q∨(¬r).
Tableau :
p q r ¬p¬q(¬q)∧r) ((¬p)∧((¬q)∧r)) Q R P
V V V F F F F V V V
V V F F F F F V V V
V F V F V V F V V V
V F F F V F F V V V
F V V V F F F V V V
F V F V F F F V V V
F F V V V V V F F F
F F F V V F F V V V
Conclusion : P,Qet Ront la même vérité, n’importe les valeurs de p,q,r.
On dit P,Qet Rsont des propositions composées logiquement équivalent.
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Reformulation :
On pourrait voir
P=P(p,q,r),Q=Q(p,q,r),R=R(p,q,r)
comme trois formules ou trois fonctions qui dépendent de p,q,r.
Ex :
P:{propositions logiques}3→ {propositions logiques}
où le triple de propositions (p,q,r)est envoyé vers la proposition
P=P(p,q,r).
Par définition : Pet Qsont logiquement équivalentes si les fonctions
composées avec la fonction "vérité" deviennent identiques :
"vérité" ◦P="vérité" ◦Q
Vous comprenez cette abstraction ? (Cette diapos est sans importance).
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Avec Pet Qcomme avant. Discutons P↔Q:
p q r P Q P ↔Q
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V V V
F F V F F V
F F F V V V
La proposition logique composée P↔Qest toujours vraie, pour tous les
valeurs de vérité de p,qet r.
On dit P↔Qest une tautologie, notation P⇔Q.
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Definition
Une proposition logique composée qui est toujours vraie, quelles que soient
les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée une
tautologie.
Exemple : p∨(¬p)est une tautologie.
(p∧q)→(p∨q)est une tautologie.
Si Pest une tautologie, on écrit P⇔V
(Ici V=une proposition toujours vraie).
Definition
Une proposition logique composée qui est toujours fausse, quelles que
soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent, est appelée
une contradiction.
Exemple : p∧(¬p)est une contradiction.
Si Pest une contradiction on écrit P⇔F.
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