Soient p, q deux propositions logiques quelconques. Nous avons

Soient p, q deux propositions logiques quelconques.
Nous avons défini les propositions
p ∨ q, p ∧ q, p → q, p ↔ q, ¬p, p ⊕ q.
Mais la vraie vie est souvent plus compliqué.
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Exemple.
Supposons p,q, r sont trois propositions.
Alors
P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p
est aussi une proposition.
Vraie pour quelles valeurs de vérité de p, q et r ?
Exemple, si p = F , q = F et r = V ?
Alors ¬q = V et
p ∨ r = V et donc
((¬q) ∧ (p ∨ r ) = V . Mais p = F donc
(((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p) = F .
Dans cette situation P sera fausse.
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Les vérités de ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p en forme de tableau :
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
¬q
F
F
V
V
F
F
V
V
p∨r
V
V
V
V
V
F
V
F
(¬q) ∧ (p ∨ r )
F
F
V
V
F
F
V
F
((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p
V
V
V
V
V
V
F
V
Alors P est faux si et seulement si
(p et q sont faux et r est vraie) si et seulement si
((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie.
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P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p.
Conclusion : P est faux si et seulement si ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est
vraie.
Ou P est vraie si et seulement si ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est fausse
si et seulement si ¬ ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r ) est vraie.
Posons Q := ¬ ((¬p) ∧ (¬q)) ∧ r )).
On dit P et Q sont logiquement équivalentes, P ⇔ Q.
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Soit P, Q comme avant. Et soit R = (p ∨ q) ∨ (¬r ).
On obtient un nouveau tableau :
p q r p ∨ q ¬r R P Q
V V V
V
F V V V
V V F
V
V V V V
V F V
V
F V V V
V F F
V
V V V V
F V V
V
F V V V
F V F
V
V V V V
F F V
F
F F F F
F F F
F
V V V V
Conclusion : P, Q et R ont la même vérité, n’importe les valeurs
de p, q,r .
P, Q et R sont des propositions composées logiquement
équivalentes.
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Reformulation :
On devrait voir
P = P(p, q, r ), Q = Q(p, q, r ), R = R(p, q, r )
comme trois formules logiques (ou trois fonctions) qui dépendent
des propositions logiques p, q, r .
Ex :
P : {propositions logiques}3 → {propositions logiques}
où le triple de propositions (p, q, r ) est envoyé vers la proposition
P = P(p, q, r ).
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Par définition : les formules logiques P et Q sont logiquement
équivalentes si les fonctions composées avec la fonction "vérité"
deviennent identiques :
"vérité" ◦ P = "vérité" ◦ Q
Vous comprenez cette abstraction ? (Ce diapos est sans
importance).
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Avec P et Q comme avant. Discutons P ↔ Q :
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
P
V
V
V
V
V
V
F
V
Q
V
V
V
V
V
V
F
V
P↔Q
V
V
V
V
V
V
V
V
La proposition logique composée P ↔ Q est toujours vraie, pour
tous les valeurs de vérité de p, q et r .
On dit P ↔ Q est une tautologie, notation P ⇔ Q.
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Definition
Une proposition logique composée qui est toujours vraie, quelles
que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent,
est appelée une tautologie.
Exemple : p ∨ (¬p) est une tautologie.
(p ∧ q) → (p ∨ q) est une tautologie.
Si P est une tautologie, on écrit P ⇔ V
(Ici V =une proposition toujours vraie).
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Definition
Une proposition logique composée qui est toujours fausse, quelles
que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent,
est appelée une contradiction.
Exemple : p ∧ (¬p) est une contradiction.
Si P est une contradiction on écrit P ⇔ F
(ou F est une proposition fausse).
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Definition
Deux propositions logiques composées P et Q sont appelées
logiquement équivalentes si la proposition logique P ↔ Q est une
tautologie.
Dans se cas on écrit P ⇔ Q.
Alors c’est le cas si P vraie si et seulement Q est vraie, n’importe
les valeurs de vérité des composantes simples.
Une liste d’équivalences logiques simples utlisées tout le temps :
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p ∨ p ⇔ p (Idempotence)
p ∧ p ⇔ p (Idempotence)
¬(¬p) ⇔ p (Loi de la double négation)
p ∧ q ⇔ q ∧ p (Commutativité)
p ∨ q ⇔ q ∨ p (Commutativité)
((p ∨ q) ∨ r ) ⇔ (p ∨ (q ∨ r )) (Associativité)
((p ∧ q) ∧ r ) ⇔ (p ∧ (q ∧ r )) (Associativité)
(p ∨ (q ∧ r )) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r ))) (Distributivité)
(p ∧ (q ∨ r )) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r ))) (Distributivité)
¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan)
¬(p ∨ q) ⇔ ((¬p) ∧ (¬q) (Loi de De Morgan)
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La plupart des preuves est facile. Deux exemples de preuve par
tableau :
Si P := p ∨ (q ∧ r ) et Q := (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) on a
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
q∧r
V
F
F
F
V
F
F
F
P
V
V
V
V
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
V
V
V
F
F
p∨r
V
V
V
V
V
F
V
F
Q
V
V
V
V
V
F
F
F
Effectivement P ⇔ Q (un des deux lois de la distributivité).
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Montrons ¬(p ∧ q) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q)) (Loi de De Morgan).
Soit P = ¬(p ∧ q) et Q = ((¬p) ∨ (¬q)). On a
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
P
F
V
V
V
¬p
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
Q
F
V
V
V
Effectivement P ⇔ Q (un des deux lois de De Morgan).
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Ajoutons deux règles évidentes :
p ∧ V ⇔ p, p ∨ F ⇔ p ("Identité") ;
p ∨ V ⇔ V , p ∧ F ⇔ F ("Domination").
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Par définition il y a (en théorie) une fonction
vérité : {propositions} → {vrai, faux} = {V, F}
qui associe à chaque proposition sa vérité vrai ou faux.
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Par exemple
”n > 2”
n’est pas une proposition logique (car sa vérité dépend de la valeur
de n, qui n’est pas précisée).
Mais c’est presque une proposition : dès que la valeur n choisie, ça
devient une proposition logique.
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C’est une famille de propositions logiques qui dépend de la variable
n.
Posons la fonction
p : N → {propositions logiques}
où pour n ∈ N on définit :
p(n) := ”n > 2”.
p(n) est fausse si n = 0, 1 ou 2 et vraie sinon (pour n ∈ N).
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Soit U un ensemble. Une fonction
p : U → {propositions logiques}
qui associe à chaque u ∈ U la proposition logique
p(u)
s’appelle fonction propositionnelle avec U comme univers du
discours de la variable u.
Exemple :
U l’ensemble des hommes ici dans cette salle.
p(X ) := " X peut patiner".
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Soit P(u) une fonction propositionnelle avec U comme univers du
discours de la variable u.
Deux nouvelles propositions logiques, les quantifications.
"P(u) est vraie pour tout les valeurs de u", ou,
"pour chaque valeur u la proposition P(u) est vraie",
notation
∀u P(u)
(on dit : quantification universelle)
Dans l’exemple :
∀X p(X ) est une traduction logique de "Tous les hommes ici
peuvent patiner."
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"P(u) est vraie pour au moins une des valeurs de u", ou
"il existe au une valeur u telle que la proposition P(u) est vraie",
notation
∃u P(u)
(on dit : quantification existentielle)
Tout dépend de la fonction propositionnelle P et donc aussi de
l’univers du discours.
Dans l’exemple : ∃X P(X ) est une traduction logique de "Un des
hommes ici peut patiner."
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Exemple :
p(n) := ”n > 2” avec univers du discours N.
La proposition logique ”∀n n > 2” est fausse (car au moins
p(1) = ”1 > 2” n’est pas vraie) ;
et ”∃n n > 2” est vraie (car au moins p(3) = ”3 > 2” est vraie).
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∀u p(u) est vraie si p(u) est vraie pour chaque u ;
∀u p(u) est fausse s’il existe au moins un u tel que p(u) est fausse.
∃u p(u) est vraie s’il existe un u tel que p(u) est vraie ; ∃u p(u)
est fausse si pour chaque u on a que p(u) est fausse.
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Aussi :
Il faut adopter les notations du cours ! Exemples :
Il faut utiliser ¬p (et pas p).
Et Vraie (ou V) et Fausse (ou F) (et pas 1 et 0).
Et ⇔ (et pas ≡).
Et pas confondre ⇔ et ↔.
Et pas confondre ∨ et ∪, ou ∧ et ∩.
Et ⇒ n’est pas défini encore, donc éviter d’utiliser.
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A propos des ( et ).
Nous avons montré l’associativité :
p ∨ (q ∨ r ) ⇔ (p ∨ q) ∨ r .
Logiquement il n’y a pas de confusion possible : on a le droit
d’écrire p ∨ q ∨ r .
Aussi p ∧ q ∧ r est sans ambiguité.
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Mais p ∨ q ∧ r est ambigue !
Parce que
(p ∨ q) ∧ r
ou
p ∨ (q ∧ r )
sont deux choses logiquement différentes (non-équivalentes).
Nous ne posons pas de convention de priorité entre ∨ et ∧ !
Il faut continuer d’utiliser les (, ) dans ce cours !
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Seulement :
par convention ¬ aura plus haute priorité que les autres opérations
logiques.
Par exemple :
¬p → q veut dire (¬p) → q et non ¬(p → q).
Ce sont les seules conventions de ce cours a propos de priorité
d’opérations logiques. Pour le reste il faut utliser les (, ).
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Une équivalence utilisée souvent :
(P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) .
En mots : P ↔ Q est vraie si et seulement si P → Q et sa
réciproque Q → P sont vraies.
Preuve par une vérification par tableau.
P
V
V
F
F
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Q
V
F
V
F
P↔Q
V
F
F
V
P→Q
V
F
V
V
Q→P
V
V
F
V
((P → Q) ∧ (Q → P))
V
F
F
V
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Deux autres exemples d’équivalence, très importante pour nous :
(P → Q) ⇔ (¬Q → ¬P)
(une implication est équivalente à sa contraposé)
et
(P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
Preuve :
P
V
V
F
F
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Q
V
F
V
F
P→Q
V
F
V
V
¬Q
F
V
F
V
¬P
F
F
V
V
(¬Q) → (¬P)
V
F
V
V
(¬P ∨ Q)
V
F
V
V
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À la place d’utiliser un tableau pour vérifier une équivalence
logique, on peut aussi utiliser les petites (ou grandes) équivalences
déjà montrées, comme en algèbre.
Un exemple suffit pour comprendre, peut-être.
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Disons P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p et Q := (p ∨ (q ∨ (¬r ))) sont
équivalentes :
P ⇔ (¬((¬q) ∧ (p ∨ r ))) ∨ p (Car (p → q) ⇔ ((¬p) ∨ q))
⇔ (¬(¬q) ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Selon De Morgan)
⇔ (q ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Double négation)
⇔ (q ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) ∨ p (Selon De Morgan)
⇔ q ∨ (((¬p) ∧ (¬r )) ∨ p) (Assoc. pour ∨)
⇔ q ∨ (p ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) (comm. pour ∨)
⇔ q ∨ ((p ∨ (¬p)) ∧ (p ∨ (¬r ))) (Distrib.)
⇔ q ∨ (V ∧ (p ∨ (¬r ))) (Selon (p ∨ (¬p)) ⇔ V )
⇔ q ∨ (p ∨ (¬r )) (Selon (V ∨ p) ⇔ p)
⇔ (q ∨ p) ∨ (¬r )(Assoc. de ∨)
⇔ (p ∨ q) ∨ (¬r ) (Commut. de ∨)
⇔ Q (Assoc. de ∨)
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L’algèbre (de Boole) est utilisé en programmation...
Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans les
preuves mathématiques.
Nous allons donner des exemple d’utilisation.
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