1 Raisonnement par négation 2 Raisonnement

Méthodes et raisonnements pour la classe de première S
1 Raisonnement par négation
Commençons par rappeler que la négation d’une propriété Pest la propriété qui est fausse lorsque Pest vraie et
qui est vraie lorque Pest fausse.
Il est parfois plus aisé, lorsque l’on souhaite prouver qu’une propriété est vraie (respectivement fausse), de prouver
que sa négation est fausse (respectivement vraie).
À noter que, pour démontrer qu’une propriété est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire un
exemple qui la mette en défaut.
Exercice 1 Seconde/Logique/exo-006/texte
Déterminer, pour chacune des affirmations suivantes,
si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la
réponse donnée.
1. Si x2>4, alors x>2.
2. Pour tous réels xet y,(x+y)3=x3+y3.
3. Pour tous réels positifs aet b,√a+√b=√a+b.
4. Pour tout réel p, le réel (−10p)est négatif.
5. Il n’existe pas d’équation qui admette exactement
cinq solutions réelles distinctes.
6. Si aet bsont deux entiers naturels alors,
(a+b)2−(a−b)2
4est un entier naturel.
7. Pour tout réel u,u26= 4u.
8. Il existe un entier multiple de 4et multiple de 6
mais qui n’est pas multiple de 24.
Exercice 2 Seconde/Logique/exo-018/texte
Déterminer, pour chacune des affirmations suivantes,
si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la
réponse donnée.
1. Il existe un réel atel que a2= 3 ×a.
2. Pour tous réels strictement positifs bet c:
1
b+1 c=2 b+c
3. Il existe un nombre réel dtel que d2<0.
4. Pour tout réel e,(e+ 2)2>e2+ 4e.
5. La négation de « Aucun élève de la classe n’a ob-
tenu la moyenne lors du devoir. » est « Tous les
élèves de la classe ont obtenu la moyenne lors du
devoir. »
6. La négation de « Le réel kest inférieur ou égal à
1. » est « Le réel kest supérieur ou égal à 1. ».
Exercice 3 Seconde/Logique/exo-020/texte
Pour chacune des affirmations suivantes, déterminer si
elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
1. La somme de trois entiers consécutifs est toujours
un multiple de 3.
2. Soit deux nombres ayant pour somme 300. Si l’on
augmente chacun d’eux de 7alors le produit aug-
mente de 2149.
3. Dans l’expression n2−14n+ 49, si l’on remplace
npar n’importe quel nombre entier naturel, on ob-
tient toujours un nombre différent de zéro.
4. La somme de deux nombres impairs consécutifs est
toujours multiple de 4.
5. Dans l’expression n2−n+11, si l’on remplace npar
n’importe quel nombre entier naturel, on obtient
toujours un nombre qui n’a que deux diviseurs, 1
et lui-même.
2 Raisonnement par contraposition
On appelle contraposée de l’implication « Si Aalors B. » l’implication « Si (non B) alors (non A). ».
Une implication et sa contraposée sont soit toutes les deux vraies soit toutes les deux fausses.
Il est parfois plus aisé, lorsque l’on souhaite prouver que A=⇒B, de prouver que (nonB)=⇒(non A).
Exercice 4 Seconde/Logique/exo-024/texte
1. Un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7 cm
et BC = 8 cm est-il rectangle ? Justifier.
2. ndésignant un entier, démontrer que si (n2+n)est
strictement négatif alors nest strictement négatif.
3. ndésignant un entier, prouver que si (n2−1) n’est
pas divisible par 8alors nest pair.
4. Soit met pdeux entiers naturels non nuls. Justifier
que : mp = 1 =⇒m=p= 1
Exercice 5 Seconde/Logique/exo-023/texte
1. Prouver que : ∀n∈Nnimpair =⇒n2impair
2. Prouver que : ∀n∈Nn2impair =⇒nimpair
3. Traduire les deux propositions démontrées précé-
demment en une seule phrase.

Méthodes et raisonnements pour la classe de première S
3 Raisonnement par disjonction de cas
Exercice 6 Seconde/Logique/exo-022/texte
1. Vérifier que, pour tout entier naturel n, l’entier
n(n+ 1)(2n+ 1) est un multiple de 3.
2. Démontrer que, si uest un rationnel qui peut
s’écrire sous la forme d’une fraction dont le déno-
minateur est de la forme 2p×5q, où pet qsont des
entiers naturels, alors uest un décimal.
3. Résoudre l’inéquation √x−1>x−3.
4. nétant la somme de deux carrés d’entiers, prouver
que le reste de la division de npar 4n’est jamais
égal à 3.
5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal
(O;#»
ı , #» ), rechercher l’ensemble des points Mde
coordonnées (x;y)vérifiant √x2+py2= 4.
6. Soit kun réel et fune fonction monotone sur un
intervalle I. Que peut-on dire des variations de la
fonction (k×f)sur I?
✎(k×f)est définie par (k×f)(x) = k×f(x).
7. Soit Met Pdeux points et dune droite du plan.
Déterminer le nombre de points S, situés sur la
droite d, tels que le triangle MP S soit isocèle en M.
4 Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer par l’absurde que « Aimplique B», on conserve l’hypothèse Aet on ajoute, comme hypothèse
supplémentaire, la négation de la conclusion, c’est-à-dire (non B), puis on élabore un raisonnement qui aboutit à
une contradiction.
Il en résulte alors que, lorsque Aest vraie, (non B) est fausse donc Best vraie.
Exercice 7 Seconde/Calcul-algébrique/exo-071/texte
1. Développer, réduire et ordonner (2k+ 1)2.
Que peut-on en déduire au sujet de la parité du
carré d’un entier impair ?
2. Montrer qu’il n’existe pas de triangle rectangle dont
les longueurs des côtés sont trois entiers impairs
consécutifs.
3. Existe-t-il un triangle rectangle dont les longueurs
des côtés sont trois entiers pairs consécutifs ?
Exercice 8 Seconde/Logique/exo-025/texte
1. Soit aet bdeux réels strictement positifs. Prouver
que si a
1 + b=b 1 + aalors a=b.
2. Soit nun entier naturel non nul. Démontrer que
√n2+ 1 n’est pas un entier.
Exercice 9 Seconde/Calcul-algébrique/exo-090/texte
Est-il possible de trouver deux réels aet btels que,
pour tout réel x,x2−3x+ 4 = (x+ 1)(ax +b)?
Exercice 10 Seconde/Logique/exo-021/texte
Trois frères Alfred, Bernard et Claude ont des crayons
de couleur différente bleu, rouge et vert. De plus, les
assertions suivantes sont vraies :
•Si le crayon d’Alfred est vert, alors le crayon de Ber-
nard est bleu ;
•si le crayon d’Alfred est bleu, alors le crayon de Ber-
nard est rouge ;
•si le crayon de Bernard n’est pas vert, alors le crayon
de Claude est bleu ;
•si le crayon de Claude est rouge, alors le crayon d’Al-
fred est bleu.
Que peut-on conclure sur la couleur respective des
crayons d’Alfred, Bernard et Claude ? Y a-t-il plusieurs
possibilités ?
Problème Seconde/Logique/exo-003/texte
Le but de l’exercice est de prouver par deux méthodes
différentes que le nombre √2est irrationnel.
1. Première méthode :
Supposons que √2soit rationnel et s’écrive sous
forme irréductible a
boù aet bsont des entiers na-
turels non nuls.
a) Établir que dans ce cas a2= 2b2.
b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Nombre Chiffre des unités
a0 1 2 . . . 7 8 9
a2
b0 1 2 . . . 7 8 9
2b2
c) Déduire des questions précédentes les chiffres
des unités respectifs de aet b.
d) Expliquer en quoi ce dernier résultat est en
contradiction avec l’hypothèse de départ puis
conclure.
2. Seconde méthode :
a) Montrer que si pest un entier impair alors p2
l’est aussi.
b) Supposons que √2soit rationnel et s’écrive sous
forme irréductible p
qoù pet qsont deux entiers
naturels non nuls.
Montrer que pest pair.
c) Établir que qest pair également puis conclure.