Td1 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 1
L3, Algèbre
Semestre 6
Dans toute cette feuille K désigne un corps.
Questions issues du cours
Exercice 1 On rappelle qu’un polynôme à coefficients dans un anneau A est une suite P = (an )n∈N
d’éléments de A tous nuls à partir d’un certain rang. La multiplication de deux polynômes P = (an )n∈N ,
Q = (bn )n∈N est alors définie par
X
P Q = (cn )n∈N avec cn =
ak bn−k .
0≤k≤n
Soit X la suite X = (0, 1, 0, . . . 0, . . .). Par convention X 0 = (1, 0, 0, . . .).
1) Montrer que le produit est bien défini.
2) Montrer que X i = (0, . . . , 0, 1, 0 . . .) où le 1 est situé à la (i + 1)ième place.
3) Montrer que X i · X j = X i+j pour tout i, j ≥ 0.
Exercice 2 Soit A[X] l’anneau des polynômes à une indeterminée sur A et soit (P, Q) ∈ A[X]2 .
1) Montrer que la relation « être associé » est une relation d’équivalence sur A[X].
2) Montrer que si P | Q et Q | P alors P et Q sont associés.
3) Montrer que (P ) = (Q) si et seulement si P et Q sont associés.
4) On suppose que A est associé à C et que B est associé à D. Montrer que A | B ⇐⇒ C | D.
Dans la suite, on supposera que A est un corps.
5) Montrer que si P et Q sont associés et ont le même coefficient dominant alors P = Q.
6) Montrer que tout polynôme est associé à un unique polynôme unitaire.
7) Montrer que tout idéal non-nul de A[X] est engendré par un unique polynôme unitaire.
Exercice 3 Soit A, B, C trois polynômes non-nuls de K[X]. Montrer que
1) si A | BC et pgcd(A, B) = 1 alors A | C.
2) si A est irréductible et si A | BC alors A | B ou A | C.
3) A est premier avec BC si et seulement si A est premier avec B et avec C.
Idéaux d’un anneau
Exercice 4
1) Soit I et J deux idéaux d’un anneau A. Montrer que I ∩ J et I + J sont des idéaux de A.
2) Montrer que I + J est le plus petit idéal de A contenant I et J.
3) Soit n, m ∈ Z, I = (n) = nZ, J = mZ. Déterminer I ∩ J et I + J.
Exercice 5 Soit A un anneau intègre. On rappelle les définitions suivantes :
? un idéal I est premier s’il vérifie la condition suivante : ∀a, b ∈ A, ab ∈ I =⇒ a ∈ I ou b ∈ I.
? un idéal I est dit maximal si I 6= A et si J est un idéal tel que I ( J alors J = A.
1)
2)
3)
4)
Déterminer tous les idéaux de Z.
Montrer que nZ est maximal si et seulement si n est premier.
Montrer que nZ est premier si et seulement si n = 0 ou n est premier.
Montrer qu’un idéal maximal de A est premier.
Exercice 6 Soit A un anneau commutatif unitaire et I un idéal de A. On appelle radical de I l’ensemble
√
I := {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ , xn ∈ I}.
√
1) Montrer que I est un idéal de A.
2) Déterminer le radical des idéaux de Z.
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Division euclidienne de polynôme et calculs de pgcd
Exercice 7 Effectuer la division euclidienne de A par B :
1. A = 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1 et B = X 3 + X + 2
2. A = X 4 − X 3 + X − 2 et B = X 2 − 2X + 4
Déterminer les pgcd des polynômes suivants :
3. X 4 + X 3 − 2X + 1 et X 3 + X + 1
4. X 5 + 3X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 1 et X 4 + 2X 3 + X + 2.
Déterminer le pgcd D des deux polynômes suivants ainsi que des polynômes U et V tels que AU +BV = D :
5. A = X 6 − 2X 5 + 2X 4 − 3X 3 + 3X 2 − 2X et B = X 4 − 2X 3 + X 2 − X + 1.
Exercice 8 Soit A = X a − 1 et B = X b − 1 deux polynômes de K[X].
1) Montrer que X a − 1 = (X b − 1)(X a−b + X a−2b + . . . + X a−qb ) + (X a−qb − 1) où a = bq + r est la
division euclidienne de a par b dans Z.
2) En déduire le pgcd de A et B.
Exercice 9 Soient P1 , P2 deux polynômes non-nuls de K[X]. Soit ppcm(P1 , P2 ) l’unique polynôme unitaire qui engendre (P1 ) ∩ (P2 ). Montrer que
1) le ppcm(P1 , P2 ) est un multiple commun de P1 et P2 .
2) Si M est un multiple commun des P1 et P2 alors M est un multiple de ppcm(P1 , P2 ).
Exercices plus difficiles
Exercice 10 Soit A un anneau commutatif intègre. Montrer que A est un corps si et seulement si A[X]
est principal.
Exercice 11 (Lemme de Gauss et critère d’Eisenstein.)
1) (a) Soient (P, Q) ∈ Z[X]2 et p un nombre premier. On suppose que p divise tous les coefficients du
produit P Q. Montrer que p divise tous les coefficients de P ou tous les coefficients de Q.
(b) (Lemme de Gauss) Si P ∈ Z[X], on note c(P ) le pgcd des coeffcients de P . Montrer que
c(P Q) = c(P )c(Q) pour tout (P, Q) ∈ Z[X]2 .
2) Montrer que si P ∈ Z[X] est irréductible dans Z[X] alors P est irréductible dans Q[X].
3) (a) (critère d’Eisenstein) Soit P = an X n + . . . + a1 X + a0 ∈ Z[X]. On suppose qu’il existe un
nombre premier p tel que
(i) ∀k ∈ {0, . . . , n − 1}, p | ak
(ii) p - an
et
(iii) p2 - a0 .
Montrer que P est irréductible dans Q[X].
(b) Application : Soit p un nombre premier et Φ(X) = X p−1 + . . . + X + 1. Montrer que Φ est
irréductible dans Q[X]. [Aide : regarder XΦ(X + 1). ]
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