Feuille de Travaux Dirigés n 3
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Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 3
M1, Algèbre
Semestre 9
Exercice 1 Soit k un corps. Soit A le sous-ensemble de k[T ] formé des polynômes P vérifiant P 0 (0) = 0.
1) Montrer que A est un sous-anneau intègre de k[T ] et qu’il est engendré (en tant que k-algèbre) par
T 2 et T 3
2) Montrer que T 2 et T 3 sont des éléments irréductibles de A non associés.
3) Montrer que T 2 et T 3 ne sont pas des éléments premiers de A.
4) En déduire que A n’est pas factoriel.
5) Déterminer un élément de A ayant plusieurs décompositions en irréductibles.
6) Montrer que Frac(A) = k(T ).
7) Montrer que T est racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans A mais n’est pas dans A.
Retrouver le fait que A n’est pas factoriel.
Exercice 2 (Racines rationnelles)
1) Soit n un entier naturel et P un polynôme à coefficients entiers de degré n. Montrer que si l’on a une
p
racine rationnelle de P avec p et q premiers entre eux, alors :
q
— p divise le coefficient de plus bas degrés de P ,
— q divise le coefficient de plus haut degrés de Q.
2) Utiliser le résultat précédent pour trouver les racines de 6X 4 − 35X 3 + 62X 2 − 35X + 6.
3) Les polynômes suivants sont-ils irréductibles :
(a) X 3 − X + 1 dans Z[X],
(b) 3X 3 − 7X + 2 dans Q[X],
(c) X 3 + (1 − 2i)X 2 + iX + (2 + i) dans (Z[i])[X],
(d) X 2 + 2x + 3 dans Z/5Z[X].
Exercice 3 (Réduction modulo p)
1) Soit A un anneau factoriel et soit p un élément irréductible de A. Soit
−→
7−→
π̃ : P
A[X]
ai X i
(A/(p))
[X]
P
π(ai )X i
Pn
où π est la projection canonique de A dans A/(p). Soit P = i=0 ai X i un polynôme de degré n à
coefficients dans A. On suppose que p - an et π̃(P ) est irréductible. Montrer que P est irréductible
dans A[X].
2) Application : Montrer que 5x5 + 2x3 − 7x2 + 4x + 1 est irréductible sur Z.
3) (a) Montrer que P = X 4 + 1 est irréductible dans Z[X].
(b) Montrer que P = X 4 + 1 est réductible dans Fp [X] pour tout p premier.
Vous pouvez utiliser sans les prouver les résultats suivant :
– If p ≡ 1 mod 4 then the equation a2 ≡ −1 mod p has a solution.
– If p ≡ 3 mod 8 then the equation b2 ≡ −2 mod p has a solution.
– If p ≡ 7 mod 8 then the equation c2 ≡ 2 mod p has a solution.
Exercice 4
1) Soit P ∈ Z[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Montrer que si P (n) est premier pour
une infinité de n ∈ Z alors P est irréductible.
[ Ce critère est complètement inutile ! On ne sait pas s’il existe un polynôme vérifiant les hypothèses ci-dessus...]
P
2) Soit P =
ai X i un polynôme de degré n. Soit
ai M := max{ | i = 0, . . . , n − 1}.
an
Montrer que si P (m) est premier pour un entier m ≥ M + 2 alors P est irréductible sur Z.
[Ce critère est plus utile. Par exemple P = X 2 + 6X 2 + 1 est irréductible car f (8) = 4481.]
1
Exercice 5 Décomposer en irréductibles les polynômes suivants dans C[X], R[X] et Q[X] :
X 4 + 1, X n − 2.
Exercice 6
1) Montrer par récurrence que dans F2 [X], on a
r
r
(X + 1)2 = X 2 + 1.
2) En déduire que pour tout 1 ≤ k ≤ 2r − 1, le coefficient binomial
3) En déduire que le polynôme X
le critère d’Eisenstein.
2r
2r
k
est pair.
+ 1 est irréductible dans Z[X] en posant X = Y + 1 et en utilisant
Exercice 7 Soit A un anneau factoriel. Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles en utilisant
le critère d’Eisenstein :
Y 2 + X3 − X
dans A[X, Y ],
Z 2 − XY
dans A[X, Y, Z].
Exercice 8 On se propose de factoriser le polynôme P = X 5 − 3X 4 − 6X 3 − 12X 2 − 2X + 1 sur Z.
1) Montrer que P n’admet pas de racine entière.
2) On suppose que P = QR avec deg(R) = 1 et on pose a = R(−1), b = R(0) et c = R(1). Montrer que
R est complètement déterminé par le triplet (a, b, c) ∈ Z3 et exprimer R en fonction de (a, b, c).
3) Montrer que
a ∈ {±1, ±7},
b ∈ {±1}
et
c ∈ {±1, ±3, ±7, ±21}.
4) Dresser la liste des valeurs possible de (b, c) lorsque a = 1.
5) Dresser la liste des valeurs possible de (b, c) lorsque a = 7.
6) Dresser la liste des valeurs possibles de R et factoriser P .
7) Proposer un algorithme pour factoriser un polynôme sur Z.
8) Factoriser X 7 − 2X 5 + X 4 − 2X 3 + X 2 − 3X + 1. (Long !)
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