Universit´ e Fran¸ cois-Rabelais de Tours L3 Math´

Universit´e Fran¸cois-Rabelais de Tours L3 Math´ematiques
2017 Probabilit´es et Statistiques
Feuille 5
Convergence en probabilit´e, in´egalit´e de Markov et loi faible des grands nombres
Exercice 1
On jette 3600 fois un d´e et on appelle Sle nombre de fois o`u apparaˆıt le num´ero 1.
1) Quelle est la loi de S? Donner sa moyenne et sa variance.
2) Exprimer sous forme d’une somme la probabilit´e que S∈]480,720[.
3) Grˆace `a l’in´egalit´e de Tchebychev, minorer cette probabilit´e.
Exercice 2
Soit (Xn) une suite de variables al´eatoires de loi de Poisson de param`etres λnavec λn→0 quand
n→ ∞. Montrer que (Xn) converge en probabilit´e.
Exercice 3
Soit (Xn)n≥1et Xdes variables al´eatoires r´eelles de carr´es int´egrables.
1) On suppose que limn→∞ E(|Xn−X|) = 0. Montrer que Xn→Xen probabilit´e.
2) On suppose que limn→∞ E(Xn−X) = 0 et limn→∞ V(Xn−X) = 0. Montrer que Xn→Xen
probabilit´e.
Exercice 4
Soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees, de loi
binomiale B(4,1/4). Montrer que lorsque n→ ∞, la variable al´eatoire
X2
1+··· +X2
n
n
converge en probabilit´e vers une variable al´eatoire que l’on identifiera.
Exercice 5 (Piles ou faces)
On joue `a pile ou face en jetant n+1 fois une pi`ece ´equilibr´ee et on s’int´eresse au nombre de fois o`u l’on
a obtenu 2 piles cons´ecutifs. On mod´elise l’exp´erience par une suite de variables al´eatoires (Xi)1≤i≤n+1
ind´ependantes et identiquement distribu´ees de loi B(1/2), o`u {Xi= 1}d´esigne l’´ev´enement “le i-`eme
jet est pile” et {Xi= 0}d´esigne l’´ev´enement “le i-`eme jet est face”. On pose Yi=XiXi+1, pour tout
1≤i≤n.
1) Interpr´eter l’´ev´enement {Yi= 1}. Que repr´esente la variable al´eatoire Tn=Y1+···+Yn(n≥1) ?
2) Calculer P[Yi= 1], puis donner la loi de Yi. Calculer E[Yi], V[Yi] et E[Tn].
3) On fixe (i, j) dans {1, . . . , n}2tels que i < j. Calculer P[Yi= 1, Yj= 1]. En d´eduire la loi du
couple (Yi, Yj). Ces variables al´eatoires sont-elles ind´ependantes ?
4) Montrer que Cov[Yi, Yi+1] = 1/16 et Cov[Yi, Yj] = 0 si |i−j|>1. En d´eduire que
V[Tn] = 5n−2
16 ,∀n≥1.
5) Montrer que
P
Tn
n−1 4
> ε≤5n−2
16n2ε2,∀n≥1,∀ε > 0.
La suite (Yn)n≥1v´erifie-t-elle une loi faible des grands nombres ?
1

Exercices suppl´ementaires
Exercice 6
1) (In´egalit´e de Markov) Soit Xune variable al´eatoire r´eelle, positive et int´egrable. D´emontrer que
pour tout a > 0, P(X≥a)≤E(X)
a.
2) Soit Zune variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ≥0. Montrer que eZ
admet une esp´erance et la calculer.
3) En d´eduire que la quantit´e P(Z≥n) tend vers 0 exponentiellement vite quand n→+∞.
Exercice 7
`
A l’aide de l’in´egalit´e de Tchebychev, montrer que pour tout x > 0, 1
√2πZx
0
e−u2/2du≥1
2−1 x2.
Exercice 8 (Convergence en probabilit´e)
Soient (Xn)n≥0et (Yn)n≥0des suites de variables al´eatoires, et (an)n≥0une suite r´eelle.
1) Montrer que si (Xn)n≥0converge vers 0 en probabilit´e et si (an)n≥0est born´ee, alors (anXn)n≥0
converge vers 0 en probabilit´e.
2) Soit (Xn)n≥0telle que E[Xn] = 0, pour tout n≥0. Montrer que si cette suite v´erifie la loi faible
des grands nombres, alors (Xn/n)n≥0converge vers 0 en probabilit´e.
Exercice 9 (Une loi faible des grands nombres)
Soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A,P). On suppose
que les variables Xnadmettent un moment d’ordre 2 et que pour tout n≥1, E[Xn] = met V[Xn]≤c,
pour des constantes m∈Ret c > 0. On suppose de plus que pour tous m, n ≥1 tels que m6=n,
E[XnXm] = E[Xn]E[Xm]. D´emontrer que pour tout ε > 0, on a
lim
n→∞
P
X1+··· +Xn
n−m
≥ε= 0.
2