Implications et équivalences

Logique
“IMPLICATIONS et EQUIVALENCES”
1 Implications
1.1 Définition
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Elle signifie que que si la proposition (il pleut) est vraie, alors la proposition (il y a des nuages) est
vraie aussi.
Une telle proposition est appelée en mathématique une implication.
On peut noter :
(il pleut) ⇒(il y a des nuages)
Un autre exemple - un professeur très autoritaire annonce fermement :
“Si un élève bavarde, alors il est puni.”
Cette proposition a le même sens que “un élève ne bavarde pas ou alors il est puni”.
Exercice 1. En revenant à la définition du connecteur ou, indiquer dans quel(s) cas la proposition
“un élève ne bavarde pas ou alors il est puni” est vraie, et dans quel(s) cas elle est fausse.
Propriété : Soit pet qdeux propositions. La proposition (p⇒q)a toujours la même valeur de
vérité que la proposition (non pou q).
Exercice 2. En s’appuyant sur la définition ci-dessus, compléter la table de vérité suivante :
p q non p(non pou q)p⇒q
V V
V F
F V
F F
Remarques
1. Il peut paraître étonnant que si pest fausse, alors, quelle que soit la valeur de vérité de q, la
proposition (p⇒q)est vraie. C’est un choix fait par les mathématiciens, et qui se comprend : le
FAUX ne se produisant par définition jamais (sauf dans quelques copies), il peut bien impliquer
tout et son contraire...
2. Attention ! Prouver que l’implication (p⇒q)est vraie ne prouve pas que qest vraie. Considé-
rons l’implication suivante : “Si Blanche-Neige est reine du Royaume-Uni, alors Blanche-Neige est
aussi reine d’Australie”. Cette implication est vraie ; prouve-t-elle pour autant que Blanche-Neige
est reine d’Australie ?
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3. ⇒n’a pas le même sens que la conjonction “donc”.
L’usage de l’implication sert pour nous à énoncer des propriétés. Par exemple, citons le très
célèbre : “Soit A,Bet Ctrois points du plan. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors
AB2+AC2=BC2. ”
Lorsque l’on utilise cette proposition, on procède ainsi :
(a) Je sais que ABC est un triangle rectangle en A.
(b) Or, si le triangle ABC est rectangle en A, alors AB2+AC2=BC2.
(c) J’en déduis que AB2+AC2=BC2.
Mais on rédige plus légèrement : “Je sais que ABC est un triangle rectangle en A,donc (com-
prendre : “d’après le théorème de Pythagore”) AB2+AC2=BC2.”
Méthode : Prouver que l’implication (p⇒q)est vraie, on suppose que pest vraie, et par un
raisonnement bien construit, on en déduit que qest vraie.
Exercice 3. Prouver que les implications suivantes sont vraies.
1. Soit x∈R. Si x > 2, alors x2>1.
2. Soit n∈N. Si nest multiple de 3, alors n2est divisible par 9.
3. Soit EF G un triangle. Si EF = 2,EG = 3 et F G =√13, alors EF G est rectangle.
1.2 Négation d’une implication
Exercice 4. Rappelons-nous que (p⇒q)signifie en fait (non pou q). À partir de là, donner la
négation de (p⇒q)
Méthode : Prouver que l’implication (p⇒q)est fausse, on peut prouver que pest vraie et sans
que qne le soit.
Exercice 5. Prouver que les implications suivantes sont fausses.
1. Soit x∈R. Si x > 0alors x > 1.
2. Soit −→ uet −→ vdeux vecteurs. Si ||−→ u|| =||−→ v||, alors −→ u=−→ v.
Exercice 6. Rappeler la définition de “la fonction fest croissante sur l’intervalle I”.
Définir ensuite : “la fonction fn’est pas croissante sur l’intervalle I”.
1.3 Contraposée et réciproque
Considérons les proposition suivante :
(1) : “S’il n’y a pas de nuages, alors il ne pleut pas.”
(2) : “S’il y a des nuages, alors il pleut.”
(1) est la contraposée de l’implication : “S’il pleut, alors il y a des nuages”. (2) est la réciproque de
cette même proposition.
Définition : Soient pet qdeux propositions.
•La contraposée de l’implication (p⇒q)est l’implication (non q⇒non q).
•La réciproque de l’implication (p⇒q)est (q⇒p).
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Propriétés : Soient pet qdeux propositions.
•Si l’implication (p⇒q)est vraie, alors la contraposée (non q⇒non q) est vraie aussi.
•Attention ! La réciproque de l’implication (p⇒q)peut ne pas être vraie, même si (p⇒q)l’est.
Exercice 7. Donner la contraposée des implications suivantes :
1. Pour tout entier n, si nest multiple de 4, alors nest pair.
2. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors AB2+AC2=BC2.
3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors MB =MC.
Exercice 8. Les implications suivantes sont-elles vraies ? Que dire de leur réciproque ?
1. Soient xet ydeux réels. Si xy = 0, alors x= 0 ou y= 0.
2. Soit aun réel. Si a= 1, alors a2= 1.
3. Si un point M est sur la médiatrice du segment [BC], alors MB =MC.
Méthode : Pour montrer qu’une implication est vraie, on peut montrer que sa contraposée l’est.
Exercice 9. Montrer que si un entier n’est pas multiple de 3, alors il n’est pas multiple de 12.
1.4 Falloir et suffire
Considérons la proposition suivante :
“S’il pleut, alors il y a des nuages.”
Exercice 10. Peut-il pleuvoir s’il n’y a pas de nuages ? Pleut-il nécessairement lorsque le temps
est nuageux ?
On peut dire de façon équivalente : “Pour qu’il pleuve, il faut qu’il y ait des nuages.”
La condition “il y a des nuages” est nécessaire pour qu’il pleuve.
On peut aussi dire : “Pour qu’il y ait des nuages, il suffit qu’il pleuve.”
La condition “il pleut” est suffisante pour qu’il y ait des nuages.
Exercice 11. Compléter avec “faut” ou “suffit”.
1. Pour qu’un entier soit pair, il ............ que cet entier soit un multiple de 6.
2. Pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme, il ............ qu’il ait deux côtés de même
longueur.
3. Pour qu’un quadrilatère soit un carré, il ............ qu’il soit un losange.
4. Soit nun entier naturel. Pour que n < 10, il ............ que n < 13.
5. Soit a,bet ctrois réels tels que a < c. Pour que b < c, il ............ que b6a.
6. Pour qu’un être humain soit européen, il ............ qu’il soit néerlandais.
7. Pour qu’un animal soit un mammifère, il ............ qu’il ait une colonne vertébrale.
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2 Equivalences
Définition : Deux propositions pet qsont équivalentes lorsqu’elles sont soit toutes les deux
vraies en même temps soit toutes les deux fausses en même temps. On écrit alors (p⇐⇒ q).
Exemples : Pour tout réel x, la propositions (x2= 1) équivaut à (x= 1 ou x=−1).
La proposition (2 6∈ N)est équivalente à (−16∈ Z).
Remarque : lorsque l’équivalence (p⇐⇒ q)est vraie, on peut aussi dire : “pour que p, il faut et il
suffit que q” ou bien “psi et seulement si q”.
Attentions ! Prouver que l’équivalence (p⇐⇒ q)est vraie ne prouve en rien que qest vraie. Si
on vous demande de prouver qu’un triangle EF G est rectangle en Get que vous écrivez : “EF G est
rectangle en Gssi GF 2+GE2=EF 2”, vous ne répondez pas à la question posée. Vous ne faites que
réciter, en une seule phrase, le théorème de Pythagore et sa réciproque.
Exercice 12. Attention ! la locution "si et seulement si” sert à formuler des propriétés et ne
figure que très rarement dans une démonstration.
Considérons par exemple la propriété :
Soit det d′deux droites dirigées respectivement par les vecteurs −→ Uet −→ V.
d//d′⇐⇒ −→ Uet −→ Vsont colinéaires
Et voyons maintenant les deux exercices suivants :
1. Dans un repère (O;−→ i , −→ j), considérons les points A(2; 3),B(4; 7) et dune droite dirigée par par
le vecteur −→ U(1; 2). Prouver que (AB)et dsont parallèles.
2. Dans un repère (O;−→ i , −→ j), considérons les points E(0; 3) et F(3; 0).∆est une droite dirigée par
le vecteur −→
V(1; 1).∆et (EF )sont-elles parallèles ?
Méthode : Pour prouver que l’équivalence (p⇐⇒ q)est vraie, on peut prouver que les implica-
tions (p⇒q)et (q⇒p)sont vraies.
Pour prouver qu’une équivalence est fausse, il suffit de prouver que l’une des deux implications qui
la constitue est fausse.
Exercice 13.
1. Soit a,b2 réels. Prouver que : (a+b)2=a2+b2⇐⇒ (a= 0 ou b= 0)
2. Soit A,Bet Gtrois points du plan. Prouver que :
−−→
GA + 2−−→ GB =−→ 0⇐⇒ −−→ AG =2
3−−→
AB
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