Quelques notions de logique

Notions de logique
1
Proposition
Définition préliminaire : En mathématiques, on appelle proposition toute phrase correctement
construite, dont on peut dire sans ambiguïté si elle est VRAIE ou FAUSSE.
Exemples :
1. “3 + 2 = 5” est une proposition vraie ; “1 = 0” est une proposition fausse.
2. “3) + 1 =” n’est pas une proposition et cette expression n’a d’ailleurs aucun sens.
Remarque :
1. On appelle expression bien formée (en abrégé ebf ) toute phrase correctement construite.
2. L’expression “x > 3” contient une lettre (x) appelée variable. Cette expression n’est pas une proposition
tant qu’on n’a pas dit ce que représentait x : elle sous-entend seulement, pour qu’il y ait quelque chance
que cette expression ait un sens, que x ∈ R.
Dans cet exemple, la variable réelle x est libre : cela signifie que si on lui donne une valeur réelle quelconque, l’expression qui en résulte est bien formée. Dans le cas contraire, on dira que la variable est liée
ou muette comme dans l’exemple : “Pour tout réel x, x2 > 0”.
Ainsi, dans une démonstration, il ne doit y avoir aucune variable libre. Si l’on écrit “x > 2” sans dire ce
qu’est x, on n’a aucun moyen de savoir si ce qui est écrit est vrai ou faux.
Exercice 1. Les phrases suivantes sont-elles des propositions ? Si oui, donner leur valeur de vérité.
p
1.
(3 − π)2 = 3 − π
2. −33 = −27
3. n2 = 9
4. Il existe un entier naturel n tel que n2 = 9.
5. Pour tout entier naturel n, n + 1 = 2n − 3.
2
Les quantificateurs
Exercice 2.
Considérons l’expression (x2 > 9).
1. Que dire de la variable x dans cette expression ?
2. Considérons la proposition suivante : (Pour tout réel x > 4, x2 > 9). Cette proposition est-elle vraie ?
3. Considérons la proposition suivante : (Il existe un réel x ∈]0; 1[, x2 > 9). Cette proposition est-elle vraie ?
Ainsi, une expression du type (x2 > 9) ne constitue pas une proposition tant que l’on n’a pas dit ce que désignait
la lettre x, dans quel ensemble elle se trouvait, si cette expression concernant tous les éléments d’un ensemble
ou seulement certains d’entre eux... C’est le problème de la quantification des expressions mathématiques.
2.1
Le quantificateur universel
Considérons la proposition suivante : (Pour tout x ∈ R, x2 > 0).
Cette phrase peut se dire en français : “le carré d’un nombre réel est un nombre positif”.
C’est une proposition vraie.
Elle signifie que TOUS les éléments de R ont un carré positif. La locution “Pour tout” est appelée quantificateur universel : il indique que la propriété qui le suit est vraie pour tous les éléments de l’ensemble considéré.
Notation mathématique : ∀.
On peut écrire : (∀x ∈ R, x2 > 0).
Attention ! Le quantificateur universel peut parfois se cacher, quand on énonce notamment une propriété en
français. Par exemple, quand on énonce : “un entier pair est un entier multiple de 2”, l’article indéfini souligné
“un” signifie en fait “tous les ...”. Si on note P l’ensemble des entiers pairs, cette proposition s’énonce : (pour
tout n ∈ P, n est multiple de 2).
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Cependant, le mot “un” n’a pas toujours le rôle d’article indéfini. Dans la phrase, “un singleton est un ensemble
ayant un élément”, le troisième “un” est un adjectif numéral. Il est souvent remplacé en mathématique par “un
et un seul”.
Exercice 3.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Pour tous réels a et b, (a + b)−1 = a−1 + b−1 .
2. Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
3. ∀r ∈ Q, −r ∈ Q.
4. Pour tout entier y > 10, y 2 > y.
2.2
Le quantificateur existentiel
Considérons la proposition suivante : (Il existe un réel t, t2 > 1).
Cette phrase s’énonce aussi : “il existe un réel dont le carré est strictement supérieur à 1.”
Il s’agit d’une proposition vraie.
Elle signifie que CERTAINS (et en tout cas, AU MOINS UN) éléments de l’ensemble R ont un carré strictement
supérieur à 1. La locution “il existe” est appelée quantificateur existentiel.
Notation mathématique : ∃.
On peut écrire : (∃t ∈ R, t2 > 1).
Exercice 4.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Il existe un nombre réel u tel que u2 = −2.
2. Il existe un complexe z tel que z 2 = −2.
3. Il existe un complexe a tel que a2 = 0.
4. il existe un carré qui ne soit pas un losange.
5. ∃t ∈ R, (t + 2)2 = t2 + 4
2.3
Attention aux mélanges ...
Exercice 5.
Considérons les deux propositions suivantes :
Proposition 1 : (∀x ∈ R,
Proposition 2 : (∃y ∈ R,
∃y ∈ R,
∀x ∈ R,
x > y).
x > y).
Ces propositions signifient-elle la même chose ? Etudier la vérité de chacune de ces propositions.
Exercice 6.
1. ∃x ∈ R,
2. ∃x ∈ R,
3. ∀y ∈ R,
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
∃y ∈ R, x + y = 0.
∀y ∈ R, x + y = 0.
∃x ∈ R, x + y = 0.
À partir de différentes propositions, on peut en créer de nouvelles en utilisant des connecteurs.
3
Connecteurs “et”, “ou”
3.1
Le connecteur “OU”
Considérons les propositions suivantes :
1. Proposition p : “Pierre est élève de seconde” ;
2. Proposition q : “Pierre apprend l’espagnol”.
Exercice 7. Dans quel(s) cas Pierre répondrait-il “OUI” à la question suivante : “Es-tu élève de seconde
ou apprends-tu l’espagnol ? ” ?
Définition : Soit p et q deux propositions. La proposition (p ou q) (appelée disjonction de p et q) est
vraie lorsque p est vraie ou lorsque q est vraie. On la note aussi (p ∨ q).
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Remarques
Attention ! En mathématiques, le connecteur “ou”, à la différence du français, n’est jamais exclusif. Quand dans
un menu de restaurant, il est écrit “fromage ou dessert”, cela sous-entend souvent qu’on ne peut pas prendre
un fromage puis un dessert. En mathématiques, au contraire, dire “choisir A ou B” signifie qu’on peut choisir
A, ou choisir B, ou les deux en même temps : on dit que le “ou” mathématiques est inclusif.
Exercice 8.
Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :
1. 2 + 5 = 7.
2. 2 + 4 = 7.
3. (2 + 4 = 7) ou (2 + 5 = 7).
√
4. (2, 5 ∈ N) ou ( 2 ∈ Q).
5. ∀x ∈ R, (x < 1 ou x > 1).
6. (∀x ∈ R, x < 1) ou (∀x ∈ R, x > 1)
Exercice 9.
Compléter la table de vérité du connecteur OU :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
Exercice 10. Le connecteur “OU exclusif” ∨∨ : soit p et q deux propositions. La proposition p∨∨q est vrai
lorsque l’une seulement des propositions p ou q l’est. Dresser la table de vérité de ce connecteur :
p
V
V
F
F
3.2
q
V
F
V
F
p∨∨q
Le connecteur “ET”
Définition : Soit p et q deux propositions. La proposition (p et q) (appelée conjonction de p et q) est
vraie lorsque p est vraie et lorsque q est vraie. On la note aussi (p ∧ q).
Exercice 11.
Compléter la table de vérité du connecteur OU :
p
V
V
F
F
Exercice 12.
q
V
F
V
F
p∧q
Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :
1. (2 + 4 = 7) et (2 + 5 = 7).
2. (2 = 1) et (2 > 1).
√
3. (2, 5 ∈ N) et 2 ∈ Q.
4. ∃t ∈ R, ( t ∈ Q et t2 = 2.)
5. Pour tout entier pair n, n2 est multiple de 4 et n est multiple de 3.
6. Il existe entier pair n, n2 est multiple de 4 et n est multiple de 3.
Remarques
Attention aux interférences entre le français et les mathématiques ! La phrase : “les solutions dans R de l’équation x2 = 4 sont les réels 2 et −2” est correcte, mais ici, “et” sert à formuler une énumération et non à formuler
la conjonction de deux propositions.
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4
Le connecteur “NON”
Exercice 13. Considérons les proposition suivante : “Aujourd’hui, il pleut”.
Enoncé le contraire de cette proposition.
Si cette proposition est vraie, que dire de son contraire ? Si cette proposition est fausse, que dire de son
contraire ?
Définition : Soit p une proposition. La proposition (non p) (appelée contraire de p) est vraie lorsque p
est fausse et fausse lorsque p est vraie. On la note aussi aussi ¬p.
Remarques
Ainsi, pour prouver qu’une proposition est vraie, on peut prouver que son contraire est . . . . . . . . .. C’est ce qu’on
appelle le raisonnement par l’absurde.
Exercice 14.
Compléter la table de vérité du connecteur “non” :
p
V
F
Exercice 15.
non p
Soit p une proposition. Montrer que, quel que soit la valeur de vérité de p,
1. p ou (non p) est une proposition vraie. (C’est le principe du tiers exclu.)
2. p et (non p) est une proposition fausse.
Exercice 16.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Dans tous les cas, formuler la
proposition contraire.
1. 2 6 10.
2. Tous les humains sont blonds.
3. Tous les humains sont des mammifères.
4. ∀n ∈ N, n > 10.
5. ∀x ∈ R, x2 > 0.
6. Il existe un entier n tel que n 6∈ Q.
Exercice 17. Soit p et q deux propositions. Montrer que les propositions non(p ou q) et ((non p) et (non
q)) ont toujours les mêmes valeurs de vérité. On pourra compléter la table suivante :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ou q
non (p ou q)
non p
non q
(non p) et (non q)
Remarques
On peut retenir que le passage au contraire transforme le connecteur “et” en “ou”.
4.1
Maniement de la négation et des quantificateurs
Méthode n˚1 : Pour montrer qu’une propriété universelle est fausse, il suffit d’exhiber un contre-exemple
à cette propriété.
Exercice 18.
Prouver que la proposition (Pour tout entier naturel n, 2n + 3n = 5n ) est fausse.
Si une proposition débutant par le quantificateur “Pour tout” est fausse, c’est donc que son contraire est
. . . . . . . . ..
Exercice 19. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Dans tous les cas, écrire leur négation.
1. Pour tout entier relatif n, n2 est un entier naturel.
2. Quel que soit le rectangle ABCD, ABCD est un carré.
3. Tous les éléments de l’ensemble {2; 3; 5; 7; 10} sont des entiers impairs.
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Méthode n˚2 : Pour écrire la négation d’une propriété universelle, on remplace le quantificateur universel
par le quantificateur existentiel, et la proposition qui suit la quantification par son contraire.
Méthode n˚3 : Pour montrer qu’une propriété existentielle est vraie, il suffit d’exhiber un exemple qui
valide cette proposition.
Exercice 20.
Prouver que la proposition suivante est vraie : (Il existe un entier relatif n, 3n2 − 4 = 23).
Méthode n˚4 : Pour écrire la négation d’une propriété existentielle, on remplace le quantificateur existentiel
par le quantificateur universel, et la proposition qui suit la quantification par son contraire.
Exercice 21.
Soit (un ) une suite de nombre réels. La définition de “la suite (un ) tend vers +∞” est :
∀A > 0,
∃N ∈ N,
∀n > N,
un > A
Écrire la définition de “la suite (un ) ne tend pas vers +∞.”
5
Implications
5.1
Définition
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Elle signifie que que si la proposition (il pleut) est vraie, alors la proposition (il y a des nuages) est vraie aussi.
Une telle proposition est appelée en mathématique une implication.
On peut noter :
(il pleut) ⇒ (il y a des nuages)
Un autre exemple - un professeur très autoritaire annonce fermement :
“Si un élève bavarde, alors il est puni.”
Cette proposition a le même sens que “un élève ne bavarde pas ou alors il est puni”.
Exercice 22. En revenant à la définition du connecteur ou, indiquer dans quel(s) cas la proposition “un
élève ne bavarde pas ou alors il est puni” est vraie, et dans quel(s) cas elle est fausse.
Propriété : Soit p et q deux propositions. La proposition (p ⇒ q) a toujours la même valeur de vérité que
la proposition (non p ou q).
Exercice 23.
En s’appuyant sur la définition ci-dessus, compléter la table de vérité suivante :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
non p
(non p ou q)
p⇒q
Remarques
1. Il peut paraître étonnant que si p est fausse, alors, quelle que soit la valeur de vérité de q, la proposition
(p ⇒ q) est vraie. C’est un choix fait par les mathématiciens, et qui se comprend : le FAUX ne se
produisant par définition jamais (sauf dans quelques copies), il peut bien impliquer tout et son contraire...
2. Attention ! Prouver que l’implication (p ⇒ q) est vraie ne prouve pas que q est vraie. Considérons
l’implication suivante : “Si Blanche-Neige est reine du Royaume-Uni, alors Blanche-Neige est aussi reine
d’Australie”. Cette implication est vraie ; prouve-t-elle pour autant que Blanche-Neige est reine d’Australie ?
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3. ⇒ n’a pas le même sens que la conjonction “donc”.
L’usage de l’implication sert pour nous à énoncer des propriétés. Par exemple, citons le très célèbre : “Soit
A, B et C trois points du plan. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2 . ”
Lorsque l’on utilise cette proposition, on procède ainsi :
(a) Je sais que ABC est un triangle rectangle en A.
(b) Or, si le triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2 .
(c) J’en déduis que AB 2 + AC 2 = BC 2 .
Mais on rédige plus légèrement : “Je sais que ABC est un triangle rectangle en A, donc (comprendre :
“d’après le théorème de Pythagore”) AB 2 + AC 2 = BC 2 .”
Méthode : Prouver que l’implication (p ⇒ q) est vraie, on suppose que p est vraie, et par un raisonnement
bien construit, on en déduit que q est vraie.
Exercice 24.
Prouver que les implications suivantes sont vraies.
1. Soit x ∈ R. Si x > 2, alors x2 > 1.
2. Soit n ∈ N. Si n est multiple de 3, alors n2 est divisible par 9.
√
3. Soit EF G un triangle. Si EF = 2, EG = 3 et F G = 13, alors EF G est rectangle.
5.2
Négation d’une implication
Exercice 25.
de (p ⇒ q)
Rappelons-nous que (p ⇒ q) signifie en fait (non p ou q). À partir de là, donner la négation
Méthode : Prouver que l’implication (p ⇒ q) est fausse, on peut prouver que l’on peut simultanément
avoir p vraie et q fausse.
Exercice 26.
Prouver que les implications suivantes sont fausses.
1. Soit x ∈ R. Si x > 0 alors x > 1.
→
→
→
→
→
→
2. Soit −
u et −
v deux vecteurs. Si ||−
u || = ||−
v ||, alors −
u =−
v .
Exercice 27. Rappeler la définition de “la fonction f est croissante sur l’intervalle I”.
Définir ensuite : “la fonction f n’est pas croissante sur l’intervalle I”.
5.3
Contraposée et réciproque
Considérons les proposition suivante :
(1) : “S’il n’y a pas de nuages, alors il ne pleut pas.”
(2) : “S’il y a des nuages, alors il pleut.”
(1) est la contraposée de l’implication : “S’il pleut, alors il y a des nuages”. (2) est la réciproque de cette même
proposition.
Définition : Soient p et q deux propositions.
• La contraposée de l’implication (p ⇒ q) est l’implication (non q ⇒ non p).
• La réciproque de l’implication (p ⇒ q) est (q ⇒ p).
Propriétés : Soient p et q deux propositions.
• Si l’implication (p ⇒ q) est vraie, alors la contraposée (non q ⇒ non q) est vraie aussi.
• Attention ! La réciproque de l’implication (p ⇒ q) peut ne pas être vraie, même si (p ⇒ q) l’est.
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Exercice 28.
Donner la contraposée des implications suivantes :
1. Pour tout entier n, si n est multiple de 4, alors n est pair.
2. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2 .
3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors M B = M C.
Exercice 29.
Les implications suivantes sont-elles vraies ? Que dire de leur réciproque ?
1. Soient x et y deux réels. Si xy = 0, alors x = 0 ou y = 0.
2. Soit a un réel. Si a = 1, alors a2 = 1.
3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors M B = M C.
Méthode : Pour montrer qu’une implication est vraie, on peut montrer que sa contraposée l’est.
Exercice 30.
5.4
Montrer que si un entier n’est pas multiple de 3, alors il n’est pas multiple de 12.
Falloir et suffire
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Exercice 31.
geux ?
Peut-il pleuvoir s’il n’y a pas de nuages ? Pleut-il nécessairement lorsque le temps est nua-
On peut dire de façon équivalente : “Pour qu’il pleuve, il faut qu’il y ait des nuages.”
La condition “il y a des nuages” est nécessaire pour qu’il pleuve.
On peut aussi dire : “Pour qu’il y ait des nuages, il suffit qu’il pleuve.”
La condition “il pleut” est suffisante pour qu’il y ait des nuages.
Exercice 32.
Compléter avec “faut” ou “suffit”.
1. Pour qu’un entier soit pair, il . . . . . . . . . . . . que cet entier soit un multiple de 6.
2. Pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme, il . . . . . . . . . . . . qu’il ait deux côtés de même longueur.
3. Pour qu’un quadrilatère soit un carré, il . . . . . . . . . . . . qu’il soit un losange.
4. Soit n un entier naturel. Pour que n < 10, il . . . . . . . . . . . . que n < 13.
5. Soit a, b et c trois réels tels que a < c. Pour que b < c, il . . . . . . . . . . . . que b 6 a.
6. Pour qu’un être humain soit européen, il . . . . . . . . . . . . qu’il soit néerlandais.
7. Pour qu’un animal soit un mammifère, il . . . . . . . . . . . . qu’il ait une colonne vertébrale.
6
Equivalences
Définition : Deux propositions p et q sont équivalentes lorsqu’elles sont soit toutes les deux vraies en
même temps soit toutes les deux fausses en même temps. On écrit alors (p ⇐⇒ q).
Exemples : Pour tout réel x, la proposition (x2 = 1) équivaut à (x = 1 ou x = −1).
La proposition (2 6∈ N) est équivalente à (−1 6∈ Z).
Remarque : lorsque l’équivalence (p ⇐⇒ q) est vraie, on peut aussi dire : “pour que p, il faut et il suffit que
q” ou bien “p si et seulement si q”.
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Exercice 33. Compléter les phrases suivantes :
1. Pour tous réels x et y, xy = 0 si, et seulement si, . . . . . . . . . . . . . . ..
2. Pour tous réels x et y, xy 6= 0 si, et seulement si, . . . . . . . . . . . . . . ..
Attention ! la locution "si et seulement si” sert à formuler des propriétés et ne figure que très rarement dans
une démonstration.
Prouver que l’équivalence (p ⇐⇒ q) est vraie ne prouve en rien que q est vraie. Si on vous demande de prouver
qu’un triangle EF G est rectangle en G et que vous écrivez : “EF G est rectangle en G ssi GF 2 + GE 2 = EF 2 ”,
vous ne répondez pas à la question posée. Vous ne faites que réciter, en une seule phrase, le théorème de
Pythagore et sa réciproque.
De même si l’on vous demande de prouver : “Pour tout réel x, f (x) > 1 + x”, où f (x) = x2 + x + 1 et que vous
écrivez :
∀x ∈ R, f (x) > 1 + x ⇐⇒ f (x) − (1 + x) > 0 ⇐⇒ x2 > 0
vous écrivez (dans le meilleur des cas) un raisonnement correct mais vous êtes hors sujet...
Exercice 34.
Considérer par exemple la propriété :
−
→ −
→
Soit d et d′ deux droites dirigées respectivement par les vecteurs U et V .
−
→
−
→
d//d′ ⇐⇒ U et V sont colinéaires
Et rédiger maintenant les deux exercices suivants :
−
→ −
→
1. Dans un repère (O; i , j ), considérons les points A(2; 3), B(4; 7) et d une droite dirigée par par le vecteur
−
→
U (1; 2). Prouver que (AB) et d sont parallèles.
−
→ −
→
2. Dans un repère (O; i , j ), considérons les points E(0; 3) et F (3; 0). ∆ est une droite dirigée par le vecteur
−
→
V (1; 1). ∆ et (EF ) sont-elles parallèles ?
Méthode : Pour prouver que l’équivalence (p ⇐⇒ q) est vraie, on peut prouver que les implications
(p ⇒ q) et (q ⇒ p) sont vraies.
Pour prouver qu’une équivalence est fausse, il suffit de prouver que l’une des deux implications qui la constitue
est fausse.
Exercice 35.
1. Soit a, b 2 réels. Prouver que : a2 + b2 6 1 ⇐⇒ (|a| 6 1 et |b| 6 1)
2. Soit A, B et G trois points du plan. Prouver que :
−−→
−−→ −
−−→ 2 −−→
→
GA + 2GB = 0 ⇐⇒ AG = AB
3
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