Soient p, q deux propositions logiques quelconques. Nous avons

Soient p,qdeux propositions logiques quelconques.
Nous avons défini les propositions
p∨q,p∧q,p→q,p↔q,¬p,p⊕q.
Mais la vraie vie est souvent plus compliqué.
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Exemple.
Supposons p,q,rsont trois propositions.
Alors
P:= ((¬q)∧(p∨r)) →p
est aussi une proposition.
Vraie pour quelles valeurs de vérité de p,qet r?
Exemple, si p=F,q=Fet r=V?
Alors ¬q=Vet
p∨r=Vet donc
((¬q)∧(p∨r) = V. Mais p=Fdonc
(((¬q)∧(p∨r)) →p) = F.
Dans cette situation Psera fausse.
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Les vérités de ((¬q)∧(p∨r)) →pen forme de tableau :
p q r ¬q p ∨r(¬q)∧(p∨r) ((¬q)∧(p∨r)) →p
V V V F V F V
V V F F V F V
V F V V V V V
V F F V V V V
F V V F V F V
F V F F F F V
F F V V V V F
F F F V F F V
Alors Pest faux si et seulement si
(pet qsont faux et rest vraie) si et seulement si
((¬p)∧(¬q)) ∧r)est vraie.
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P:= ((¬q)∧(p∨r)) →p.
Conclusion : Pest faux si et seulement si ((¬p)∧(¬q)) ∧r)est
vraie.
Ou Pest vraie si et seulement si ((¬p)∧(¬q)) ∧r)est fausse
si et seulement si ¬((¬p)∧(¬q)) ∧r)est vraie.
Posons Q:= ¬((¬p)∧(¬q)) ∧r)).
On dit Pet Qsont logiquement équivalentes,P⇔Q.
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Soit P,Qcomme avant. Et soit R= (p∨q)∨(¬r).
On obtient un nouveau tableau :
p q r p ∨q¬rR P Q
V V V V F V V V
V V F V V V V V
V F V V F V V V
V F F V V V V V
F V V V F V V V
F V F V V V V V
F F V F F F F F
F F F F V V V V
Conclusion : P,Qet Ront la même vérité, n’importe les valeurs
de p,q,r.
P,Qet Rsont des propositions composées logiquement
équivalentes.
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