martingales 1

Processus Al´eatoires - TD 3
Martingales (d´efinition, convergence p.s. et dans L1)
Exercice 1 D´efinition d’une martingale.
Une fonction continue f:C→Rest dite harmonique si pour tout z∈Cet pour tout r > 0
f(z) = 1
2πZ2π
0
f(z+rexp(iθ))dθ.
Soient r > 0 et (Un)n≥0une suite de variables al´eatoires iid de loi uniforme sur
{z∈C:|z|=r}. Pour n≥1, on pose Xn:= U1+. . . +Un. Montrer que, si f est har-
monique, (f(Xn))n≥1est une martingale pour la filtration (Fn)n≥1o`u Fn=σ(U1, . . . , Un) pour
tout n≥1.
Exercice 2 Une preuve de la loi du 0-1 de Kolmogorov par la th´eorie des martingales
Soit (Xn)n≥0une suite de variables al´eatoires ind´ependantes. On d´efinit:
Fn=σ(X1, . . . , Xn),F∞=σ
[
n≥1
Fn
Fn=σ(Xn, Xn+1, . . .),F∞=\
n≥1
Fn.
Soit A∈ F∞. Montrer, en utilisant la martingale (Mn, n ≥1) d´efinie par Mn=E[A|Fn] pour
n≥1, que P(A) = 0 ou P(A) = 1.
Exercice 3 Th´eor`eme de Rademacher: dans cet exercice, on montre par une approche proba-
biliste que toute fonction lipschitzienne est primitive d’une fonction mesurable born´ee.
Soient (Ω,F,P) un espace de probabilit´e, Xune variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1] et
f: [0,1] −→ Rune fonction lipschitzienne de constante de Lipschitz L > 0. Pour tout n≥0,
on pose
Xn=b2nXc2−net Zn= 2n¡f¡Xn+ 2−n¢−f(Xn)¢.
1. Montrer les ´egalit´es de tribus suivantes:
σ(X0, X1, . . . , Xn) = σ(Xn)et \
n≥0
σ(Xn, Xn+1, . . .) = σ(X).
2. D´eterminer E[h(Xn+1)|Xn] pour toute fonction h: [0,1] →Rmesurable continue. En
d´eduire que (Zn)n≥0est une Fn-martingale born´ee (o`u Fn=σ(Xn) pour tout n≥0).
3. Montrer qu’il existe une variable al´eatoire Z, limite p.s. et dans L1de (Zn)n≥0, puis qu’il
existe une fonction g: [0,1] −→ Rbor´elienne et born´ee telle que Z=g(X).
4. Calculer E[h(X)|Xn] pour toute fonction h: [0,1] →Rmesurable borne. En d´eduire que
p.s.:
Zn= 2nZXn+2−n
Xn
g(u)du .
5. Conclure que pour tout x∈[0,1], f(x) = f(0) + Rx
0g(u)du.
1

Pour vous entraˆıner:
Exercice 4 Quelques exemples.
1. Un exemple de martingale qui converge p.s. mais n’est pas born´ee dans L1.
Sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), on consid`ere une famille de variables al´eatoires (Yn, εn)n≥1
ind´ependante telle que pour tout n, la loi de Ynest
1
2(δAn+δ−An),
o`u (An)n≥1est une suite de r´eels positifs fix´ee, et la loi de εnest
1
n2δ1+µ1−1 n2¶δ0.
On d´efinit, pour tout n≥1, Fn=σ(Y1, ε1, ..., Yn, εn) et Mn=Pn
k=1 εkYk. Montrer que (Mn)n≥1
est une martingale par rapport `a la filtration (Fn)n≥1et qu’elle converge p.s. Montrer qu’on
peut choisir (An)n≥1telle que cette martingale ne soit pas born´ee dans L1.
2. Un exemple de martingale qui converge p.s. vers +∞.
Sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P), on consid`ere (ξn)n≥2une suite de variables al´eatoires
ind´ependantes telles que
P(ξn=−n2) = 1
n2et Pµξn=n2 n2−1¶= 1 −1 n2.
On pose Mn=ξ2+. . . +ξnpour n≥2. Montrer que (Mn)n≥2est une martingale telle que
Mn
p.s
−→
n→∞ +∞.
Exercice 5 Questions sur les filtrations.
1. Soit (Fn) une filtration (suite croissante de tribus) d’un ensemble Ω. ∪n∈NFnest-elle
toujours une tribu ?
2. Que dire d’une martingale (resp. d’une sous-martingale, d’une surmartingale) par rapport
une filtration constante ?
Exercice 6 L’urne de Polya (le d´ebut a pu ˆetre fait en cours).
A l’instant 1, une urne contient aboules blanches et b=N0−aboules rouges. On tire une
boule et on la remplace par deux boules de la mˆeme couleur, ce qui donne la composition de
l’urne `a l’instant 2. On r´ep`ete ce proc´ed´e.
Pour n≥1, on note Ynet Xn=Yn
N0+n−1respectivement le nombre et la proportion de boules
blanches dans l’urne `a l’instant n. Soit Fn=σ(Y1, . . . , Yn).
1. Donner P(Yn+1 =Yn+1|Fn) et P(Yn+1 =Yn|Fn). Montrer que (Xn)n≥0est une martingale
qui converge p.s. vers une variable al´eatoire, que l’on note U, et montrer que pour tout k≥1,
lim
n→∞
E(Xk
n) = E(Uk).
2. Cas a=b= 1:Montrer par r´ecurrence que pour tout n≥1, Ynsuit une loi uniforme sur
{1, ..., n + 1}. En d´eduire la loi de U.
3. Cas g´en´eral: On fixe k≥1. On pose pour tout n≥1:
Zn=Yn(Yn+ 1) . . . (Yn+k−1)
(n+N0−1)(n+N0). . . (n+N0+k−2) .
2

Montrer que (Zn)n≥1est une martingale pour la filtration (Fn)n≥1. En d´eduire la valeur de
E(Uk).
4. Montrer que la fonction caract´eristique d’une variable al´eatoire r´eelle born´ee se d´eveloppe
en s´erie enti`ere sur R(on exhibera le d´eveloppement en s´erie enti`ere). En d´eduire qu’on a
caract´eris´e la loi de U.
Remarque: Cette loi est la loi β(a, b) de densit´e
B(a, b)−1ua−1(1 −u)b−1[0,1](u)
par rapport `a la mesure de Lebesgue (cette loi ´etant elle aussi caract´eris´ee par ses moments
d’apr`es 3., il suffit de v´erifier que les moments de la loi β(a, b) sont les mˆemes que ceux de la loi
de U).
Exercice 7 Lemme de Scheff´e.
1. Soit (Xn)n≥0une suite de variables al´eatoires sur un espace de probabilit´e (Ω,F,P) telle
que :
•Xn≥0 p.s. pour tout n≥0
•Xn
p.s
−→
n→∞ Xo`u Xest une variable al´eatoire int´egrable
•E(Xn)−→
n→∞
E(X).
Montrer que (Xn)n≥0converge vers Xdans L1.
2. Montrer que si une martingale positive (Xn)n≥0ne converge pas dans L1, on a
E( lim
n→∞ Xn)<lim n→∞
E(Xn).
Exercice 8 Une preuve de la loi forte des grands nombres.
Remarque: vous verrez en cours une autre d´emonstration, plus efficace, de la loi forte des
grands nombres `a l’aide des martingales r´etrogrades.
1. Soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires ind´ependantes sur un espace de probabilit´e
(Ω,F,P) telles que E(Xn) = 0 pour tout n≥1 et v´erifiant:
X
n≥1
Var(Xn)
n2<∞.
On pose, pour n≥1,
Mn=
n
X
j=1
Xj
jet Sn=
n
X
j=1
Xj.
Montrer que (Mn)n≥1converge presque sˆurement quand ntend vers +∞. En d´eduire
Sn
n
p.s
−→
n→+∞0.
2. Soit Xune variable al´eatoire telle que E(|X|)<∞. On consid`ere une suite (Xn)n≥1de
variables al´eatoires i.i.d. de mˆeme loi que X. On d´efinit pour n≥1 :
Yn=Xn{|Xn|≤n}.
Montrer que :
3

•E(Yn)−→
n→∞
E(X)
•P(∃n≥1 : ∀k≥n, Xk=Yk) = 1
•P
n≥1
Var(Yn)
n2<∞.
3. En d´eduire la loi forte des grands nombres.
4