Université d’Angers L3 Math Année universitaire 2014-2015 Travaux dirigés de Probabilités Feuille 5 Convergence de variables aléatoires Exercice 1 (Stabilité de la convergence en probabilité). Soient (Xn ) et (Yn ) deux suites de variables aléatoires convergeant en probabilité vers X et Y respectivement. Montrer que : 1) pour tout a ∈ R, aXn + Yn → aX + Y en probabilité ; 2) Xn Yn → XY en probabilité ; 3) pour toute fonction réelle f continue, f (Xn ) → f (X) en probabilité. Exercice 2 (Convergence en probabilité vs. presque sûre). 1) Donner un exemple de suite de variables aléatoires qui converge en probabilité P mais pas presque sûrement. 2) Montrer que si une suite (Xn ) est telle que P(|Xn | > ) converge quel que soit > 0, alors elle converge vers 0 presque sûrement. 3) En déduire que si une suite (Xn ) tend vers 0 en probabilité, alors il existe une suite extraite (Xφ(n) ) qui tend vers 0 presque sûrement. Exercice 3. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. et intégrables et soit (an ) une suite de nombres réels convergeant vers 1. Montrer que presque sûrement lim n→∞ a1 X1 + · · · + an Xn = E(X1 ) . n Exercice 4 (Une réciproque de la loi forte des grands nombres). Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. définies sur un même espace probabilisé (Ω, F, P). On suppose que la suite de termePgénéral n−1 (X1 + · · · + Xn ) converge presque sûrement vers une variable X. 1) Montrer que n P(|Xn | > n) < ∞. 2) En déduire que X1 est intégrable et que X = E(X1 ) presque sûrement. Exercice 5. Soit (Xn ) une suite de variables indépendantes de fonctions de répartition si t < 0 0 P(Xn ≤ t) = an + (1 − an )tn si 0 ≤ t < 1 1 si t ≥ 1 où (an ) est une suite de nombres de l’intervalle [0, 1]. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes pour que la suite (Xn ) converge (1) en loi, (2) en probabilité, (3) presque sûrement. Exercice 6 (Suite de Cauchy en probabilité). 1) Vérifier qu’une suite de nombre réels (xn ) est de Cauchy si et seulement si la suite de terme général sn = supk≥n |xk − xn | converge vers 0. On dit qu’une suite de variables aléatoires (Xn ) est de Cauchy : — au sens I si, pour tout > 0, lim P(sup |Xk − Xn | > ) = 0. n→∞ k≥n — au sens II si, pour tout > 0, lim sup P(|Xk − Xn | > ) = 0. n→∞ k≥n 2 2) Montrer qu’une suite est de Cauchy au sens I si et seulement si elle converge presque sûrement. 3) Montrer qu’une suite est de Cauchy au sens II si et seulement si elle converge en probabilité. Exercice 7 (Série dont les termes sont de signe aléatoire). 1) Soit X1 , X2 , . . . , Xn des variables indépendantes, centrées et de variance finie. Pour tout k = 1, . . . , n, on pose Sk = X1 + X2 + · · · + Xk et, un nombre réel λ > 0 étant fixé, on pose T = inf{1 ≤ k ≤ n : |Sk | > λ}. 1.a) Démontrer que λ2 P(T = k) ≤ E(Sk2 1{T =k} ) ≤ E(Sn2 1{T =k} ). 1.b) En déduire l’inégalité de Kolmogorov : n X P( sup |Sk | > λ) ≤ λ−2 E(Xk2 ). 1≤k≤n k=1 2) Soit (ξn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, avec P(ξn = 1) = P(ξn = −1) = 1/2 et soit (an ) une suite de nombres réels positifs. 2.a) Utiliser l’inégalité de Kolmogorov pour démontrer que ! ∞ k X 1 X 2 P sup | ai . ξi ai | > λ ≤ 2 λ k≥n+1 i=n+1 i=n+1 P 2.b) En déduire une condition suffisante de convergence presque sûre de la série ξn a n . Exercice 8. Soit (Xn ) une suite de v.a. i.i.d. positives de moyenne m > 0. Pour tout t > 0, on pose Nt = sup{n > 0 : X1 + · · · + Xn ≤ t} et λ = 1/m. 1) Montrer que presque sûrement limt→∞ Nt /t = λ. √ 2) On suppose que les variables Xn ont une variance finie σ 2 . Montrer que (Nt − λt)/ t converge en loi vers une loi normale N (0, λ3 σ 2 ) lorsque t tend vers l’infini. Exercice 9. Soient (Xn ) et (Yn ) deux suites de variables aléatoires réelles convergeant en loi vers X et Y respectivement. 1) On suppose que Y = 0. Montrer que Xn + Yn converge en loi vers X. 2) Donner un contre-exemple avec Y 6= 0. 3) On suppose que pour tout n, Xn et Yn sont indépendantes et que X et Y sont indépendantes. Montrer que Xn + Yn converge en loi vers X + Y . Exercice 10. Soit λ > 0. Pour tout n ≥ 1 on considère une variable aléatoire (Tn ) de loi géométrique de paramètre pn = λ/n. Montrer que Tn /n converge en loi vers une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ.