cours - Jean-Romain HEU

Algèbre générale
Jean-Romain Heu
2016

Introduction
Ce polycopié contient les définitions et propriétés du cours d’algèbre. Les
exemples et les démonstrations seront donnés en cours.
L’ensemble des documents liés à ce cours sera disponible sur le site
jeanromain.heu.free.fr.
Les objectifs de ce cours sont les suivants.
— Acquérir les méthodes de raisonnement et la rigueur scientifique.
— Maîtriser le langage mathématique et savoir rédiger une démonstra-
tion.
— Maîtriser des concepts abstraits.
— Maîtriser un certain nombre d’outils mathématiques indispensables.
Afin d’atteindre ces objectifs, il est absolument nécessaire d’apprendre
son cours et de préparer ses exercices avant d’aller en travaux dirigés.
Le programme de ce cours est le suivant.
1. Logique, langage mathématique et raisonnements
2. Arithmétique
3. Ensembles et applications
4. Le corps des nombres complexes
5. Groupes
6. Anneaux et corps
7. L’anneau des matrices
8. L’anneau des polynômes
Le cours d’algèbre du second semestre sera consacré aux espaces vecto-
riels, à l’algèbre linéaire et aux équations différentielles.
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Chapitre 1
Logique, langage mathématique
et raisonnement
1.1 Éléments de logique
Définition 1.1.1. Une proposition logique est un énoncé mathématique au-
quel on peut attribuer une valeur de vérité, soit « vrai » soit « faux ».
Exemple 1.1.1. «2<3», « l’ensemble {3, a, 53}possède 7 éléments »,
« 49 est un nombre premier », « cos2(1) + sin2(1) = 1 », « πest un nombre
entier » sont des propositions logiques.
1.1.1 Connecteurs logiques
Les connecteurs logiques sont des opérations permettant de créer de nou-
velles propositions à partir de propositions existantes.
La négation
Soit Pune proposition. La négation de P, ou « non P», notée ¬Pest
la proposition qui est vraie si Pest fausse et fausse si Pest vraie. On peut
décrire la proposition ¬Pà l’aide d’une table de vérité :
P¬P
V F
F V
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La conjonction (et)
La conjonction de deux propositions Pet Qest la proposition « Pet Q»
notée également P∧Qqui est vraie si Pet Qle sont et qui est fausse sinon.
Sa table de vérité est
P Q P et Q
V V V
V F F
F V F
F F F
La disjonction (ou)
La disjonction de deux propositions Pet Qest la proposition « Pou Q»
notée également P∨Qqui est vraie si l’une au moins des deux propositions
l’est et qui est fausse sinon. Sa table de vérité est
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
L’implication
Soient Pet Qdeux propositions. L’implication de Pvers Qest la pro-
position (¬P)ou Q. On la note P=⇒Qet on la lit « Pimplique Q». Sa
table de vérité est
P Q P =⇒Q
V V V
V F F
F V V
F F V
On appelle réciproque de l’implication P=⇒Q, la proposition
Q=⇒P.
Proposition 1.1.1. Soient P,Qet Rdes propositions logiques.
Alors la proposition [(P=⇒Q)∧(Q=⇒R)] =⇒[P=⇒R]est une
tautologie,i.e. une proposition de valeur de vérité toujours vraie.
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Autrement dit, si P=⇒Qet Q=⇒Rsont vraies, alors P=⇒R
est vraie.
On dit que l’implication est transitive.
L’équivalence
L’équivalence de deux propositions Pet Qest la proposition (P=⇒Q
et Q=⇒P). On la note P⇔Qet on la lit « Péquivaut à Q». Sa table
de vérité est
P Q P ⇔Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Avec ces connecteurs logiques, on peut construire d’autres propositions
logiques. Soient par exemple deux propositions Pet Q. Posons Rla propo-
sition
(P∧ ¬Q) =⇒(¬Q=⇒ ¬P).
Il est alors possible de déterminer la table de vérité de R, voire de simplifier
l’expression de R.
On dispose d’un certain nombre de règles permettant de simplifier les
propositions logiques. Nous noterons P∼
=Qpour dire que les propositions
Pet Qont la même table de vérité.
Proposition 1.1.2. Soient Pet Qdeux propositions logiques.
—¬(¬P)∼
=P
—(P=⇒Q)∼
=(¬Q=⇒ ¬P).
On dit que ¬Q=⇒ ¬Pest la contraposée de P=⇒Q.
— Lois de Morgan :
¬(Pou Q)∼
=(¬Pet ¬Q)
¬(Pet Q)∼
=(¬Pou ¬Q).
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