rappels sur les fonctions

TaleST I Fonctions : rappels 2008/2009
RAPPELS SUR LES FONCTIONS
Table des matières
I Fonctions affines 2
I.1 Variations............................................... 2
I.2 Signe de ax +b............................................ 2
I.3 Tableaux de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Fonctions de référence 3
II.1 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.2 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3 Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.4 Fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Fonctions sinus et cosinus 5
III.1 Défintions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.3 Variations et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.3.1 Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.3.2 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.4Dérivation............................................... 6
III.5 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV Fonction polynôme 7
IV.1 Fonction polynôme de degré n.................................... 7
IV.2 Egalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.3 Racine d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV.5 Identification des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V Second degré 9
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I Fonctions affines
I.1 Variations
Définition 1
aet bsont deux réels donnés. La fonction définie sur Rpar f(x) = ax +best appelée fonction affine, une
équation de cette droite est y=ax +boù :
➤Le réel aest le coefficient directeur de cette droite.
➤Le réel best l’ordonnée à l’origine.
Propriété 1
♦Si a > 0, fest croissante sur R.
♦Si a < 0, fest décroissante sur R.
♦Si a= 0, fest constante sur R.
Exemple 1
➔La fonction fdéfinie par f(x) = 3x+ 2 est croissante.
➔La fonction fdéfinie par f(x) = −2x+ 3 est décroissante.
➔La fonction fdéfinie par f(x) = 5 est constante.
I.2 Signe de ax +b
Suivant le signe du coefficient directeur a, on obtient lestableaux de signes suivants :
a > 0
x−∞ −b
a+∞
signe de ax +b−0 +
a < 0
x−∞ −b
a+∞
variations + 0 −
I.3 Tableaux de signes
On utilise un tableau de signes lorsque l’on veut résoudre une inéquations composée d’un produit ou d’un
quotient de facteurs
Soit l’inéquation (2x−4)(−x−5) ≤0. On constuit le tableau de signes de la façon suivante :
dans la première
colonne, on met
les différents fac-
teurs de l’inéqua-
tion
on place en abscisses les solutions des équations
x−∞ −5 2 +∞
2x−4−|−0 +
−x−5 + 0 −|−
(2x−4)(−x−5) −0 + 0 −
pour déterminer les co-
lonnes, on résout les
équations
2x−4 = 0 ⇐⇒ x= 2
−x−5 = 0 ⇐⇒ x=−5
Enfin, on résout l’inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solution négatives ou nulles
S=] − ∞;−5] ∪[ 2; +∞[
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II Fonctions de référence
II.1 Fonction carré
Propriété 2
La fonction carré définie sur Rpar f(x) = x2de dérivée f′(x) = 2xest strictement décroissante sur
]− ∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[.
Tableau de variations :
x−∞ 0 +∞
f′(x)−0 +
+∞+∞
fց ր
0
Dans un repère (O;−→ i;−→ j), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet Oqui
admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire.
II.2 Fonction inverse
Propriété 3
La fonction inverse définie sur R∗par f(x) = 1
xde dérivée f′(x) = −1 xest strictement décroissante sur
]− ∞; 0 [ et sur ] 0 ; +∞[.
Tableau de variations :
x−∞ 0 +∞
f′(x)− −
0 +∞
fց ց
−∞ 0
Dans un repère (O;−→ i;−→ j), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole qui admet
l’origine Odu repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire.
II.3 Fonction cube
Propriété 4
La fonction cube définie sur Rpar f(x) = x3, de dérivée f′(x) = 3x2est strictement croissante sur R.
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Tableau de variations :
x−∞ 0 +∞
f′(x) +
+∞
ր
f0
ր
−∞
La courbe de la fonction cube dans un repère orthogonal est une cubique, cette fonction est impaire.
II.4 Fonction racine carrée
Propriété 5
La fonction racine carrée définie sur R+par f(x) = √x, de dérivée f′(x) = −1
2√xest strictement
croissante sur [O; +∞[.
Tableau de variations :
x0 +∞
f′(x) +
+∞
fր
0
II.5 Représentation graphique
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8
1
2
3
4
5
6
7
8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
f(x) = x2
f(x) = 1
x
f(x) = x3
f(x) = √x
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III Fonctions sinus et cosinus
III.1 Défintions
Définition 2
Soit xun réel, il lui correspond un unique point Mde (C)tel que xsoit une mesure en radians de (\
−→
OA, −−→ OM).
➤Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de Mdans le repère (O;−→ i;−→ j).
➤Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de Mdans le repère (O;−→ i;−→ j).
cosx et sinx sont donc respectivement l’abs-
cisse et l’ordonnée du point Mdans le repère
(O;−→ i;−→ j)
On note : M cos x
sin x!
M
x
cos x
sin x
0
−→
j
−→
i
Propriété 6
♦cos2x+ sin2x= 1
♦−16cos x61 et −16sin x61
III.2 Valeurs remarquables
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
−π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2
√2
2
√3
2
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
1
2
√2
2
√3
2
−1
2
−√2
2
−√3
2
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
cos x1√3
2
√2
2
1
20 1
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