Universit´ e Fran¸cois-Rabelais de Tours M1 MA – Probabilit´ es

Université François-Rabelais de Tours
Année 2016-2017
M1 MA – Probabilités
14 décembre 2016
L’épreuve dure 3 heures. Pensez à tourner la page. Vous pouvez admettre le résultat d’une question
et traiter les suivantes. Les documents manuscrits sont autorisés. Toutes les variables aléatoires sont
définies sur (Ω, A, P). Bon travail ! ! !
Exercice 1
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes ayant la même loi de Bernoulli d’espérance 1/2.
Les variables aléatoires X + Y et |X − Y | sont-elles indépendantes ? non-corrélées ?
Exercice 2 (Unicité de la limite pour la convergence en probabilité)
Soient (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires. Soient X et Y deux variables aléatoires telles que
Xn → X en probabilité et Xn → Y en probabilité. Le but de l’exercice est de montrer que X = Y
presque sûrement.
ε
ε
1) Justifier que pour tout a, b ∈ R et pour tout ε > 0, a + b > ε ⇒ a > ou b > .
2
2
2) Montrer que pour tout ε > 0, P(|X − Y | > ε) = 0.
T
3) Remarquer que {|X − Y | = 0} = k∈N∗ {|X − Y | ≤ k1 } et conclure.
Exercice 3
Un archer tire sur n cibles, n ∈ N fixé. À chaque tir, il a la probabilité p ∈ [0, 1] de toucher sa cible
et tous les tirs sont supposés indépendants. Il tire une première fois sur chaque cible et on note X le
nombre de cibles atteintes lors de cette première tentative. L’archer tire ensuite une seconde fois sur les
cibles non atteintes lors de la première tentative. On note Y le nombre de cibles touchées lors de cette
seconde tentative. Enfin, on note Z = X + Y .
1) Déterminer la fonction caractéristique ϕn,p d’une loi binomiale B(n, p), p ∈ [0, 1], n ∈ N.
2) Pour k ∈ {0, . . . , n}, quelle est la loi de Y conditionnellement à l’évènement {X = k} ?
3) On note ϕZ la fonction caractéristique de Z. Établir la relation
Énoncé corrigé : ϕZ (t) =
n
X
ϕn−k,p (t)eitk P(X = k),
t ∈ R.
k=0
4) En déduire la loi de Z.
Exercice 4 (Loi de Cauchy)
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de loi de densité f (x) =
1
.
π(1 + x2 )
On pose Sn = X1 + . . . + Xn .
1) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X1 > n) ≥
1
.
2πn
2) En déduire que P(Xn > n infiniment souvent) = 1.
Sn
3) Montrer par l’absurde que
ne converge pas presque sûrement. On pourra exprimer
n
n−1
fonction de Snn et de Sn−1
.
4) Ce résultat contredit-il la loi forte des grands nombres ?
1
Xn
n
en
Exercice 5 (Formule de Stirling)
1) Question préliminaire : Soit Z une variable aléatoire réelle positive et intégrable. En utilisant le
théorème de Fubini, montrer que
Z +∞
P(Z > x) dx.
E[Z] =
0
Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de paramètre 1.
On pose pour tout entier n ≥ 1,
Sn =
n
X
Xi
et
Sn − n
√ .
n
Yn =
i=1
−
On note x = max(−x, 0) =
|x|
0
si x ≤ 0
la partie négative de x ∈ R.
si x ≥ 0,
2) Pour tout n ≥ 1, montrer que Sn suit une loi de Poisson de paramètre n et calculer E[Yn2 ].
3) En déduire que pour tout a > 0,
P(Yn− > a) ≤
1
.
a2
Soit Y une variable aléatoire de loi N (0, 1).
4) Justifier que la suite (Yn− )n≥1 converge en loi vers Y − .
5) Montrer à l’aide des questions 1) et 3) et 4) que E[Yn− ] → E[Y − ] quand n → +∞.
6) Calculer E[Yn− ] et E[Y − ] puis en déduire la formule de Stirling :
n n √
n! ∼
2πn, n → +∞.
e
2