rappels sur les fonctions

Tale ST I
2008/2009
Fonctions : rappels
RAPPELS SUR LES FONCTIONS
Table des matières
I
Fonctions affines
I.1 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2 Signe de ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 Tableaux de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Fonctions de référence
II.1 Fonction carré . . . . . . .
II.2 Fonction inverse . . . . .
II.3 Fonction cube . . . . . . .
II.4 Fonction racine carrée . .
II.5 Représentation graphique
2
2
2
2
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3
3
3
3
4
4
III Fonctions sinus et cosinus
III.1 Défintions . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Valeurs remarquables . . . . . . . .
III.3 Variations et courbe représentative
III.3.1 Fonction sinus . . . . . . .
III.3.2 Fonction cosinus . . . . . .
III.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . .
III.5 Equations trigonométriques . . . .
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5
5
5
6
6
6
6
7
IV Fonction polynôme
IV.1 Fonction polynôme de degré n .
IV.2 Egalité de deux polynômes . .
IV.3 Racine d’un polynôme . . . . .
IV.4 Factorisation . . . . . . . . . .
IV.5 Identification des coefficients .
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7
7
8
8
8
9
V Second degré
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Tale ST I
I
2008/2009
Fonctions : rappels
Fonctions affines
I.1
Variations
Définition 1
a et b sont deux réels donnés. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine, une
équation de cette droite est y = ax + b où :
➤ Le réel a est le coefficient directeur de cette droite.
➤ Le réel b est l’ordonnée à l’origine.
Propriété 1
♦ Si a > 0, f est croissante sur R.
♦ Si a < 0, f est décroissante sur R .
♦ Si a = 0, f est constante sur R .
Exemple 1
➔ La fonction f définie par f (x) = 3x + 2 est croissante.
➔ La fonction f définie par f (x) = −2x + 3 est décroissante.
➔ La fonction f définie par f (x) = 5 est constante.
I.2
Signe de ax + b
Suivant le signe du coefficient directeur a, on obtient lestableaux de signes suivants :
a<0
a>0
x
−
signe de ax + b
I.3
− ab
−∞
0
+∞
x
+
− ab
−∞
variations
+
0
+∞
−
Tableaux de signes
On utilise un tableau de signes lorsque l’on veut résoudre une inéquations composée d’un produit ou d’un
quotient de facteurs
Soit l’inéquation (2x − 4)(−x − 5) ≤ 0. On constuit le tableau de signes de la façon suivante :
dans la première
colonne, on met
les différents facteurs de l’inéquation
on place en abscisses les solutions des équations
x
2x − 4
−x − 5
(2x − 4)(−x − 5)
−∞
−
+
−
−5
|
0
0
−
−
+
2
0
|
0
+∞
+
−
−
pour déterminer les colonnes, on résout les
équations
2x − 4 = 0 ⇐⇒ x = 2
−x − 5 = 0 ⇐⇒ x = −5
Enfin, on résout l’inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles
S =] − ∞; −5] ∪ [ 2; +∞[
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-2-
Tale ST I
II
II.1
2008/2009
Fonctions : rappels
Fonctions de référence
Fonction carré
Propriété 2
La fonction carré définie sur R par f (x) = x2 de dérivée f ′ (x) = 2x est strictement décroissante sur
] − ∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
x
f ′ (x)
−∞
Tableau de variations :
+∞
f
−
ց
0
0
+∞
+
+∞
ր
0
−
→ −
→
Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O qui
admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire.
II.2
Fonction inverse
Propriété 3
1
1
La fonction inverse définie sur R∗ par f (x) = de dérivée f ′ (x) = − est strictement décroissante sur
x
x
] − ∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [.
x
f ′ (x)
Tableau de variations :
−∞
0
f
0
−
ց
+∞
−
+∞
−∞
ց
0
−
→ −
→
Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole qui admet
l’origine O du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire.
II.3
Fonction cube
Propriété 4
La fonction cube définie sur R par f (x) = x3 , de dérivée f ′ (x) = 3x2 est strictement croissante sur R.
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-3-
Tale ST I
2008/2009
Fonctions : rappels
x
f ′ (x)
0
+
−∞
+∞
+∞
Tableau de variations :
ր
0
f
−∞
ր
La courbe de la fonction cube dans un repère orthogonal est une cubique, cette fonction est impaire.
II.4
Fonction racine carrée
Propriété 5
√
1
La fonction racine carrée définie sur R+ par f (x) = x, de dérivée f ′ (x) = − √ est strictement
2 x
croissante sur [O; +∞[.
x
0
f ′ (x)
+∞
+
Tableau de variations :
+∞
f
ր
0
II.5
Représentation graphique
f (x) = x2
8
7
6
5
4
f (x) =
3
√
x
2
1
1
x
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
f (x) =
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
−3
−4
f (x) = x3
−5
−6
−7
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Tale ST I
III
III.1
2008/2009
Fonctions : rappels
Fonctions sinus et cosinus
Défintions
Définition 2
−→
−−→
\
Soit x un réel, il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de (OA, OM ).
−
→ −
→
➤ Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère (O; i ; j ).
−
→ −
→
➤ Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ).
M
sin x
−
→
j
cosx et sinx sont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M dans le repère
−
→ −
→
(O; i ; j )
!
cos x
On note : M
sin x
→
x −
i
0
cos x
Propriété 6
♦ cos2 x + sin2 x = 1
♦ −1 6 cos x 6 1
III.2
et
−1 6 sin x 6 1
Valeurs remarquables
3π
4
2π
3
5π
6
√ √
2− 1
2
2
π
2
√
3
√2
2
2
1
2
3
−π − 2−
0
7π
6
− 12
5π
4 4π
3
x
0
sin x
0
cos x
1
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π
6
1
√2
3
2
√
− √22
− 23
3π
2
π
√4
2
√2
2
2
π
3
π
4
π
6
1
2
√ √
2 3
2 2
0
11π
6
7π
5π 4
3
π
√3
3
2
1
2
π
2
π
1
0
0
1
-5-
Tale ST I
III.3
2008/2009
Fonctions : rappels
Variations et courbe représentative
III.3.1
Fonction sinus
Tableau de variations sur l’intervalle [ 0; π ] de la fonction sinus et représentation graphique sur R :
π
2
1
0
x
sin(x)
ր
0
−2π
−π
−
π
ց
0
1
π
2
π
2
−1
π
−2π
2π
III.3.2
Fonction cosinus
Tableau de variations sur l’intervalle [ 0; π ] de la fonction cosinus et représentation graphique su R :
π
2
0
x
π
1
cos x
0
−1
1
−π
−2π
−
π
2 −1
π
2
π
−2π
2π
III.4
Dérivation
Propriété 7
Les deux fonctions sont définies et dérivables sur R et pour toute fonction u dérivable sur I, on a :
♦ cos′ (u) = −u′ sin(u)
♦ sin′ (u) = u′ cos(u)
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en particulier cos′ (x) = − sin(x).
et en particulier sin′ (x) = cos(x).
-6-
Tale ST I
III.5
2008/2009
Fonctions : rappels
Equations trigonométriques
Propriété 8
Soit α une réel fixé, alors l’équation :
♦ sin x = sin α a pour solutions x = α + 2kπ et x = π − α + 2kπ, k ∈ Z.
♦ cos x = cos α a pour solutions x = α + 2kπ et x = −α + 2kπ, k ∈ Z.
π − α + k 2π
α + k 2π
α + k 2π
sin x
α
Exemple 2
Résolution d’équations trigonométriques :
π ➔ cos(x) = cos
6
➔ cos(x) =
√
2
2
5π
➔ sin(x) = sin −
6
1
➔ sin(x) =
2
IV
αcos x
−α + k 2π
o
π
+ 2kπ .
6
6
nπ
o
π
• S=
+ 2kπ, − + 2kπ .
4
4
5π
π
+ 2kπ .
• S = − + 2kπ, −
6
6
π
2π
• S=
+ 2kπ,
+ 2kπ .
3
3
• S=
nπ
+ 2kπ, −
Fonction polynôme
IV.1
Fonction polynôme de degré n
Définition 3
On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la forme :
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + ap xp + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
➤ a0 , a1 , . . ., an sont appelés coefficients de P .
➤ Le terme ap xp un le monôme de degré p .
➤ n = deg(P ).
Exemple 3
➔ La fonction P définie par P (x) = 7x6 − 5x4 + 3x − 11 est une fonction polynôme de degré 6.
➔ La fonction affine ax + b avec a 6= 0 est une fonction polynôme de degré 1.
➔ La fonction constante k avec k 6= 0 est une fonction polynôme de degré 0.
1
➔ La fonction Q définie par : Q(x) = x3 + x + n’est pas une fonction polynôme.
x
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-7-
Tale ST I
2008/2009
Fonctions : rappels
Propriété 9
Soient P et Q des fonctions polynômes non nulles, alors :
♦ deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q).
♦ deg(P + Q) ≤ max[ deg(P ) ; deg(Q) ].
Remarque 1
L’inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s’annuler.
IV.2
Egalité de deux polynômes
Théorème 1
Soient P et Q deux fonctions polynômes, P = Q signifie que :
➣ deg(P ) = deg(Q),
➣ les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux.
Cas particulier : P = 0 est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nuls.
Exemple 4
Les polynômes P (x) = 2x2 − 3x + 4 et R(x) = ax2 + bx + c sont égaux pour
IV.3
a=2
b = −3
c = 4.
Racine d’un polynôme
Définition 4
On appelle racine d’une fonction polynôme P toute solution x0 de l’équation P (x) = 0
Exemple 5
➔ Les racines de la fonction polynôme P définie sur R par : P (x) = (x − 1)(x + 3)(x − 2) sont −3, 1 et 2
b
➔ Les fonctions polynômes du 1er degré ax + b admettent toutes une seule racine x0 = −
a
➔ Certaines fonctions polynômes n’ont aucune racine réelle. Par exemple x2 + 1 qui est strictement positif
IV.4
Factorisation
Théorème 2
Si une fonction polynôme P à coefficients réels de degré n a une racine réelle x0 alors on peut factoriser
P (x) par (x − x0 ) et on obtient
P (x) = (x − x0 )Q(x) ou Q est une fonction polynôme de degré (n − 1).
Remarque 2
On peut essayer de remplacer la variable x par 1, −1, 0 . . . et si la valeur du polynôme est 0, on dit qu’on
a trouvé une « racine évidente ».
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-8-
Tale ST I
IV.5
2008/2009
Fonctions : rappels
Identification des coefficients
On considère le polynôme f défini par : f (x) = 3x4 − x3 + x2 + 11x + 6.
Une solution évidente est x0 = −1
. donc, il existe un polynôme g de degré 4 − 1 = 3 tel que pour tout réel x :
f (x) = (x + 1)g(x)
= (x + 1)(ax3 + bx2 + cx + d)
= ax4 + bx3 + cx2 + dx + ax3 + bx2 + cx + d
= ax4 + (b + a)x3 + (c + b)x2 + (d + c)x + d
Les polynômes 3x4 − x3 + x2 + 11x + 6 et ax4 + (b + a)x3 + (c + b)x2 + (d + c)x + d sont égaux, leurs coefficients
le sont aussi :

a
=





 b+a =
3
−1
c+b = 1
d + c = 11
d
= 6






donc :


a =



3
b = −4
 c = 5



d = 6
Conclusion : f (x) = (x + 1)(3x3 − 4x2 + 5x + 6)
V
Second degré
Théorème 3
Soit ∆ = b2 − 4ac le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.
➣ ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser.
b
➣ ∆ = 0 : l’équation a une solution double x0 = − .
2a
le trinôme se factorise sous la forme a(x − x0 )2 .
√
√
−b − ∆
−b + ∆
➣ ∆ > 0 : l’équation possède 2 solutions réelles : x1 =
et x2 =
.
2a
2a
le trinôme se factorise sous la forme a(x − x1 )(x − x2 ).
Exemple 6
Soit l’équation −6x2 + x + 1 = 0.
➔ ∆ = b2 − 4ac = 12 − 4 × (−6) × 1 = 25.
➔ Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
√
√
−b − ∆
−1 − 5
1
−b + ∆
x1 =
=
=
x2 =
=
2a
−12
2
2a
1 1
1
➔ S= − ;
et la forme factorisée de P est : P (x) = −6 x +
x−
3 2
3
Soit l’équation −6x2 + x + 1 = 0.
➔ ∆ = b2 − 4ac = 62 − 4 × 5 × 2 = −4.
−1 + 5
1
=− .
−12
3
1
.
2
➔ Le discriminant est négatif, il n’y a pas de solution réelle.
➔ S = ∅ et P ne se factorise pas.
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-9-
Tale ST I
Soit l’équation 2x2 + 5x +
2008/2009
Fonctions : rappels
25
= 0.
8
➔ ∆ = b2 − 4ac = 52 − 4 × 2 ×
25
= 0.
8
b
5
➔ Le discriminant est nul, il y a une solution double : x0 = −
=− .
2a
4
2
5
5
et la forme factorisée de P est : P (x) = 2 x +
.
➔ S= −
4
4
Théorème 4
Le trinôme ax2 + bx + c est du signe de a sauf entre ses racines lorsqu’elles existent.
Exemple 7
f (x) = −6x2 + x + 1 :
➔ Le discrimiant est positif, f est du signe de a = −6, donc négative sauf entre ses racines −
1
1
et .
3
2
f (x) = 5x2 + 6x + 2 = 0 :
➔ Le discrimiant est négatif, f est du signe de a = 5, donc positive sur R.
25
f (x) = 2x2 + 5x +
=0:
8
5
➔ Le discrimiant est nul, f est du signe de a = 2, donc positive sur R et nulle en x0 = − .
4
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-10-