polynômes irréductibles

Université Paris 7 – M2 MIC 15-16
Cryptographie symétrique 29 septembre 2015
feuille de TD/TP 1
Polynômes irréductibles sur les corps finis
Un polynôme de Fq[X]de degré nest dit primitif sur Fqs’il est irréductible et s’il est le polynôme minimal d’une
racine primitive de l’unité sur Fqn.
Le polynôme réciproque d’un polynôme P(X) = Pn
i=0 aiXide degré n, est le polynôme P∗(X) = Pn i=0 an−iXi, et
donc P∗(X) = XnP(1
X). On a P∗∗ =P.
Exercice 1. 1. Montrer que si X6 | P, le polynôme Pest irréductible, resp. primitif, si et seulement si son
polynôme réciproque P∗est irréductible, resp. primitif.
2. Rappeler le nombre de polynômes primitifs de degré nsur F2. Compter le nombre de polynômes de degré
exactement nsur F2qui ne sont divisible ni par Xni par X+ 1.
3. Montrer que le polynôme Pn
i=0 Xi(n≥1) n’est primitif que si n= 1 ou n= 2.
4. Déterminer tous les polynômes irréductibles et primitifs de degré 2, 3 et 4.
5. Montrer que tous les polynômes irréductibles de degré 5 sont primitifs. Déterminez les tous.
Exercice 2. Soit qun nombre premier, nun entier naturel strictement positif, et Pun polynôme unitaire à
coefficients dans Fq. Le polynôme Xqn−Xest à coefficients dans Fq. On pose K = Fq[X]/(P).
1. Montrer que si Pest irréductible de degré d, et si d|n, alors tout élément de Kest racine de Xqn−Xet
en déduire que P|Xqn−X.
2. Montrer que si l’entier naturel strictement positif dest tel que qd−1divise qn−1alors ddivise n.
3. Montrer que si le polynôme Pest irréductible de degré det divise Xqn−X, alors tout élément de Kest
racine de ce polynôme. En déduire que ddivise n.
4. Montrer que Xqn−Xn’a pas de facteur multiple.
5. En déduire que dans Fq[X],Xqn−Xest exactement le produit de tous les polynômes unitaires irréductibles
dont le degré divise n.
6. En déduire qu’un polynôme Pde degré nde Fq[X]est irréductible si et seulement si :
a. P|Xqn−X;
b. pour tout diviseur premier pde ndifférent de n,Pet Xqn/p −Xsont premiers entre eux.
Proposer un algorithme dans le cas q= 2 pour décider si un polynôme de degré nest irréductible, et évaluer
sa complexité.
7. Déduire du résultat de la question précédente que le nombre mn(q)de polynômes irréductibles de degré n
sur Fqvérifie :
qn−qbn
2c+1
n≤mn(q)≤qn n
et que pour nassez grand, parmi les polynômes de degré n, environ un sur nest irréductible. Proposer un
algorithme pour trouver un polynôme irréductible sur Fq.
On déduit de l’inégalité précédente qu’il existe un polynôme irréductible sur Fp,ppremier, et donc l’existence d’un corps fini
de cardinal pn, comme corps de rupture de ce polynôme sur Fp.
8. Montrer que Pest un polynôme primitif de degré nde Fq[X]si et seulement s’il vérifie, en plus des deux
conditions précédentes :
c. Pour tout diviseur premier pde qn−1,P6 | Xqn−1
p−1.
Cette condition est en général beaucoup plus lourde à vérifier, on doit calculer l’ensemble des diviseurs premiers de qn−1.
9. Montrer que dans F2[X],X3+X+ 1 est irréductible et primitif.
10. Que doit-on vérifier, en suivant ce qui précède, pour montrer que dans F2[X],X8+X4+X3+X+ 1
(polynôme de l’AES) est irréductible, mais pas primitif ? (on peut commencer par calculer modulo P,X8,X16 ,X32,
puis X51 =X32X16 X3).
Exercice 3. 1. Calculer X9modulo 1+X3+X6. Le polynôme 1+X3+X6est-il irréductible ? Est-il primitif ?
2. Déterminer tous les polynômes primitifs de degré 6 dont 3 coefficients sont non nuls.
3. Calculer X21 modulo 1 + X+X2+X4+X6. Ce polynôme est-il irréductible ? Est-il primitif ?
Exercice 4. Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2m−1avec mpremier. Un exposant de Mersenne
est un nombre mtel que 2m−1est un nombre de Mersenne premier.
1. Montrer que mest un exposant de Mersenne si et seulement si 2m−1premier.
2. Soit F2le corps à deux éléments. Montrer que tous les polynômes irréductibles de F2[X]de degré msont
primitifs si et seulement si mest un exposant de Mersenne.
3. Combien y-a-t-il de polynômes primitifs de F2[X]de degré msi ce dernier est un exposant de Mersenne ?
4. Montrer que si mest un exposant de Mersenne, le polynôme Pde degré mest primitif si et seulement si
X2m−1≡1 mod P.
5. Application : vérifier que 7 est un exposant de Mersenne. Combien y-a-t-il de polynômes primitifs de degré
7 ? Vérifier que X7+X+ 1 est un polynôme primitif.
Montrer qu’un polynôme primitif de degré 7 possède 3, 5 ou 7 coefficients non nuls, et qu’il en existe bien
dont exactement 5 coefficients sont non nuls.