Ecrit Maths - ENS Cachan

C1392
1
Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230
CACHAN
Concours d’admission en 1ère année
Banque d’épreuves :
- Concours ENS Cachan - Economie Gestion option I
- Concours ENSAI – option économie et gestion
Session 2013
Composition de Mathématiques et Statistiques
Durée : 4 heures
Aucun document n’est autorisé
L’usage de toute calculatrice est interdit
Le sujet comporte 4 pages, 2 exercices et 2 problèmes indépendants.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il
est amené à prendre.

Exercice 1
On appelle loi Γ(a, p), a, p ∈R+, la loi de probabilit´e de densit´e par rapport `a la
mesure de Lebesgue
fa,p(x) = K(a, p)e−pxxa−1(x>0),
o`u (x>0) = 1 si x > 0 et 0 sinon. Par ailleurs, on pose Γ(a) = Z+∞
0
e−uua−1du.
1. Calculer K(a, p) (en utilisant Γ(a)).
2. Montrer que Γ(a+ 1) = aΓ(a). Calculer Γ(1), Γ(2), Γ(n) (pour tout n > 1).
3. Trouver les moments (non centr´es) d’une variable qui suit une loi Γ(a, p). Quelle
est sa variance ?
4. Montrer que le carr´e d’une variable de loi normale centr´ee, r´eduite N(0,1) suit
une loi Γ(a, p). Que vaut le r´eel Γ(1/2) ?
5. Soient Xet Y, deux variables ind´ependantes de loi Γ(a, p) et loi Γ(b, p) respecti-
vement. Quelle est la loi de X+Y?
Exercice 2
Soit Tn(R)⊂Mn(R) le sous ensemble des matrices triangulaires sup´erieures,
T∈Tn(R)⇐⇒ Ti,j = 0 ∀1≤j < i ≤n.
1. Montrer que Tn(R) est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
2. Montrer que T, S ∈Tn(R)⇒T S ∈Tn(R).
3. Soit T∈Tn(R). Montrer que Test inversible (dans Mn(R)) si et seulement si
∀1≤i≤n, Ti,i 6= 0.
On se donne d´esormais une matrice triangulaire sup´erieure T∈Tn(R)inver-
sible fix´ee, et on veut montrer que T−1est ´egalement triangulaire sup´erieure.
4. Montrer que φ:Tn(R)−→ Tn(R)
M7−→ T M est bien d´efinie et lineaire.
5. Montrer que ker φ={~ 0Tn(R)}. Quelle est la dimension de Im φ ?
6. En deduire qu’il existe M∈Tn(R), T M =I(o`u Iest la matrice identit´e de taille
n) et en conclure que T−1est triangulaire sup´erieure.
2

Probleme 1
Premi`ere partie :
Soit nun entier positif fix´e et p, q ∈Rfix´e. On consid`ere la fonction B=B(n, p, q)
de Ndans Rd´efinie par B(k) = Ck
npkqn−kpour tout 0 ≤k≤n,B(k) = 0 si k > n,
avec Ck
n=n!
(n−k)!k!.
1. Pour quelles valeurs des param`etres pet qcette loi est elle une loi de probabilit´e ?
On consid´erera d´esormais que ces conditions sont v´erifi´ees (et donc que Best une
loi de probabilit´e).
2. D´ecrire (rapidement) une exp´erience correspondant `a cette loi.
3. Comment s’appelle cette loi ?
4. Soit Xune variable al´eatoire de loi B. Calculer son esp´erance.
Seconde partie :
Soit (Xi)i>0une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi B=B(n,p,q),
o`u pet qv´erifient les conditions n´ec´essaires `a l’obtention d’une loi de probabilit´e. Pour
tout k≥1, on pose Mk= max
1≤i≤kXi. On suppose que n, p et qsont inconnus (mais fix´es)
et on se propose de les estimer.
1. Calculer P(X≤n−1).
2. En d´eduire la probabilit´e P(Mk=n).
3. Proposer un estimateur “raisonnable” de n(justifier).
4. En s’aidant de la premi`ere partie, proposer un estimateur “raisonnable” de p
(justifier).
Troisi`eme partie :
Soit (Xn)n>0une suite de variables al´eatoires de lois respectives B(n, 1
n,1−1 n).
1. Calculer la limite de (1 −1
n)n.
2. Ecrire n!
(n−k)!
1
nkcomme un produit de k−1 termes <1.
3. En d´eduire la convergence, pour kfix´e, P(Xn=k)−→
n→∞
e−1
k!.
3

Probleme 2
Premi`ere partie :
On consid`ere la matrice Tde Mn(R) qui s’´ecrit :
T=
2−1 0
−1 2 −1
0−1 2
1. Calculer le d´eterminant de Tet en d´eduire que Test inversible.
2. Calculer les valeurs propres de Tet d´eterminer une base de R3constitu´ees de
vecteurs propres de T.
Seconde partie :
Soit n∈N∗. On d´efinit la matrice Tnde Mn(R) dont les seuls termes non nuls sont :
aii = 2 pour tout i∈ {1, . . . , n}
ai,i+1 =−1 pour tout i∈ {1, . . . , n −1}
ai,i−1=−1 pour tout i∈ {2, . . . , n}
1. ´ Ecrire T1,T2,T3,Tn.
2. On d´esigne par Pn(λ) le polynˆome caract´eristique de Tn. Montrer que pour tout
n≥3, Pn(λ) v´erifie la relation Pn(λ) = (2 −λ)Pn−1(λ)−Pn−2(λ).
3. Montrer que si nest impair, 2 est valeur propre de Tn. D´eterminer dans ce cas
une base du sous-espace propre associ´e `a la valeur propre 2.
4. Calculer le d´eterminant de Tn.
4