Université d`Angers Année universitaire 2014

Universit´e d’Angers Ann´ee universitaire 2014-2015
L3 Math
Travaux dirig´es de Probabilit´es
Feuille 5
Convergence de variables al´eatoires
Exercice 1 (Stabilit´e de la convergence en probabilit´e).Soient (Xn) et (Yn) deux suites de
variables al´eatoires convergeant en probabilit´e vers Xet Yrespectivement. Montrer que :
1) pour tout a∈R,aXn+Yn→aX +Yen probabilit´e ;
2) XnYn→XY en probabilit´e ;
3) pour toute fonction r´eelle fcontinue, f(Xn)→f(X) en probabilit´e.
Exercice 2 (Convergence en probabilit´e vs. presque sˆure).1) Donner un exemple de suite
de variables al´eatoires qui converge en probabilit´e mais pas presque sˆurement.
2) Montrer que si une suite (Xn) est telle que PP(|Xn|> ) converge quel que soit  > 0,
alors elle converge vers 0 presque sˆurement.
3) En d´eduire que si une suite (Xn) tend vers 0 en probabilit´e, alors il existe une suite extraite
(Xφ(n)) qui tend vers 0 presque sˆurement.
Exercice 3. Soit (Xn) une suite de variables al´eatoires i.i.d. et int´egrables et soit (an) une
suite de nombres r´eels convergeant vers 1. Montrer que presque sˆurement
lim
n→∞
a1X1+··· +anXn
n=E(X1).
Exercice 4 (Une r´eciproque de la loi forte des grands nombres).Soit (Xn) une suite de
variables al´eatoires i.i.d. d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,F,P). On suppose que
la suite de terme g´en´eral n−1(X1+···+Xn) converge presque sˆurement vers une variable X.
1) Montrer que PnP(|Xn|> n)<∞.
2) En d´eduire que X1est int´egrable et que X=E(X1) presque sˆurement.
Exercice 5. Soit (Xn) une suite de variables ind´ependantes de fonctions de r´epartition
P(Xn≤t) = 
0 si t < 0
an+ (1 −an)tnsi 0 ≤t < 1
1 si t≥1
o`u (an) est une suite de nombres de l’intervalle [0,1]. D´eterminer des conditions n´ecessaires et
suffisantes pour que la suite (Xn) converge (1) en loi, (2) en probabilit´e, (3) presque sˆurement.
Exercice 6 (Suite de Cauchy en probabilit´e).1) V´erifier qu’une suite de nombre r´eels (xn)
est de Cauchy si et seulement si la suite de terme g´en´eral sn= supk≥n|xk−xn|converge
vers 0.
On dit qu’une suite de variables al´eatoires (Xn) est de Cauchy :
— au sens I si, pour tout  > 0,
lim
n→∞
P(sup
k≥n|Xk−Xn|> ) = 0.
— au sens II si, pour tout  > 0,
lim
n→∞ sup
k≥n
P(|Xk−Xn|> ) = 0.

2
2) Montrer qu’une suite est de Cauchy au sens I si et seulement si elle converge presque
sˆurement.
3) Montrer qu’une suite est de Cauchy au sens II si et seulement si elle converge en probabilit´e.
Exercice 7 (S´erie dont les termes sont de signe al´eatoire).1) Soit X1, X2, . . . , Xndes variables
ind´ependantes, centr´ees et de variance finie. Pour tout k= 1, . . . , n, on pose Sk=X1+X2+
··· +Xket, un nombre r´eel λ > 0 ´etant fix´e, on pose T= inf{1≤k≤n:|Sk|> λ}.
1.a) D´emontrer que λ2P(T=k)≤E(S2
k1
{T=k})≤E(S2
n1
{T=k}).
1.b) En d´eduire l’in´egalit´e de Kolmogorov :
P( sup
1≤k≤n|Sk|> λ)≤λ−2
n
X
k=1
E(X2
k).
2) Soit (ξn) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi, avec P(ξn= 1) =
P(ξn=−1) = 1/2 et soit (an) une suite de nombres r´eels positifs.
2.a) Utiliser l’in´egalit´e de Kolmogorov pour d´emontrer que
P sup
k≥n+1 |
k
X
i=n+1
ξiai|> λ!≤1
λ2
∞
X
i=n+1
a2
i.
2.b) En d´eduire une condition suffisante de convergence presque sˆure de la s´erie Pξnan.
Exercice 8. Soit (Xn) une suite de v.a. i.i.d. positives de moyenne m > 0. Pour tout t > 0,
on pose Nt= sup{n > 0 : X1+··· +Xn≤t}et λ= 1/m.
1) Montrer que presque sˆurement limt→∞ Nt/t =λ.
2) On suppose que les variables Xnont une variance finie σ2. Montrer que (Nt−λt)/√t
converge en loi vers une loi normale N(0, λ3σ2) lorsque ttend vers l’infini.
Exercice 9. Soient (Xn) et (Yn) deux suites de variables al´eatoires r´eelles convergeant en loi
vers Xet Yrespectivement.
1) On suppose que Y= 0. Montrer que Xn+Ynconverge en loi vers X.
2) Donner un contre-exemple avec Y6= 0.
3) On suppose que pour tout n,Xnet Ynsont ind´ependantes et que Xet Ysont ind´ependantes.
Montrer que Xn+Ynconverge en loi vers X+Y.
Exercice 10. Soit λ > 0. Pour tout n≥1 on consid`ere une variable al´eatoire (Tn) de loi
g´eom´etrique de param`etre pn=λ/n. Montrer que Tn/n converge en loi vers une variable
al´eatoire de loi exponentielle de param`etre λ.