Université François-Rabelais de Tours 2017 L3 Mathématiques Probabilités et Statistiques Feuille 5 Convergence en probabilité, inégalité de Markov et loi faible des grands nombres Exercice 1 On jette 3600 fois un dé et on appelle S le nombre de fois où apparaı̂t le numéro 1. 1) Quelle est la loi de S ? Donner sa moyenne et sa variance. 2) Exprimer sous forme d’une somme la probabilité que S ∈]480, 720[. 3) Grâce à l’inégalité de Tchebychev, minorer cette probabilité. Exercice 2 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires de loi de Poisson de paramètres λn avec λn → 0 quand n → ∞. Montrer que (Xn ) converge en probabilité. Exercice 3 Soit (Xn )n≥1 et X des variables aléatoires réelles de carrés intégrables. 1) On suppose que limn→∞ E(|Xn − X|) = 0. Montrer que Xn → X en probabilité. 2) On suppose que limn→∞ E(Xn − X) = 0 et limn→∞ V(Xn − X) = 0. Montrer que Xn → X en probabilité. Exercice 4 Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de loi binomiale B(4, 1/4). Montrer que lorsque n → ∞, la variable aléatoire X12 + · · · + Xn2 n converge en probabilité vers une variable aléatoire que l’on identifiera. Exercice 5 (Piles ou faces) On joue à pile ou face en jetant n+1 fois une pièce équilibrée et on s’intéresse au nombre de fois où l’on a obtenu 2 piles consécutifs. On modélise l’expérience par une suite de variables aléatoires (Xi )1≤i≤n+1 indépendantes et identiquement distribuées de loi B(1/2), où {Xi = 1} désigne l’événement “le i-ème jet est pile” et {Xi = 0} désigne l’événement “le i-ème jet est face”. On pose Yi = Xi Xi+1 , pour tout 1 ≤ i ≤ n. 1) Interpréter l’événement {Yi = 1}. Que représente la variable aléatoire Tn = Y1 +· · ·+Yn (n ≥ 1) ? 2) Calculer P[Yi = 1], puis donner la loi de Yi . Calculer E[Yi ], V[Yi ] et E[Tn ]. 3) On fixe (i, j) dans {1, . . . , n}2 tels que i < j. Calculer P[Yi = 1, Yj = 1]. En déduire la loi du couple (Yi , Yj ). Ces variables aléatoires sont-elles indépendantes ? 4) Montrer que Cov[Yi , Yi+1 ] = 1/16 et Cov[Yi , Yj ] = 0 si |i − j| > 1. En déduire que 5n − 2 , 16 ∀n ≥ 1. Tn 1 5n − 2 P − >ε ≤ , n 4 16n2 ε2 ∀n ≥ 1, V[Tn ] = 5) Montrer que La suite (Yn )n≥1 vérifie-t-elle une loi faible des grands nombres ? 1 ∀ε > 0. Exercices supplémentaires Exercice 6 1) (Inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire réelle, positive et intégrable. Démontrer que E(X) pour tout a > 0, P(X ≥ a) ≤ . a 2) Soit Z une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ ≥ 0. Montrer que eZ admet une espérance et la calculer. 3) En déduire que la quantité P(Z ≥ n) tend vers 0 exponentiellement vite quand n → +∞. Exercice 7 Z x 1 1 1 2 e−u /2 du ≥ − 2 . À l’aide de l’inégalité de Tchebychev, montrer que pour tout x > 0, √ 2 x 2π 0 Exercice 8 (Convergence en probabilité) Soient (Xn )n≥0 et (Yn )n≥0 des suites de variables aléatoires, et (an )n≥0 une suite réelle. 1) Montrer que si (Xn )n≥0 converge vers 0 en probabilité et si (an )n≥0 est bornée, alors (an Xn )n≥0 converge vers 0 en probabilité. 2) Soit (Xn )n≥0 telle que E[Xn ] = 0, pour tout n ≥ 0. Montrer que si cette suite vérifie la loi faible des grands nombres, alors (Xn /n)n≥0 converge vers 0 en probabilité. Exercice 9 (Une loi faible des grands nombres) Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P). On suppose que les variables Xn admettent un moment d’ordre 2 et que pour tout n ≥ 1, E[Xn ] = m et V[Xn ] ≤ c, pour des constantes m ∈ R et c > 0. On suppose de plus que pour tous m, n ≥ 1 tels que m 6= n, E[Xn Xm ] = E[Xn ]E[Xm ]. Démontrer que pour tout ε > 0, on a X1 + · · · + Xn lim P − m ≥ ε = 0. n→∞ n 2