Feuille de Travaux Dirigés n 3

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦3
M1, Algèbre Semestre 9
Exercice 1 Soit kun corps. Soit Ale sous-ensemble de k[T]formé des polynômes Pvérifiant P0(0) = 0.
1) Montrer que Aest un sous-anneau intègre de k[T]et qu’il est engendré (en tant que k-algèbre) par
T2et T3
2) Montrer que T2et T3sont des éléments irréductibles de Anon associés.
3) Montrer que T2et T3ne sont pas des éléments premiers de A.
4) En déduire que An’est pas factoriel.
5) Déterminer un élément de Aayant plusieurs décompositions en irréductibles.
6) Montrer que Frac(A) = k(T).
7) Montrer que Test racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans Amais n’est pas dans A.
Retrouver le fait que An’est pas factoriel.
Exercice 2 (Racines rationnelles)
1) Soit nun entier naturel et Pun polynôme à coefficients entiers de degré n. Montrer que si l’on a une
racine rationnelle p
qde Pavec pet qpremiers entre eux, alors :
—pdivise le coefficient de plus bas degrés de P,
—qdivise le coefficient de plus haut degrés de Q.
2) Utiliser le résultat précédent pour trouver les racines de 6X4−35X3+ 62X2−35X+ 6.
3) Les polynômes suivants sont-ils irréductibles :
(a) X3−X+ 1 dans Z[X],
(b) 3X3−7X+ 2 dans Q[X],
(c) X3+ (1 −2i)X2+iX + (2 + i)dans (Z[i])[X],
(d) X2+ 2x+ 3 dans Z/5Z[X].
Exercice 3 (Réduction modulo p)
1) Soit Aun anneau factoriel et soit pun élément irréductible de A. Soit
˜π:A[X]−→ (A/(p)) [X]
PaiXi7−→ Pπ(ai)Xi
où πest la projection canonique de Adans A/(p). Soit P=Pn
i=0 aiXiun polynôme de degré nà
coefficients dans A. On suppose que p-anet ˜π(P)est irréductible. Montrer que Pest irréductible
dans A[X].
2) Application : Montrer que 5x5+ 2x3−7x2+ 4x+ 1 est irréductible sur Z.
3) (a) Montrer que P=X4+ 1 est irréductible dans Z[X].
(b) Montrer que P=X4+ 1 est réductible dans Fp[X]pour tout ppremier.
Vous pouvez utiliser sans les prouver les résultats suivant :
– If p≡1 mod 4 then the equation a2≡ −1 mod phas a solution.
– If p≡3 mod 8 then the equation b2≡ −2 mod phas a solution.
– If p≡7 mod 8 then the equation c2≡2 mod phas a solution.
Exercice 4
1) Soit P∈Z[X]un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Montrer que si P(n)est premier pour
une infinité de n∈Zalors Pest irréductible.
[Ce critère est complètement inutile ! On ne sait pas s’il existe un polynôme vérifiant les hypothèses ci-dessus...]
2) Soit P=PaiXiun polynôme de degré n. Soit
M:= max{
ai
an
|i= 0, . . . , n −1}.
Montrer que si P(m)est premier pour un entier m≥M+ 2 alors Pest irréductible sur Z.
[Ce critère est plus utile. Par exemple P=X2+ 6X2+ 1 est irréductible car f(8) = 4481.]
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Exercice 5 Décomposer en irréductibles les polynômes suivants dans C[X],R[X]et Q[X]:
X4+ 1, Xn−2.
Exercice 6
1) Montrer par récurrence que dans F2[X], on a
(X+ 1)2r=X2r+ 1.
2) En déduire que pour tout 1≤k≤2r−1, le coefficient binomial 2r
kest pair.
3) En déduire que le polynôme X2r+ 1 est irréductible dans Z[X]en posant X=Y+ 1 et en utilisant
le critère d’Eisenstein.
Exercice 7 Soit Aun anneau factoriel. Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles en utilisant
le critère d’Eisenstein :
Y2+X3−Xdans A[X, Y ],
Z2−XY dans A[X, Y, Z].
Exercice 8 On se propose de factoriser le polynôme P=X5−3X4−6X3−12X2−2X+ 1 sur Z.
1) Montrer que Pn’admet pas de racine entière.
2) On suppose que P=QR avec deg(R)=1et on pose a=R(−1), b =R(0) et c=R(1). Montrer que
Rest complètement déterminé par le triplet (a, b, c)∈Z3et exprimer Ren fonction de (a, b, c).
3) Montrer que
a∈ {±1,±7}, b ∈ {±1}et c∈ {±1,±3,±7,±21}.
4) Dresser la liste des valeurs possible de (b, c)lorsque a= 1.
5) Dresser la liste des valeurs possible de (b, c)lorsque a= 7.
6) Dresser la liste des valeurs possibles de Ret factoriser P.
7) Proposer un algorithme pour factoriser un polynôme sur Z.
8) Factoriser X7−2X5+X4−2X3+X2−3X+ 1. (Long !)
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