operations sur les fonctions holomorphes

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES
Les propriétés suivantes se démontrent de la même façon que pour les fonctions dérivables
d'une variable réelle.
a) Toute combinaison linéaire de fonctions holomorphes dans D est holomorphe dans D.
Donc H(D) est un espace vectoriel complexe.
b) Le produit de deux fonctions holomorphes dans D, est holomorphe dans D.
H(D) est donc un anneau commutatif unitaire et même une algèbre complexe unitaire.
f.g  f g  fg
c) Le quotient f/g de deux fonctions holomorphes dans D est holomorphe dans
D-{g-1(0)}. Cet ensemble est un ouvert de C; l' image réciproque d'un fermé, soit {0}, par
une application continue, est un fermé.
f  f g  fg

 
 
2
g 
g
d) Composée gof : si f est holomorphe de D dans D', et si g est holomorphe de D' dans D",
alors gof est holomorphe de D dans D".
Les règles de dérivation sont celles rencontrées dans R.
(gof)'(z0)=g'(f(z0)).f'(z0)
Ces opérations donnent accès à une multitude de fonctions holomorphes
ex : R(z) = P(z)/Q(z)
fonctions rationnelles également eR(z)
e) Si f est holomorphe en z0 telle que

f (z 0 )  0 alors f est localement bijective et : f 1 z 0  
1
f z 0 