C - Facultés des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Rabat

UNIVERSITE MOHAMMED V RABAT
FACULTE DES SCIENCES JURIDIQUES
ECONOMIQUES ET SOCIALES
AGDAL
ﺲﻣﺎﺨﻟا ﺪﻤﺤﻣ ﺔﻌﻣﺎﺟ– طﺎﺑﺮﻟا
ﺔﯾدﺎﺼﺘﻗﻻاو ﺔﯿﻧﻮﻧﺎﻘﻟا مﻮﻠﻌﻟا ﺔﯿﻠﻛ
لاﺪﻛا ﺔﯿﻋﺎﻤﺘﺟﻻاو
DEPARTEMENT DE SCIENCES ECONOMIQUES
Licence fondamentale en Sciences Economiques et Gestion
COURS DE PROBABILITES
Professeur : Adil EL MARHOUM
ANNEE UNIVERSITAIRE 2014/2015

Cours de probabilités
Adil EL MARHOUM Page 2
INTRODUCTION
La théorie des probabilités est constamment utilisée en analyse statistique. Elle permet
notamment de déterminer statistiquement la probabilité d'un événement qui ne peut pas être
testé directement.
Les probabilités mathématiques sont largement utilisées en physique, en biologie, en
sciences sociales ainsi que dans l'industrie et le commerce. Elles font l'objet d'applications
dans des domaines aussi variés que la génétique, la mécanique quantique ou les assurances.
Probabilités, ou théorie des probabilités, branche des mathématiques qui s'attache à
mesurer ou à déterminer quantitativement la probabilité qu'a un événement ou une
expérience d'aboutir à un résultat donné. Cette théorie est fondée sur l'étude des
permutations et des combinaisons. Elle constitue la base de tous les travaux en statistiques.
Historique
On attribue en général à Blaise Pascal et à Pierre de Fermat l'invention au XVIIe siècle
d'une première théorie des probabilités appliquée aux jeux de hasard, même si Jérôme
Cardan s'était déjà penché sur la question dès le XVIe siècle. Cinquante ans plus tard, dans
son ouvrage posthume Ars conjectandi (1713), Jacques Bernoulli systématisa le calcul des
probabilités, en énonçant des théorèmes prometteurs tels que l'additivité des probabilités.
Au même moment, en Angleterre, Abraham de Moivre introduisit la notion de loi normale
dans son œuvre Doctrine of Chances.
Le XIXe siècle fut marqué par la publication en 1814 de la Théorie analytique des
probabilités de Laplace, dans lequel la théorie des probabilités est appliquée à la mécanique
et aux statistiques. Cet ouvrage eut une influence considérable sur tous les mathématiciens
de ce siècle. Avec les travaux de Darwin et du statisticien Quételet, la vision probabiliste du
monde s'affirma encore davantage, englobant tous les domaines de la science.
Le calcul des probabilités est certainement l’une des branches les plus récentes des
mathématiques, bien qu’il ait en fait trois siècles et demi d’existence. Après s’être cantonné
dans l’étude des jeux de hasard, il s’est introduit dans presque toutes les branches de
l’activité scientifique, aussi bien dans l’analyse (théorie du potentiel), l’économie, la
génétique (lois de Mendel), la physique corpusculaire (toutes les théories statistiques) que
dans la psychologie et l’informatique, dont la source est l’étude de la quantité
d’information, donnée probabiliste s’il en est. Il est rare de trouver un tel exemple de
« recouvrement » dans le domaine scientifique. On peut, sans paradoxe, soutenir que toutes
les mathématiques anciennes sont un cas particulier du calcul des probabilités, le certain
étant de l’aléatoire dont la réalisation a une probabilité égale à 1.

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Le calcul des probabilités est né de l’étude des jeux de hasard. Ce dernier mot, transmis par
l’Espagne, vient d’Arabie. L’arabe az-zahr, « dé à jouer », s’est transformé en azar, « hasard »
(et souvent « revers ») en espagnol. La base philologique, si l’on peut dire, du calcul des
probabilités est donc le jeu (pile ou face, jeu de roulette, cartes). Pascal et le chevalier de
Méré sont certainement les premiers à avoir voulu introduire le quantitatif dans ces études et à
les mathématiser. On essaye aujourd’hui de réduire l’importance de ce point de départ en
cherchant un fondement axiomatique et en enseignant le calcul des probabilités sans parler de
hasard (à peine ose-t-on parler d’aléa). Il n’en est pas moins vrai que, sans l’activité des
joueurs, le calcul des probabilités n’aurait sûrement pas vu le jour. Depuis le XVIIe siècle, de
nombreux mathématiciens ont apporté une très importante contribution au développement de
cette science : parmi les plus marquants, citons Laplace, dont le tome VII des Œuvres
complètes est consacré au calcul des probabilités, et Denis Poisson, Carl Friedrich Gauss,
Henri Poincaré, Émile Borel, Maurice Fréchet, Paul Levy, A. N. Kolmogorov et
A. Khintchine.

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ANALYSE COMBINATOIRE
I. INTRODUCTION
L'analyse combinatoire, fondée sur des formules de permutations et de combinaisons, possède
d'importantes applications dans de nombreuses branches des mathématiques, comme par
exemple dans la théorie des probabilités et en statistiques, où elles peuvent servir à compter le
nombre d'arrangements possibles des éléments d'un système.
Au cours de ce chapitre nous définirons pour commencer la notion de disposition ordonnée et
disposition non ordonnée. Ensuite nous étudierons les différentes dispositions à savoir les
permutations, les arrangements et les combinaisons.
II. DISPOSITIONS
Soient deux éléments a et b :
 Si (a , b)  (b , a) alors on parle de disposition ordonnée.
 Si (a , b)  (b , a) alors on parle de disposition non ordonnée.
III. PERMUTATIONS
Une permutation est une disposition ordonnée. Le nombre de permutations que l’on peut faire
avec n éléments est : Pn = n ! = n  (n-1)  (n-2)  …  2  1
Exemple :
Le nombre de permutations que l’on peut faire avec trois éléments a, b, c est :
P3 = 3 ! = 3  2  1 = 6
Ces 6 permutations sont : (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), et (c,b,a).
IV. ARRANGEMENTS
Un arrangement de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition ordonnée de p de
ces n éléments. On distingue les arrangements avec répétitions et les arrangements sans
répétitions.
4.1. Arrangements sans répétitions
C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments,
chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans le même arrangement. Le nombre
d’arrangements sans répétitions est :
)!( !pn n
Ap
n

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Exemple :
Le nombre d’arrangements sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis
parmi trois éléments a, b, c est :
6
1123 )!23( !3
2
3
A
Ces 6 arrangements sont : (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), et (c,b).
4.2. Arrangements avec répétitions
C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments,
chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans le même arrangement.
Le nombre d’arrangements avec répétitions est : np
Exemple :
Le nombre d’arrangements avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis
parmi trois éléments a, b, c est : 32 = 9
Ces 9 arrangements sont : (a,a), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,b), (b,c), (c,b) et (c,c).
V. COMBINAISONS
Une combinaison de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition non ordonnée de
p de ces n éléments. On distingue les combinaisons avec répétitions et les combinaisons sans
répétitions.
5.1. Combinaisons sans répétitions
C’est le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n
éléments, chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans la même combinaison.
Le nombre de combinaisons sans répétitions est :
)!( ! !pnp n
Cp
n
Exemple :
Le nombre de combinaisons sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis
parmi trois éléments a, b, c est :
3
!
1
!
2
!3
2
3
C
Ces 3 combinaisons sont : (a,b), (a,c), et (b,c).