Théorie spectrale des C-algèbres commutatives

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
H ENRI C ARTAN
Théorie spectrale des C-algèbres commutatives
Séminaire N. Bourbaki, 1954-1956, exp. no 125, p. 273-285.
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1954-1956__3__273_0>
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Séminaire BOURBAKI
(Février 1956)
THÉORIE
C-ALGÈBRES COMMUTATIVES
WAELBROECK [3])
SPECTRALE DES
(d’après
L.
par Henri CARTAN.
Ce mémoire consiste essentiellement
famille finie d’éléments de
globaux
étude des fonctions analytiques d’une
Cette étude est fondée sur les théorèmes
en une
1 "algèbre.
K. OKA et H. CARTAN concernant les fonctions
de
analytiques
de
plusieurs
variables.
1. Eléments
Dans
unité
réguliers ; spectre
numéro,
ce
(on
identifiera
d’une
topologie
soit
séparément
Un
a ~:A
est borné
est
(au
montre que
reste
toujours
une
à
C
localement convexe,
C-algèbre (conmutative ou non) avec élément
une sous-algèbre de
A), On suppose A munie
séparée, telle que la multiplication de A
continue.
régulier si,
À (a- ~~ ., ~’
Le
tend
pour
borné. Le spectre
tout ~ ~
vers
est
assez
assez
grand,
existe et
La relation
borné, quand À --~ oo
comme
suit : ~ E
voisin
fermé ;
(a~ ~)~~’
topologiques) ) .
restant
en
est défini
tout ~C
Sp(a)
C
vectoriels
-1
Sp(a)
spectre
Sp(a) si,
pour
(espaces
des EVT
sens
DÉFINITION. pas à
désigne
A
d’un élément.
n’appartient
C
existe et
(arégulier, Sp(a) est
si
a
une
fonction de
est
.
compact.
PROPOSITION 1. -
et continue
en
complémentaire
tout
de
Si a.EA , (a-- ~ ) "1
est
point ~ ~-Sp(a~ ;
c’est
Sp(a) ;
une
sur tout compact qui
a ~ C ~ définie
fonction holomorphe dans le
ne
rencontre pas
Sp(a) ,
elle
est bornée et uniformément continue.
Démonstration facile :
si À
est fixe et
on
si ~
donc le second membre tend
écrit
variable tend
vers
0,
et le
vers ~ ~
(a~. ~u)~~ (a-. ~1 ~~1
quotient par
273
( ~-.,~ )
tend
reste
vers
(a-
bornée
~)’"2,
COROLLAIRE. - Le spectre d’un élément régulier a n’est pas vide (sinon
serait holomorphe et borné pour 03BB~C , et tendrait vers 0 à l’infinie
(a-03BB)-1
donc serait
identiquement nul,
qui
ce
PROPOSITION 2.
inverse
un
03BB)-1 - ( -03BB)-1 = -( -03BB)-1 (a-03BB)-1(a- ) ,
(a-
Si 03BB ~ Sp(a) ,
membre
(a~ ~ )~1
p
(aa un
pour / X .
pour voisin de 03BB , donc le
a)~1 est régulier. Réciproquement,
existe et est borné
bornée
inverse
régulier, alors
de X et ~ ~ ,
et
si
(~u ~ ~ )~1 ( (a-- i1 )~1 - ( ~ a )~~ )~1 reste borné pour
(a~ ~u)~1 existe et est bornée et À .Sp(a).
est
voisin
suffit que (a~ ~ ) possède
il f aut et il
régulier.
On écrit
premier
absurde).
est
donc
algèbre dont tous les éléments sont régulière (c’est par exemple
le cas d’une algèbre normée complète) ; alors À E Sp(a) exprime que a- A n’est
C (car si a ~A ~
pas inversible. En particulier, si A est un corps, on a A
est
tout
donc
est
inversible
vide, ce qui est
Sp(a)
pour
~1 E C 9
a te, a- À
absurde) ; c’est une généralisation du théorème classique de Gelfand-Mazur. On
notera que la continuité de a ~ pour a ~ 0 n’a pas été supposée.
Soit
A
une
=
REMARQUE. - Pour que tous les éléments de A soient réguliers, il suffit que
a-1 existe et soit borné pour tout a assez voisin de 1 .
2.
L’intégrale
de
Cauchy.
hypothèses faites sur A au n° 1 , et on sup~
pose en outre que A est quasi-complète (i.e. : tout ensemble borné et ramé est
complet). Les résultats qui suivent sont classiques, du moins pour les algèbres
normées complètes.
Dans
numéro,
ce
D’abord,
on conserve
les
définition : si
une
K
la limite inductive des
des fonctions
la
topologie
munie de la
sont
de
holomorphes
dans
un
est
un
algèbres
sur
On notera
z
l’élément de
plan complexe
du
en
les
compacts
K ;
de
C,
‘~(U)
note
U,
est munie de
est
et
Tous les éléments de
~(K)
on
l’algèbre
notant
contenant
limite inductive des
topologie
réguliers.
~(U) ~
U
ouvert
de la convergence uniforme
compact
~(K)
défini par la coordonnée z
C.
THEOREME
d’algèbres
1. - Soit
a
un
élément régulier de A. Il existe
.°~(Sp~a)?--~A ~ continu, qui transforme
fonction coordonnée
z
dans
l’élément
a .
Un tel
1
dans 1,
un
C-homomorphisme
et transforme la
homomorphisme est unique. et
est
sous-algèbrede
une
DEMONSTRATION. scalaires)
est limite
dont tous les éléments sont
A
réguliers.
Cauchy (pour les fonctions f(z)
f(z) holomorphe au voisinage du compact sp(a)
voisinage de Sp(a), de combinaisons linéaires de
La formule classique de
montre que toute
uniforme,
dans
un
fonctions rationnelles dont chacune
(z-03B )-1 (03B ~Sp(a) .
la forme
a
Ceci
traine l’unicité de l’homomorphisme cherché
de ( z-. ~ )"1 est nécessairement
car
le
en-
transformé
(a-- ~ ) r 1 .
L’existence
se
prouve
au
moyen de
l’intégrale
de
Cauchy. Si f(z)
est holomor-
phe dans U ouvert contenant Sp(a), prenons dans U-Sp(a) un cycle (orienté)
L , qui soit homologue, dans C-Sp(a), à un cercle de grand rayon, contenant
Sp(a) à son intérieur, et d’orientation positive ; l’intégrale
existe
la note
(A étant quasi-complet), et sa valeur
f(a). On va montrer que 1 ~application
l’homomorphisme cherché. Elle
la constante 1 , alors f(a) =
est
A
est bien
ne
dépend
pas du choix de
t(a)
continue ;
~ ( Sp(a~ )
de
montrons que si
1 , c’est-à-dire ~L
et
l’intégrale
f(a)
ce
membre,
=
a .
Prenons enfin
(a-03BB)-1 ,
qui
est
on
sur un
cercle de rayon qui tend
f(z) z ; comme
f(z) = (z-.~)~1 ~ ~
0 . Prenons maintenant
vers
=
du second
=
=
(z-a)-lz
~ Sp(a) ;
L ;
on
dans
f
est
0 . Or
00 1 tend
on trouve
vers
=
pour voir que
f(a) =
montre que
clair,
car
la fonction
sous
le
signe
h(a)
est
égale
(z- ~~~1.
à
=
fg , alors
f(a)g(a) ; il suffit de le faire quand f et g sont respectivement de la forme (z-À)-1 et
et on peut se Erner au
(03B , ~Sp(a) ,
(zcas 03BB~ ; la vérification
est alors immédiate. Ceci achève de prouver que f~f(a) est un C-homomorphisme
continu de l’algèbre ~(Sp(a)) dans l’algèbre A. Or tout C-homomorphisme
Prouvons maintenant que si
h
=
)-1
d’algèbres, ’qui transforme 1
élément régulier ; donc ici les
continu
en un
en
1 ~ transforme tout élément régulier
éléments de la forme
f(a)
sont
réguliers.
3. Cas des
A
algèbres
commutatives.
partir de maintenant, et jusqu’à
C-algèbre
commutative
avec
élément
quasi complète,
convexe, séparée,
la fin de
unité,
l ’exposé,
munie d’une
et satisfaisant
désigne
A
une
topologie localement
outre à la condition sui-
en
vante :
(Prod) Si
vers
reste fixe et si
a
b
tend
vers zéro, alors le produit
tend
ab
zéro. Autrement dit : l’application bilinéaire A x A--~A définie par la
multiplication
de
est
A ~
PROPOSITION 1. - Sous
ensembles bornés de
séparément continue.
supposons que a et b parcourent
produit ab parcourt un ensemble borné.
ces hypothèses,
A ; alors
le
deux
particulier de la proposition suivante : soient
topologiques localement convexes séparés ;
E , F , G t~ois
soit f : E x F -~ G une application bilinéaire, séparément continue ; si E est
quasi-complet, l’image par f du produit de deux ensembles bornés ACE et
DEMONSTRATION. - C’est
un cas
espaces vectoriels
BCF
est
un
ensemble borné de
G .
proposition résulte facilement du théorème i du paragraphe 3 du chapitre
3 de [2], qui dit ceci : si une partie H de L (E,G) est bornée pour la topologie de la convergence simple, H est bornée pour la topologie de la convergence
uniforme sur les parties de E qui sont bornées, convexes, équilibrées et complètes. Ici, l’application f définit une application continue de F dans
muni de la topologie de la convergence simple ; si BCF est bornée
l’image H de B dans ~!(E~G) est bornée pour la topologie de la convergence
simple, et le théorème du libre de BOURBAKI donne alors le résultat cherché.
Cette
Soit) --¿ soient
aj (j (J)
z
pace
une
famille finie d 1 éléments
(j e J)
réguliers
de
les fonctions coordonnées. Soit
Z
alors le
Sp(aj)
une
Soit
et soit
un
cycle
f(z) holomorphe
homologue
de
contenant Sp(a.)
semble d’indices
dans le
à
J
son
soit
alors,
produit
pour
des
dans
[1,n],
et prenons
z
point
est
sur
chaque j,
tout
un
un
l’écriture,
l’intégrale
compact
contenu
ouvert
chaque j
Uj ; àpourcercle
de
intérieur. Pour faciliter
un
=
produit
fonction bornée et uniformément continue du point
dans l’ensemble
A ; dans l’es-
é J ~ soit
grand rayon
Lj
supposons que l’en-
Sa valeur
est
dépend
ne
pas du choix des
L. ;
f(a , ...,a ) .
la notera
="n"f.(a.). En particulier si
produit
un
on
f(a~...~a ) ==~ 1 ; si
z.~ f(a~...~a ) = a. ~ si
f =
De là
déduite
).j(z.-’ ~) ~ f(a~...~a ) = ).)
f(z)
Si
f
1,
=
on a
on
on
n~ 2 :
comme au
THÉORÈME
existe
forme
raisonnant
(aj) j ~
lbis. - Soit
une
J
famille finie d’éléments
H(03C0j Sp(aj) ~A ,
coordonnée
C-homomorphisme d ’algèbres
un
chaque fonction
morphisme est unique, et son image
et
1 en 1,
COROLLAIRE. - L’ensemble
compose d’éléments
des éléments
A
r
dans l’élément
réguliers
aj.
réguliers
de
est
A
de
une
A. Il
de
continu, qui
z.
se
réguliers
trans-
Un tel homo-
A .
sous-algèbre
A .
de
4. Le spectre de Gelfand.
Soit
E
caractère est
(sans topologie), avec élément unités Un
l’enooo
C-homomorphisme d’algèbres ~: B~C . On notera
C-algèbre
une
un
semble des caractères
maximaux de
~. ~
noyau de
A
B.
("spectre
de
Gelfand") ,
est
on
On définit
surjective
~(B)
chaque
précompact,
Soit
image
donc
compacta
ou
l’application
composée
de
S(J) .
un
ensemble borné du
chaque S(b)
une
si
yj:X
03C6J’ : S(B)~CJ’
est l’application
sur
l’application
et
En
associe le
général.
envoie ~
dans
la structure uniforme la moins fine rendant les
de
(j f J)
simplement S(J)
alors j~bj
S(bj) ,de
la
S(b) l’image
S(b) soit
en
chaque 5if ,
qui
uniformément continues ; il est immédiat que
On notera
à
l’application
associe
sur
qui
mais pas
injective,
l’ensemble des idéaux
et
L’application
chaque b E B
~(b).
commutative
est
$(B) est complot.
~(B)-~C~ Supposons
--
confusion n’en
( Z (bj ) ) j
la
projection
B;
résulte,
le
on
notera
compact
dans
C.
Si
canonique
de
u
S(B)
de
~J
et de la projection
particulier,
5~B)
compact.
famille finie d’éléments de
aucune
alors
plan complexe ;
que, pour
est
C
de
j
CJ,
J’JJ,
sur
applique S(J’)
C
5. Enoncé des résultats fondamentaux.
Appliquons
réguliers
Ar .
précédentes
à la
sous-algèbre
B =
des éléments
Ar
sur
l’algèbre
3;
Ar.
on a
S(a)C.Sp(a)~ car si ~ ~ S(a) , a-- ~ ne possède pas d’inverse
Donc S(a) est borné; ainsi S(a) est compact, et le spectre de
de
Si
dans
les notions
A
est
Gelfand
Nous donnerons
du n°
aucune
topologie n’est considérée
compact.
plus
loin
une
démonstration abrégée des théorèmes qui vont
suivre :
.
THEOREME 2. -
S(Ar)~m(Ar)
L’application
toute famille finie d’éléments
compact
systèmes (03BBj)
idéal / Ar ; en particulier, S(a) = Sp(a)
tels que les éléments
semble des
un
le
aj E
Pour
chaque famille
si
J’ ~ J ,
bijective. Par suite, pour
S(aj)
se
compose de l’en-
engendrent
dans
A
pour tout
considérons
d’éléments de
(aj)j EJ
On notera
quement dans
~ (A r ).
finie
H(S(J)) ;
topologique
gèbres ;
est
H(S(J))
H(S(Ar))
l’algèbre
s’envoie continûment et biunivola limite inductive de
ces
al-
éléments s’appelleront les fonctions holomorphes sur le spectre
Soit d’autre part
l’algèbre de toutes les fonctions (numéses
riques complexes)
continues
~( ~le(A r ))
~ (Ar).
compact
sur
On définit
un
homomorphisme
naturel
de la manière suivante : si
o 03C6J : S(Ar)~
f
notera
E ~(S(J))~
est l’élément de
l’application composée
L ( s (Ar) ) qu’on associe
à
f ;3
on
le
f .
Itant donné
de
C
f
un
~~S(Ar) ,
f(X)
l’application
est
un
caractère continu
l’algèbre
THÉORÈME
sur.
3. -
Désignons par
B
l’ algèbre
H(S (Ar) )
le spectre de Gelfand. Tous les éléments de
B
sont
des fonctions holomorphes
réguliers,
et
l’applica-
S (B) ~M(B)
est bijective. De plus, l ’application qui. à chaque caraction
tère ~ de Ar , associe le caractère f -3.f ( x ) de l’algèbre B , est une bijecsur
S(B) .
tion de
H(S(Ar))
COROLLAIRE. - Les caractères de
H(S(Ar))
compose des
se
sont
telles que la fonction
f
et le
continus,
associée f
radical
soit
de
identique-
ment nulle.
la fonction coordonnée
NOTATION. - Pour chaque
S (a)
définit
C C
THEOREME
~( °~ (Ax) ) ~
élément de
un
4. - Il existe
un
sur
qu’on notera
le
compact
z .
~ ( ~ (A ) ) --~ A ~
C-homomorphisme d’algèbres o( :
continu, qui transfomie 1 dans 1, et chaque za dans l’élément a correspondant.
Un tel homomorphisme est unique ; il applique
H(S (A )) = B sur A ,et l’apdéfinie par « n’est autre que la bijection du théorème 3 ; autrement dit :
Introduisons la notation suivante : soit
de
et soit
tifions
f
à
Avec
ces
au
J _
sant
en
=
voisinage
).
(théorème
soit
h
soit
la fonction
f.
a.
fj(b1,...,bp
précédente
compact
notant
au
du
voisinage
compact S(J).
alors l’élément 03B1(f)~A
écrira aussi
on
S(a~~...~an)
Iden-
noté
sera
r
r
relation
par les
a
laire
H(S(Ar)) ;
au
d’éléments
(a~).~
J J
au
n
lieu de
S(J)~
et
f(a~).
dans C
THEOREME 5
holomorphe
(I) s’explicite
comme
sur
l’élément
des fonctions
g
holomorphe
On
a
l’ensemble des
o((f.).
En
particulier, si
pour image le compact
composées). au
systèmes
n’est autre que le compact
(f1,...,fn)
S(a~...~a.)~
l’application
de
exactement
composée
S(Ar)
suit :
)),
théorème.4. - Si f1,...,fn~H(S(Ar
prises
holomorphes
âj
[l,n ] ,
notations, la
),
sont
dans
lieu de
COROLLAIRE du
de valeurs
fonction
une
image
son
f(a.)
; lorsque
J
f(al~...~ n)
f
famille finie
une
de
en
po-
Avec les notations du corol-
voisinage
compact
qui est holomorphe
du
au
voisinage
du
6. Démonstrations.
DÉMONSTRATION du théorème 2. - Pour
de
soit
d’éléments
chaque famille finie
Dy l’algèbre
Si
injection
une
qui permet de définir l’algèbre topologique D ~ limite
l’élément de D , image
Pour chaque a~Ar , notons z
nique
ce
ductive des
la fonction coordonnée
nicité d’un C-homomorphisme continu
et 03C6(za)
=
ainsi identifié
d’algèbres 03C6 :
canoniquement à
une
de
(b
03C6(1)
tel que
:
l’image
pour tout
a
est évidemment
algèbre-quotient
de
(sans toposurjective (donc
l’algèbre
D
U
est
holomorphes
idéal de
un
voisinage
au
qui s’an-
D
et que tout
les éléments de cet idéal soit des fonctions
DJ , ~ D-. 3
de
03C0j~J Sp(aj) ,
un théorème
l’ensemble de
unité 1. Soit
montrer ceci:
fermé).
est
D
=1
A , qui est
logie). Pour prouver que l’application J?(A )2014~3~(A ) est
bijective), il suffit de montrer que ~ (D) 2014~ ~ (D) l’est. On va
pour tout idéal u de D , ~ D , il existe un caractère continu ~ de
nule sur
(il en résultera que tout caractère de D est continu,
idéal maximal de
de
Le théorème 1 bis entraîne l’existence et l’u-
Sp(a).
sur
in-
qui
ont
au
moins
un
zéro
commun
dans
Cartan, l’idéal contiendrait l’élément
ces
zéros communs ; c’est un compact non vide.
applique évidemment f~(J~~) dans
projection canonique C 2014~C
F (J;J). Soit 0393(J) la limite projective des compacts 0393(J;J) (cf. Appendice);
un point de
point
P (~) est défini par la donnée, pour chaque
défiau
à
sa
valeur
toute
E
Associons
point
X(a) Sp(a).
t~Dj
et 22 s’annit ainsi un caractère continu ~ de la limite inductive D des
la
Si
(~(~~)).
nule
sur J .
C.Q.F.D.
Incidemment,
on a
prouvé
que le
spectre
5(D)
s’identifie
au
compact
~
limite
projective
des
produits
finis j )-Sp(a.).
f
Introduisons la notation suivante :si
au
voisinage
l’image
utilisée
de
au
ùn
de
f
dans
D ~
l’élément de
sera
noté
PROPOSITION 2. - Avec
ces
notations,
on a
holomorphe
transformé par
Cette notation
n~ 3.
est
a en
de
fait été
déjà
C’est
une
conséquence immédiate
de la
détermination des caractères de
l’algèbre
D .
Recherche des caractères de
s’annulent
le
l’idéal
sur
compact
S(Ar),
par
de § :
noyau
la limite
et le
aux
caractères de
r (J)
des
s’identifie
comme
du
l’image de
l’intersection, pour
théorème 3. - Rappelons que
la limite inductive des
d’homomorphismes définit,
Comne
~(j’tJ))
de
~ (,a~ (Ar) )
B =
algèbres
homomorphisme naturel, continu,
S(Ar)
n° 4 n’est autre que
au
qui
spectre
au
l’application ~ ~ (~(aj))j~J ; S(J) est
J 1 des images f (J’ ) ~0393 (J) (cf. Appendice).
DÉMONSTRATION
D
D -7 A . Nous noterons désormais
projective
S(J)
compact noté
ils s’identifient
A :
inductive,
été définie
r(J) ,
C
~p(S(J)) ;
dans
par passage à la limite
S(J)
a
les
on a un
cette collection
homomorphisme
un
continu
S(J)
Mais le fait que
~’(J’) ~
entrains que
facilement
est
un
réciproque
tive des
est
des images des compacts
l ’intersection, pour
(4) est un isomorphisme (topologique) ; en effet, on définit
homomorphisme
de
continu de
(4). Désormais!
S(Ar)~S(B)~m(B)
associe à
nous
chaque
est
caractère ~
Pour chaque famille finie
H(0393(J)) ;
les
égalant
g
à la limite induc-
de
Ar l’idéal des f E B telles
idéal 3 de B , distinct de
x) _ 0
(a . ) j
à 0 des fonctions
telles que
communs, qui est compact
en
effet le
holomorphes
au
moins
compact
au
vide ;
un
un
il existe
B,
Ar , H(0393(J))~ J
A(J)
point X
zéro
commun
j’(J)C ~
voisinage
soit nul. Soit
non
0.
pour toute
d’éléments de
et elles ont
fCX) =
que
les éléments de cet idéal sont des fonctions
voisinage du compact r (J),
toujours d’après H. CARTAN ;
en
B
qui
l’application composée
surjective (donc bijective) ; cette application
Ar
idéal de
identifierons donc
~~S(J))~
il suffit de montrer que
3,
a donc à montrer que, pour tout
caractère X de
tel que f(
un
J
~ (~’ (J) ) ,
Pour prouver le théorème
On
lim
dans
J
de
dans
au
0393(J),
est défini
Sp(a)
j
1"ensemble de
de la limite
un
holomorphes
Sp(a.)
TT
jE J
est
ces
projective
à savoir
zéros
des
sera un
caractère de
DÉMONSTRATION
Ar
tel que
f(%.) =
du théorème 4. - Il résultera
THEOREME 4 bis. - Pour toute famille finie
un
évidemment du :
d’éléments de
(a.)~
il
r
20142014201420142014201420142014
2014
C-homomorphisme d’algèbre s 03B2 : H(0393(J))~A , continu, qui trans1, etchaque fonctioncoordonnée zg dans l’élément aj . Un tel
homomorphisme
est
unique ; et pour toute
.
d’équations
gk(zj) = 0 ,
et telles q ue
rapport
‘
les
0. A
deux séries de variables
aux
f ~ ~00FF(~(J))~
peut être défini,
effet, le compact
nombre fini
par
~.
f E
1 dans
forme
En
pour toute
J EcJ..
20142014
existe
0
dans
on a
03C0j~J Sp(aj) ,
un
par
j
~EJ
gF étant holomorphes au voisinage
cha q ue
yk
holomorphe
fonction
et
z~
dans
de
un
voisinage
dn pro~
duit
associons la fonction
composée
F(gk(zj), z ) 6 H(0393(J)).
Ceci définit
un
d t après CàRTAN-0Kà, t
homomorphisme d’algèbres % :H(P)~H(0393(J)) ;
engendré par les fonctions
surjectif, et son noyau est
C-
est
l’idéal $’
De
plus~ ~
est
une
application ouverte, c’est-à-dire définit
un
isomorphisme
sur l’algèbre
ô’~ ( 1~’(J) ) (isomorphisme d’all’algèbre quotient
gèbres topologiques) : en effet, est limite inductive d’hanomorphismes surjectifs d’espaces dé Fréchet, à chacun desquels on applique le théorème de
de
Banach.
Par
en
ailleurs,
on
définit
Comme
par passage
au
homomorphisme continu d’algèbres
l’élément
associant à
1 bis .
un
s’annule
quotient,
sur
un
F(O,a.) de A ,
l’idéal ’(f , puisque
homomorphisme
défini par le théorème
0 , 03B4
continu
qui satisfait aux conditions de l’énoncé. Réciproquement, soit
phisme satisfaisant aux conditions de l’énoncé ; le composé
définit,
.
~~
un
homomor-
envoie 1 dans
1 y
théorème 1 bis,
ce
dans
et
0
composé
est
b,
et par
(5) .
Or toute
f
3t(#(f))
k(F(0,a j )) ,
ce
0
or
=
X
=
suite 03B2
( /Ù( r (J))
l’unicité affirmée
=
et
s’écrit F(gk(zj),zj) ,
qui, d’après la proposition
Fo,
donc
=
au
il reste seulement à prouver
théorème 4
Pour achever la démonstration du
la relation
a ; d’après
dans
z
1,
=
est égal à
X (aj))
=
~
,
Supposons d’abord
DEMONSTMTION du théorème 5e -
g
holomorphe
au
voisinage
est
homomorphisme
données
une
donnée
zaj
trement
continu
fois pour
dans
dit,
aj
~~
d’algèbres lÔ(
...,an)) - A (on suppose les fj
toutes) ; il transforme 1 dans 1, et chaque fonction coorle théorème 4 bis, c’est l’application 03B2 ; au. D’après
ia reiation
est transformé dans
g
un
du
(3>
du
théorène 5.
Cette relation est donc établie quand
~~
°°°’~n~~ °
fonction
composée
° °°’~n+m~~
on
est
h’
z
=
~~~~
voir,
est
égal
~~
°°°’~n+m~~ ~
,a ~~~’ ~~~ ’
, ~,~, z
Donc
l’image canonique
vient de le
qui établit
’~~~ ~~~~l’ °°°’ ~p’~n+1’
~~~
~~~
ce
au cas
~~~’~~r~~
"~
qui,
g~H(0393(a1,...,an)). Passons
~~~
~n+1’ °°°’~n+m ~ ~r
à
le théorème 5 dans le
cas
général.
7. Compléments.
Nous allons voir que
spectre
~(A )
r
l’algèbre H(S(Ar))
n’est autre que
des
l’algèbre
fonctions holomorphes
des sections d’un faisceau
sur
le
d’algèbres
O(S(Ar
r
))
léments de
aux
points
biant
sur
l’espace compact S(Ar r ).
C?(S(J))
soit
Ar ,
du
de fonctions
n’est autre que
(a.)....
chaque famille finie
le faisceau des germes de fonctions
compact S(J) (il s’agit
Ainsi
Pour
holomorphes
l’algèbre
de
d’é-
holomorphes
l’espace am-
des sections de
ce
faisceau
0(S(J)).
~(A~)2014~S(J) définit faisceau
0(S(J)) ~ notons-le 0(~(A~),J). Si
faisceau
6(S(A~),J) dans le faisceau 0(5 (A~J’).
L’application
un
(A ) , image récipro-
sur
que de
ceau
0(5(A~))
pellera
sera
compacité
ne
~(A ),
de
d’une section d’un faisceau
convenable. Mais il
Par
holomorphes
sur
0(~(A ),J)
une
le spectre
(9(5(A ))
toute section de
pour
définition,
du
le fais-
0(~(A )~J) 3
la limite inductive des faisceaux
le faisceau des germes de fonctions
En vertu de la
homomorphisme
l’ap-.
on
~5(A ).
provient
famille finie
faut pas croire que toute section de
0(~(A )~J)
soit
~(S(J))~
l’image d’une fonction
voisinage du compact S(J). Cela tient à ce qu’un même point
de S(J) peut 6tre l’mage de points distincts du spectre
et
les
éléments
de
fonctions
à
associés
ces points peuvent être des éléments de
que
fonctions distincts au point (z.). Ainsi, on peut dire que l’algèbre des sections
est une
de fonctions holomorphes non uniformes sur le
de (9
compact S(J) ; on la notera ~(S(J)).
l’image
holomorphe
d’une section de
autrement dit soit
au
(zj)
algèbre
Cependant, grâce à la compacité de 5(A ), chaque section du faisceau
(9(S(A )) est l’image réciproque d’une section d’un faisceau (9(S(J)) pour
une famille finie convenable
Autrement dit, l’algèbre des sections de
~(~(A~))
4)
s’identifie à
~6)(~(A )),
l’algèbre
un
homomorphisme canonique
finie
d’éléments de
A ,
un
A ~ ainsi, l’on sait définir
certaines fonctions
Ce dernier résultat
ARENS et CALDERON
homomorphisme de l’algèbre
~ A pour
f(a.,.*.,a )
uniformes
f(z ,...,z )
généralise,
[1].
non
en
défini
nous avons
(théorème
Celui-ci induit donc, pour toute famille
A .
sur
dont
les
sur
précisant,
le
compact
ceux
~6(S(J))
A
dans
et pour
S(a.,...,a ).
récemment
publiés
par
APPENDICE
Limites projectives
Nous
rappelons ici quelques
Soit
à chaque
i ~ I
i j,
que
un
Ki
=
(i~j)
des
F(k)
dans le
images
produit
systèmes
des
pour
de manière que, pour
une
famille de
qui
est
compact,
tels
(xi)i ‘I
F(k)
est fermé
non
chaque j i ,
tels
.I
vide,
considère le
pour tout
sous-
cpuple
donc l’intersection
vide).
soit
chaque
Si
l’intersection, quand j
varie )1,
Alors
non
est
sur
pour
on
xi
Si
applications 03C6ij : Kj-Ki .
applique Sj
(En effet, soit
en
points
xi
des
L’ensemble
n’est pas
, K ~ Ki
Alors il existe
=
des
Conséquence:
des
03C6ik .
tel que
F(k)
croissant ; on suppose qu’on a associé
vide
K. , et, à chaque couple (1,j) tel
ensemble filtrant
pour
(Démonstration :
ensemble
classiques.
espace
o
que
notions
compact non
application continue 03C6ij
un
une
on
I
d’espaces compacts.
K’
l’image
on
un
compact
donné
vide ;
et
applique le lemme
soit,
aux
K’j , ji).
K
un
La
des
systèmes
tels
compact non vide, qu’on appelle
projection canonique du produit
application continue 03C6i de
i B( j . Alors Si n’ e st autre
la
des
= xi
limite projective
Ki
sur
le
des
est
pour
suivant les
Ki
i-ième facteur
Ki
induit
une
K
que
l’ image
de l’ application
03C6 i
t
K
~Ki .
BIBLIOGRAPHIE
[1]
ARENS
(R.)
elements,
[2]
BOURBAKI
and CALDERON (A.P.). Ann. of Math., t. 62,
(Nicolas). -
Espaces
WAELBROECK
Les structures fondamentales de
vectoriels
(Act. scient,
3, p. 21.
[3]
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et
(L.). -
of several Banach
l’analyse,
algebra
Livre 5 :
topologiques, chapitres 3 à 5. - Paris, Hermann, 1955ind. n° 1229 ; Eléments de Mathématique, 18), chapitre
Le
calcul symbolique
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Math. pures et appl., 9e
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[Juillet 1957]
285
J.