Quelques notions de logique

Notions de logique
1 Proposition
Définition préliminaire : En mathématiques, on appelle proposition toute phrase correctement
construite, dont on peut dire sans ambiguïté si elle est VRAIE ou FAUSSE.
Exemples :
1. “3 + 2 = 5” est une proposition vraie ; “1 = 0” est une proposition fausse.
2. “3) + 1 =” n’est pas une proposition et cette expression n’a d’ailleurs aucun sens.
Remarque :
1. On appelle expression bien formée (en abrégé ebf ) toute phrase correctement construite.
2. L’expression “x > 3” contient une lettre (x) appelée variable. Cette expression n’est pas une proposition
tant qu’on n’a pas dit ce que représentait x: elle sous-entend seulement, pour qu’il y ait quelque chance
que cette expression ait un sens, que x∈R.
Dans cet exemple, la variable réelle xest libre : cela signifie que si on lui donne une valeur réelle quel-
conque, l’expression qui en résulte est bien formée. Dans le cas contraire, on dira que la variable est liée
ou muette comme dans l’exemple : “Pour tout réel x,x2>0”.
Ainsi, dans une démonstration, il ne doit y avoir aucune variable libre. Si l’on écrit “x > 2” sans dire ce
qu’est x, on n’a aucun moyen de savoir si ce qui est écrit est vrai ou faux.
Exercice 1. Les phrases suivantes sont-elles des propositions ? Si oui, donner leur valeur de vérité.
1. p(3 −π)2= 3 −π
2. −33=−27
3. n2= 9
4. Il existe un entier naturel ntel que n2= 9.
5. Pour tout entier naturel n,n+ 1 = 2n−3.
2 Les quantificateurs
Exercice 2. Considérons l’expression (x2>9).
1. Que dire de la variable xdans cette expression ?
2. Considérons la proposition suivante : (Pour tout réel x > 4,x2>9). Cette proposition est-elle vraie ?
3. Considérons la proposition suivante : (Il existe un réel x∈]0; 1[,x2>9). Cette proposition est-elle vraie ?
Ainsi, une expression du type (x2>9) ne constitue pas une proposition tant que l’on n’a pas dit ce que désignait
la lettre x, dans quel ensemble elle se trouvait, si cette expression concernant tous les éléments d’un ensemble
ou seulement certains d’entre eux... C’est le problème de la quantification des expressions mathématiques.
2.1 Le quantificateur universel
Considérons la proposition suivante : (Pour tout x∈R,x2>0).
Cette phrase peut se dire en français : “le carré d’un nombre réel est un nombre positif”.
C’est une proposition vraie.
Elle signifie que TOUS les éléments de Ront un carré positif. La locution “Pour tout” est appelée quantifi-
cateur universel : il indique que la propriété qui le suit est vraie pour tous les éléments de l’ensemble considéré.
Notation mathématique : ∀.
On peut écrire : (∀x∈R, x2>0).
Attention ! Le quantificateur universel peut parfois se cacher, quand on énonce notamment une propriété en
français. Par exemple, quand on énonce : “un entier pair est un entier multiple de 2”, l’article indéfini souligné
“un” signifie en fait “tous les ...”. Si on note Pl’ensemble des entiers pairs, cette proposition s’énonce : (pour
tout n∈ P,nest multiple de 2).
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Cependant, le mot “un” n’a pas toujours le rôle d’article indéfini. Dans la phrase, “un singleton est un ensemble
ayant un élément”, le troisième “un” est un adjectif numéral. Il est souvent remplacé en mathématique par “un
et un seul”.
Exercice 3. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Pour tous réels aet b,(a+b)−1=a−1+b−1.
2. Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
3. ∀r∈Q,−r∈Q.
4. Pour tout entier y > 10,y2> y.
2.2 Le quantificateur existentiel
Considérons la proposition suivante : (Il existe un réel t,t2>1).
Cette phrase s’énonce aussi : “il existe un réel dont le carré est strictement supérieur à 1.”
Il s’agit d’une proposition vraie.
Elle signifie que CERTAINS (et en tout cas, AU MOINS UN) éléments de l’ensemble Ront un carré strictement
supérieur à 1. La locution “il existe” est appelée quantificateur existentiel.
Notation mathématique : ∃.
On peut écrire : (∃t∈R, t2>1).
Exercice 4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Il existe un nombre réel utel que u2=−2.
2. Il existe un complexe ztel que z2=−2.
3. Il existe un complexe atel que a2= 0.
4. il existe un carré qui ne soit pas un losange.
5. ∃t∈R,(t+ 2)2=t2+ 4
2.3 Attention aux mélanges ...
Exercice 5. Considérons les deux propositions suivantes :
Proposition 1 :(∀x∈R,∃y∈R, x > y).
Proposition 2 :(∃y∈R,∀x∈R, x > y).
Ces propositions signifient-elle la même chose ? Etudier la vérité de chacune de ces propositions.
Exercice 6. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. ∃x∈R,∃y∈R,x+y= 0.
2. ∃x∈R,∀y∈R,x+y= 0.
3. ∀y∈R,∃x∈R,x+y= 0.
À partir de différentes propositions, on peut en créer de nouvelles en utilisant des connecteurs.
3 Connecteurs “et”, “ou”
3.1 Le connecteur “OU”
Considérons les propositions suivantes :
1. Proposition p:“Pierre est élève de seconde” ;
2. Proposition q:“Pierre apprend l’espagnol”.
Exercice 7. Dans quel(s) cas Pierre répondrait-il “OUI” à la question suivante : “Es-tu élève de seconde
ou apprends-tu l’espagnol ? ” ?
Définition : Soit pet qdeux propositions. La proposition (pou q)(appelée disjonction de pet q) est
vraie lorsque pest vraie ou lorsque qest vraie. On la note aussi (p∨q).
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Remarques
Attention ! En mathématiques, le connecteur “ou”, à la différence du français, n’est jamais exclusif. Quand dans
un menu de restaurant, il est écrit “fromage ou dessert”, cela sous-entend souvent qu’on ne peut pas prendre
un fromage puis un dessert. En mathématiques, au contraire, dire “choisir A ou B” signifie qu’on peut choisir
A, ou choisir B, ou les deux en même temps : on dit que le “ou” mathématiques est inclusif.
Exercice 8. Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :
1. 2 + 5 = 7.
2. 2 + 4 = 7.
3. (2 + 4 = 7) ou (2 + 5 = 7).
4. (2,5∈N)ou (√2∈Q).
5. ∀x∈R,(x < 1ou x>1).
6. (∀x∈R, x < 1) ou (∀x∈R, x >1)
Exercice 9. Compléter la table de vérité du connecteur OU :
p q p ∨q
V V
V F
F V
F F
Exercice 10. Le connecteur “OU exclusif” ∨∨ : soit pet qdeux propositions. La proposition p∨∨qest vrai
lorsque l’une seulement des propositions pou ql’est. Dresser la table de vérité de ce connecteur :
p q p∨∨q
V V
V F
F V
F F
3.2 Le connecteur “ET”
Définition : Soit pet qdeux propositions. La proposition (pet q)(appelée conjonction de pet q) est
vraie lorsque pest vraie et lorsque qest vraie. On la note aussi (p∧q).
Exercice 11. Compléter la table de vérité du connecteur OU :
p q p ∧q
V V
V F
F V
F F
Exercice 12. Donner la valeur de vérité des propositions suivantes :
1. (2 + 4 = 7) et (2 + 5 = 7).
2. (2 = 1) et (2 >1).
3. (2,5∈N)et √2∈Q.
4. ∃t∈R, ( t∈Qet t2= 2.)
5. Pour tout entier pair n,n2est multiple de 4et nest multiple de 3.
6. Il existe entier pair n,n2est multiple de 4et nest multiple de 3.
Remarques
Attention aux interférences entre le français et les mathématiques ! La phrase : “les solutions dans Rde l’équa-
tion x2= 4 sont les réels 2et −2” est correcte, mais ici, “et” sert à formuler une énumération et non à formuler
la conjonction de deux propositions.
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4 Le connecteur “NON”
Exercice 13. Considérons les proposition suivante : “Aujourd’hui, il pleut”.
Enoncé le contraire de cette proposition.
Si cette proposition est vraie, que dire de son contraire ? Si cette proposition est fausse, que dire de son
contraire ?
Définition : Soit pune proposition. La proposition (non p)(appelée contraire de p) est vraie lorsque p
est fausse et fausse lorsque pest vraie. On la note aussi aussi ¬p.
Remarques
Ainsi, pour prouver qu’une proposition est vraie, on peut prouver que son contraire est .......... C’est ce qu’on
appelle le raisonnement par l’absurde.
Exercice 14. Compléter la table de vérité du connecteur “non” :
pnon p
V
F
Exercice 15. Soit pune proposition. Montrer que, quel que soit la valeur de vérité de p,
1. pou (non p) est une proposition vraie. (C’est le principe du tiers exclu.)
2. pet (non p) est une proposition fausse.
Exercice 16. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Dans tous les cas, formuler la
proposition contraire.
1. 2610.
2. Tous les humains sont blonds.
3. Tous les humains sont des mammifères.
4. ∀n∈N,n > 10.
5. ∀x∈R,x2>0.
6. Il existe un entier ntel que n6∈ Q.
Exercice 17. Soit pet qdeux propositions. Montrer que les propositions non(pou q) et ((non p) et (non
q)) ont toujours les mêmes valeurs de vérité. On pourra compléter la table suivante :
p q p ou qnon (pou q) non pnon q(non p) et (non q)
V V
V F
F V
F F
Remarques
On peut retenir que le passage au contraire transforme le connecteur “et” en “ou”.
4.1 Maniement de la négation et des quantificateurs
Méthode n˚1 : Pour montrer qu’une propriété universelle est fausse, il suffit d’exhiber un contre-exemple
à cette propriété.
Exercice 18. Prouver que la proposition (Pour tout entier naturel n,2n+ 3n= 5n) est fausse.
Si une proposition débutant par le quantificateur “Pour tout” est fausse, c’est donc que son contraire est
..........
Exercice 19. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Dans tous les cas, écrire leur négation.
1. Pour tout entier relatif n,n2est un entier naturel.
2. Quel que soit le rectangle ABCD,ABCD est un carré.
3. Tous les éléments de l’ensemble {2; 3; 5; 7; 10}sont des entiers impairs.
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Méthode n˚2 : Pour écrire la négation d’une propriété universelle, on remplace le quantificateur universel
par le quantificateur existentiel, et la proposition qui suit la quantification par son contraire.
Méthode n˚3 : Pour montrer qu’une propriété existentielle est vraie, il suffit d’exhiber un exemple qui
valide cette proposition.
Exercice 20. Prouver que la proposition suivante est vraie : (Il existe un entier relatif n,3n2−4 = 23).
Méthode n˚4 : Pour écrire la négation d’une propriété existentielle, on remplace le quantificateur existentiel
par le quantificateur universel, et la proposition qui suit la quantification par son contraire.
Exercice 21. Soit (un)une suite de nombre réels. La définition de “la suite (un)tend vers +∞” est :
∀A > 0,∃N∈N,∀n>N, un> A
Écrire la définition de “la suite (un)ne tend pas vers +∞.”
5 Implications
5.1 Définition
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Elle signifie que que si la proposition (il pleut) est vraie, alors la proposition (il y a des nuages) est vraie aussi.
Une telle proposition est appelée en mathématique une implication.
On peut noter :
(il pleut) ⇒(il y a des nuages)
Un autre exemple - un professeur très autoritaire annonce fermement :
“Si un élève bavarde, alors il est puni.”
Cette proposition a le même sens que “un élève ne bavarde pas ou alors il est puni”.
Exercice 22. En revenant à la définition du connecteur ou, indiquer dans quel(s) cas la proposition “un
élève ne bavarde pas ou alors il est puni” est vraie, et dans quel(s) cas elle est fausse.
Propriété : Soit pet qdeux propositions. La proposition (p⇒q)a toujours la même valeur de vérité que
la proposition (non pou q).
Exercice 23. En s’appuyant sur la définition ci-dessus, compléter la table de vérité suivante :
p q non p(non pou q)p⇒q
V V
V F
F V
F F
Remarques
1. Il peut paraître étonnant que si pest fausse, alors, quelle que soit la valeur de vérité de q, la proposition
(p⇒q)est vraie. C’est un choix fait par les mathématiciens, et qui se comprend : le FAUX ne se
produisant par définition jamais (sauf dans quelques copies), il peut bien impliquer tout et son contraire...
2. Attention ! Prouver que l’implication (p⇒q)est vraie ne prouve pas que qest vraie. Considérons
l’implication suivante : “Si Blanche-Neige est reine du Royaume-Uni, alors Blanche-Neige est aussi reine
d’Australie”. Cette implication est vraie ; prouve-t-elle pour autant que Blanche-Neige est reine d’Aus-
tralie ?
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