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IX
Comportement des suites numériques
1 ) Sens de variation d’une suite
A priori une suite est une fonction (définie sur IN), u n  u (n) , donc (u n ) strictement croissante signifie :
pour tous entiers n et p , n  p  u n  u p mais on a mieux (= plus simple) :
Déf 1 : (u n ) strictement croissante signifie : pour tout entier n , u n  u n 1 .
Il suffit en effet de comparer chaque terme au terme suivant.
Déf 2 : (u n ) croissante signifie : pour tout entier n , u n  u n 1 . On l’écrit souvent (u n )
.
Déf 3 : (u n ) strictement décroissante signifie : pour tout entier n , u n  u n1 .
Déf 4 : (u n ) décroissante signifie : pour tout entier n , u n  u n 1 . On l’écrit souvent (u n )
.
En pratique, pour connaître le sens de variation de la suite (u n ) , on étudie le signe de u n1  u n .
2n
2 n1
2 n1
2n
Exemple : u n 
pour n  0 . On a alors u n1 
et u n1  u n 
d’où

10n
10(n  1)
10(n  1) 10n
u n1  u n 
2 n1 n  2 n (n  1) 2 n (2n  n  1) 2 n (n  1)


 0 si n  1.
10n(n  1)
10n(n  1)
10n(n  1)
On a factorisé pour
déterminer le signe de
u n1  u n .
Bien sûr une suite peut être croissante ou décroissante à partir d’un certain rang, par exemple ici (u n ) est
strictement croissante à partir du rang 2 car u1  u2  0,2.
Lorsqu’on sait que la suite (u n ) est strictement positive (c’est-à-dire que pour tout n , u n  0 , on peut
comparer
u
u n 1
et 1 car on a alors n 1  1  u n 1  u n . C’est parfois plus pratique.
un
un
Il va de soi que si la suite (u n ) est définie par u n  f (n) où f
est une fonction dérivable, le sens de variation de la suite (u n ) est
celui de la fonction f . Exemple ci-contre : u n 
avec f ( x ) 
n 1
 f ( n)
n4
x 1
3
 0 donc f strictement
: f ' ( x) 
x4
( x  4) 2
et (u n ) strictement
.
Le cas des suites définies implicitement par une relation de récurrence du type u n1  f (u n ) , par
exemple avec la même fonction f que ci-dessus : u n 1 
un  1
, est un peu moins simple…
un  4
Déf 5 : les suites des définitions 1 à 4 sont dites monotones. (sens de variation constant)
Remarque : il existe évidemment des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes, sur aucun intervalle,
exemples : v n  (1) n ou t n  n(1) n . Ces suites « oscillent ». Elles ne sont pas monotones.
Déf 6 : une suite qui est à la fois croissante et décroissante est constante : elle prend toujours la même
valeur. Exemple : (u n ) définie pour tout entier n par u n  5 .
2 ) Comportement d’une suite à l’infini (c’est-à-dire pour n très grand)
On distingue a priori trois types de comportement : (définitions rigoureuses en Terminale)
a ) Les termes ont tendance à se rapprocher, « de plus en plus », d’une certaine valeur limite fixée
alors que la suite converge vers la limite
l : on dit
l. Exemples ci-dessous : une suite convergeant vers 0 et une autre
convergeant vers 2.
On l’écrira :
b ) Les termes ont tendance à devenir de plus en plus grands, ils finissent
par dépasser, définitivement, n’importe quelle valeur, éventuellement très
grande.
On dit que la suite diverge vers   .
C’est le cas de la suite ( wn ) ci-contre.
c ) Les termes ont tendance à devenir de plus en plus grands en valeur
absolue et négatifs, ils finissent par passer, définitivement, en dessous de
n’importe quelle valeur.
On dit que la suite diverge vers   .
C’est le cas de la suite ( s n ) ci-contre.
Dans tous les autres cas, on dit que la suite diverge : exemples : les suites
v n  (1) n ou t n  n(1) n de la fin du paragraphe 1.
Théorèmes démontrables en Terminale :
1 ) Pour (u n ) monotone, on est toujours dans un des trois cas a, b ou c.
2 ) Avec un nombre q fixé :
Si q  1 ,
lim

q   0 .
q    . Si  1  q  1 ,
n  
n  
lim
n
n
Déf 7 : s’il existe deux nombres fixés m et M vérifiant : pour tout entier
n , m  u n  M , on dit que la suite (u n ) est bornée (on dit alors qu’elle
est bornée par m et M ).