IX Comportement des suites numériques.doc

IX Comportement des suites numériques
1 ) Sens de variation d’une suite
A priori une suite est une fonction (définie sur IN),
)(nuun
, donc
)( n u
strictement croissante signifie :
pour tous entiers
n
et
p
,
pn uupn 
mais on a mieux (= plus simple) :
Déf 1 :
)( n u
strictement croissante signifie : pour tout entier
n
,
1
nn uu
.
Il suffit en effet de comparer chaque terme au terme suivant.
Déf 2 :
)( n u
croissante signifie : pour tout entier
n
,
1
nn uu
. On l’écrit souvent
)( n u
.
Déf 3 :
)( n u
strictement décroissante signifie : pour tout entier
n
,
1
nn uu
.
Déf 4 :
)( n u
décroissante signifie : pour tout entier
n
,
1
nn uu
. On l’écrit souvent
)( n u
.
En pratique, pour connaître le sens de variation de la suite
)( n u
, on étudie le signe de
nn uu  1
.
Exemple :
n
un
n10
2
pour
0n
. On a alors
)1(1021
1 n
un
n
et
nn
uu nn
nn 10
2
)1(1021
1
d’où
0
)1(10 )1(2 )1(10 )12(2 )1(10 )1(22 1
1 nnn
nn nn nn nn
uu nnnn
nn
si
1n
.
On a factorisé pour
déterminer le signe de
nn uu  1
.
Bien sûr une suite peut être croissante ou décroissante à partir d’un certain rang, par exemple ici
)( n u
est
strictement croissante à partir du rang 2 car
.2,0
21  uu
Lorsqu’on sait que la suite
)( n u
est strictement positive (c’est-à-dire que pour tout
n
,
0
n
u
, on peut
comparer
n
n
u
u1
et 1 car on a alors
1 1
n
n
u
u
nn uu  1
. C’est parfois plus pratique.
Il va de soi que si la suite
)( n u
est définie par
)(nfun
où
f
est une fonction dérivable, le sens de variation de la suite
)( n u
est
celui de la fonction
f
. Exemple ci-contre :
)(
4
1nf
n
n
un
avec
4
1
)(  x
x
xf
:
0
)4( 3
)(' 2 x xf
donc
f
strictement
et
)( n u
strictement .
Le cas des suites définies implicitement par une relation de récurrence du type
)(
1nn ufu 
, par
exemple avec la même fonction
f
que ci-dessus :
4
1
1
n
n
nu
u
u
, est un peu moins simple…

Déf 5 : les suites des définitions 1 à 4 sont dites monotones. (sens de variation constant)
Remarque : il existe évidemment des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes, sur aucun intervalle,
exemples :
n
n
v)1(
ou
n
nnt )1(
. Ces suites « oscillent ». Elles ne sont pas monotones.
Déf 6 : une suite qui est à la fois croissante et décroissante est constante : elle prend toujours la même
valeur. Exemple :
)( n u
définie pour tout entier
n
par
5
n
u
.
2 ) Comportement d’une suite à l’infini (c’est-à-dire pour n très grand)
On distingue a priori trois types de comportement : (définitions rigoureuses en Terminale)
a ) Les termes ont tendance à se rapprocher, « de plus en plus », d’une certaine valeur limite fixée l : on dit
alors que la suite converge vers la limite l. Exemples ci-dessous : une suite convergeant vers 0 et une autre
convergeant vers 2.
On l’écrira :
b ) Les termes ont tendance à devenir de plus en plus grands, ils finissent
par dépasser, définitivement, n’importe quelle valeur, éventuellement très
grande.
On dit que la suite diverge vers
.
C’est le cas de la suite
)( n w
ci-contre.
c ) Les termes ont tendance à devenir de plus en plus grands en valeur
absolue et négatifs, ils finissent par passer, définitivement, en dessous de
n’importe quelle valeur.
On dit que la suite diverge vers
.
C’est le cas de la suite
)( n s
ci-contre.
Dans tous les autres cas, on dit que la suite diverge : exemples : les suites
n
n
v)1(
ou
n
nnt )1(
de la fin du paragraphe 1.
Théorèmes démontrables en Terminale :
1 ) Pour
)( n u
monotone, on est toujours dans un des trois cas a, b ou c.
2 ) Avec un nombre
q
fixé :
Si
1q
,
n
q
n
lim
. Si
11  q
,
0
lim 
n
q
n
.
Déf 7 : s’il existe deux nombres fixés
m
et
M
vérifiant : pour tout entier
n
,
Mum n
, on dit que la suite
)( n u
est bornée (on dit alors qu’elle
est bornée par
m
et
M
).