Implications et équivalences

Logique
“IMPLICATIONS et EQUIVALENCES”
1
Implications
1.1
Définition
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Elle signifie que que si la proposition (il pleut) est vraie, alors la proposition (il y a des nuages) est
vraie aussi.
Une telle proposition est appelée en mathématique une implication.
On peut noter :
(il pleut) ⇒ (il y a des nuages)
Un autre exemple - un professeur très autoritaire annonce fermement :
“Si un élève bavarde, alors il est puni.”
Cette proposition a le même sens que “un élève ne bavarde pas ou alors il est puni”.
Exercice 1. En revenant à la définition du connecteur ou, indiquer dans quel(s) cas la proposition
“un élève ne bavarde pas ou alors il est puni” est vraie, et dans quel(s) cas elle est fausse.
Propriété : Soit p et q deux propositions. La proposition (p ⇒ q) a toujours la même valeur de
vérité que la proposition (non p ou q).
Exercice 2.
En s’appuyant sur la définition ci-dessus, compléter la table de vérité suivante :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
non p
(non p ou q)
p⇒q
Remarques
1. Il peut paraître étonnant que si p est fausse, alors, quelle que soit la valeur de vérité de q, la
proposition (p ⇒ q) est vraie. C’est un choix fait par les mathématiciens, et qui se comprend : le
FAUX ne se produisant par définition jamais (sauf dans quelques copies), il peut bien impliquer
tout et son contraire...
2. Attention ! Prouver que l’implication (p ⇒ q) est vraie ne prouve pas que q est vraie. Considérons l’implication suivante : “Si Blanche-Neige est reine du Royaume-Uni, alors Blanche-Neige est
aussi reine d’Australie”. Cette implication est vraie ; prouve-t-elle pour autant que Blanche-Neige
est reine d’Australie ?
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3. ⇒ n’a pas le même sens que la conjonction “donc”.
L’usage de l’implication sert pour nous à énoncer des propriétés. Par exemple, citons le très
célèbre : “Soit A, B et C trois points du plan. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors
AB 2 + AC 2 = BC 2 . ”
Lorsque l’on utilise cette proposition, on procède ainsi :
(a) Je sais que ABC est un triangle rectangle en A.
(b) Or, si le triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2 .
(c) J’en déduis que AB 2 + AC 2 = BC 2 .
Mais on rédige plus légèrement : “Je sais que ABC est un triangle rectangle en A, donc (comprendre : “d’après le théorème de Pythagore”) AB 2 + AC 2 = BC 2 .”
Méthode : Prouver que l’implication (p ⇒ q) est vraie, on suppose que p est vraie, et par un
raisonnement bien construit, on en déduit que q est vraie.
Exercice 3.
Prouver que les implications suivantes sont vraies.
1. Soit x ∈ R. Si x > 2, alors x2 > 1.
2. Soit n ∈ N. Si n est multiple de 3, alors n2 est divisible par 9.
√
3. Soit EF G un triangle. Si EF = 2, EG = 3 et F G = 13, alors EF G est rectangle.
1.2
Négation d’une implication
Exercice 4. Rappelons-nous que (p ⇒ q) signifie en fait (non p ou q). À partir de là, donner la
négation de (p ⇒ q)
Méthode : Prouver que l’implication (p ⇒ q) est fausse, on peut prouver que p est vraie et sans
que q ne le soit.
Exercice 5.
Prouver que les implications suivantes sont fausses.
1. Soit x ∈ R. Si x > 0 alors x > 1.
→
→
→
→
→
→
2. Soit −
u et −
v deux vecteurs. Si ||−
u || = ||−
v ||, alors −
u =−
v .
Exercice 6. Rappeler la définition de “la fonction f est croissante sur l’intervalle I”.
Définir ensuite : “la fonction f n’est pas croissante sur l’intervalle I”.
1.3
Contraposée et réciproque
Considérons les proposition suivante :
(1) : “S’il n’y a pas de nuages, alors il ne pleut pas.”
(2) : “S’il y a des nuages, alors il pleut.”
(1) est la contraposée de l’implication : “S’il pleut, alors il y a des nuages”. (2) est la réciproque de
cette même proposition.
Définition : Soient p et q deux propositions.
• La contraposée de l’implication (p ⇒ q) est l’implication (non q ⇒ non q).
• La réciproque de l’implication (p ⇒ q) est (q ⇒ p).
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Propriétés : Soient p et q deux propositions.
• Si l’implication (p ⇒ q) est vraie, alors la contraposée (non q ⇒ non q) est vraie aussi.
• Attention ! La réciproque de l’implication (p ⇒ q) peut ne pas être vraie, même si (p ⇒ q) l’est.
Exercice 7.
Donner la contraposée des implications suivantes :
1. Pour tout entier n, si n est multiple de 4, alors n est pair.
2. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors AB 2 + AC 2 = BC 2 .
3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors M B = M C.
Exercice 8.
Les implications suivantes sont-elles vraies ? Que dire de leur réciproque ?
1. Soient x et y deux réels. Si xy = 0, alors x = 0 ou y = 0.
2. Soit a un réel. Si a = 1, alors a2 = 1.
3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors M B = M C.
Méthode : Pour montrer qu’une implication est vraie, on peut montrer que sa contraposée l’est.
Exercice 9.
1.4
Montrer que si un entier n’est pas multiple de 3, alors il n’est pas multiple de 12.
Falloir et suffire
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Exercice 10.
est nuageux ?
Peut-il pleuvoir s’il n’y a pas de nuages ? Pleut-il nécessairement lorsque le temps
On peut dire de façon équivalente : “Pour qu’il pleuve, il faut qu’il y ait des nuages.”
La condition “il y a des nuages” est nécessaire pour qu’il pleuve.
On peut aussi dire : “Pour qu’il y ait des nuages, il suffit qu’il pleuve.”
La condition “il pleut” est suffisante pour qu’il y ait des nuages.
Exercice 11.
Compléter avec “faut” ou “suffit”.
1. Pour qu’un entier soit pair, il . . . . . . . . . . . . que cet entier soit un multiple de 6.
2. Pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme, il . . . . . . . . . . . . qu’il ait deux côtés de même
longueur.
3. Pour qu’un quadrilatère soit un carré, il . . . . . . . . . . . . qu’il soit un losange.
4. Soit n un entier naturel. Pour que n < 10, il . . . . . . . . . . . . que n < 13.
5. Soit a, b et c trois réels tels que a < c. Pour que b < c, il . . . . . . . . . . . . que b 6 a.
6. Pour qu’un être humain soit européen, il . . . . . . . . . . . . qu’il soit néerlandais.
7. Pour qu’un animal soit un mammifère, il . . . . . . . . . . . . qu’il ait une colonne vertébrale.
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Equivalences
Définition : Deux propositions p et q sont équivalentes lorsqu’elles sont soit toutes les deux
vraies en même temps soit toutes les deux fausses en même temps. On écrit alors (p ⇐⇒ q).
Exemples : Pour tout réel x, la propositions (x2 = 1) équivaut à (x = 1 ou x = −1).
La proposition (2 6∈ N) est équivalente à (−1 6∈ Z).
Remarque : lorsque l’équivalence (p ⇐⇒ q) est vraie, on peut aussi dire : “pour que p, il faut et il
suffit que q” ou bien “p si et seulement si q”.
Attentions ! Prouver que l’équivalence (p ⇐⇒ q) est vraie ne prouve en rien que q est vraie. Si
on vous demande de prouver qu’un triangle EF G est rectangle en G et que vous écrivez : “EF G est
rectangle en G ssi GF 2 + GE 2 = EF 2 ”, vous ne répondez pas à la question posée. Vous ne faites que
réciter, en une seule phrase, le théorème de Pythagore et sa réciproque.
Exercice 12. Attention ! la locution "si et seulement si” sert à formuler des propriétés et ne
figure que très rarement dans une démonstration.
Considérons par exemple la propriété :
−
→ −
→
Soit d et d′ deux droites dirigées respectivement par les vecteurs U et V .
−
→ −
→
d//d′ ⇐⇒ U et V sont colinéaires
Et voyons maintenant les deux exercices suivants :
−
→ −
→
1. Dans un repère (O; i , j ), considérons les points A(2; 3), B(4; 7) et d une droite dirigée par par
−
→
le vecteur U (1; 2). Prouver que (AB) et d sont parallèles.
−
→ −
→
2. Dans un repère (O; i , j ), considérons les points E(0; 3) et F (3; 0). ∆ est une droite dirigée par
−
→
le vecteur V (1; 1). ∆ et (EF ) sont-elles parallèles ?
Méthode : Pour prouver que l’équivalence (p ⇐⇒ q) est vraie, on peut prouver que les implications (p ⇒ q) et (q ⇒ p) sont vraies.
Pour prouver qu’une équivalence est fausse, il suffit de prouver que l’une des deux implications qui
la constitue est fausse.
Exercice 13.
1. Soit a, b 2 réels. Prouver que : (a + b)2 = a2 + b2 ⇐⇒ (a = 0 ou b = 0)
2. Soit A, B et G trois points du plan. Prouver que :
−−→
−−→ −
−−→ 2 −−→
→
GA + 2GB = 0 ⇐⇒ AG = AB
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