Universit´ e Fran¸cois-Rabelais de Tours M1 MA – Probabilit´ es

Universit´e Fran¸cois-Rabelais de Tours M1 MA – Probabilit´es
Ann´ee 2016-2017
14 d´ecembre 2016
L’´epreuve dure 3 heures. Pensez `a tourner la page. Vous pouvez admettre le r´esultat d’une question
et traiter les suivantes. Les documents manuscrits sont autoris´es. Toutes les variables al´eatoires sont
d´efinies sur (Ω,A,P). Bon travail ! ! !
Exercice 1
Soient Xet Ydeux variables al´eatoires ind´ependantes ayant la mˆeme loi de Bernoulli d’esp´erance 1/2.
Les variables al´eatoires X+Yet |X−Y|sont-elles ind´ependantes ? non-corr´el´ees ?
Exercice 2 (Unicit´e de la limite pour la convergence en probabilit´e)
Soient (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires. Soient Xet Ydeux variables al´eatoires telles que
Xn→Xen probabilit´e et Xn→Yen probabilit´e. Le but de l’exercice est de montrer que X=Y
presque sˆurement.
1) Justifier que pour tout a,b∈Ret pour tout ε > 0, a+b>ε ⇒a > ε
2ou b > ε 2.
2) Montrer que pour tout ε > 0, P(|X−Y|> ε) = 0.
3) Remarquer que {|X−Y|= 0}=Tk∈N∗{|X−Y| ≤ 1
k}et conclure.
Exercice 3
Un archer tire sur ncibles, n∈Nfix´e. ` A chaque tir, il a la probabilit´e p∈[0,1] de toucher sa cible
et tous les tirs sont suppos´es ind´ependants. Il tire une premi`ere fois sur chaque cible et on note Xle
nombre de cibles atteintes lors de cette premi`ere tentative. L’archer tire ensuite une seconde fois sur les
cibles non atteintes lors de la premi`ere tentative. On note Yle nombre de cibles touch´ees lors de cette
seconde tentative. Enfin, on note Z=X+Y.
1) D´eterminer la fonction caract´eristique ϕn,p d’une loi binomiale B(n, p), p∈[0,1], n∈N.
2) Pour k∈ {0, . . . , n}, quelle est la loi de Yconditionnellement `a l’´ev`enement {X=k}?
3) On note ϕZla fonction caract´eristique de Z.´ Etablir la relation
´
Enonc´e corrig´e : ϕZ(t) =
n
X
k=0
ϕn−k,p (t)eitk P(X=k), t ∈R.
4) En d´eduire la loi de Z.
Exercice 4 (Loi de Cauchy)
Soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires ind´ependantes, toutes de loi de densit´e f(x) = 1
π(1 + x2).
On pose Sn=X1+. . . +Xn.
1) Montrer que pour tout entier n≥1, P(X1> n)≥1
2πn.
2) En d´eduire que P(Xn> n infiniment souvent) = 1.
3) Montrer par l’absurde que Sn
nne converge pas presque sˆurement. On pourra exprimer Xn
nen
fonction de Sn
net de Sn−1 n−1.
4) Ce r´esultat contredit-il la loi forte des grands nombres ?
1

Exercice 5 (Formule de Stirling)
1) Question pr´eliminaire : Soit Zune variable al´eatoire r´eelle positive et int´egrable. En utilisant le
th´eor`eme de Fubini, montrer que
E[Z] = Z+∞
0
P(Z > x)dx.
Soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de Poisson de param`etre 1.
On pose pour tout entier n≥1,
Sn=
n
X
i=1
Xiet Yn=Sn−n
√n.
On note x−= max(−x, 0) = |x|si x≤0
0 si x≥0,la partie n´egative de x∈R.
2) Pour tout n≥1, montrer que Snsuit une loi de Poisson de param`etre net calculer E[Y2
n].
3) En d´eduire que pour tout a > 0,
P(Y−
n> a)≤1
a2.
Soit Yune variable al´eatoire de loi N(0,1).
4) Justifier que la suite (Y−
n)n≥1converge en loi vers Y−.
5) Montrer `a l’aide des questions 1) et 3) et 4) que E[Y−
n]→E[Y−] quand n→+∞.
6) Calculer E[Y−
n] et E[Y−] puis en d´eduire la formule de Stirling :
n!∼n
en√2πn, n →+∞.
2