Td1 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦1
L3, Algèbre Semestre 6
Dans toute cette feuille Kdésigne un corps.
Questions issues du cours
Exercice 1 On rappelle qu’un polynôme à coefficients dans un anneau Aest une suite P= (an)n∈N
d’éléments de Atous nuls à partir d’un certain rang. La multiplication de deux polynômes P= (an)n∈N,
Q= (bn)n∈Nest alors définie par
P Q = (cn)n∈Navec cn=X
0≤k≤n
akbn−k.
Soit Xla suite X= (0,1,0, . . . 0, . . .). Par convention X0= (1,0,0, . . .).
1) Montrer que le produit est bien défini.
2) Montrer que Xi= (0,...,0,1,0. . .)où le 1est situé à la (i+ 1)ième place.
3) Montrer que Xi·Xj=Xi+jpour tout i, j ≥0.
Exercice 2 Soit A[X]l’anneau des polynômes à une indeterminée sur Aet soit (P, Q)∈A[X]2.
1) Montrer que la relation « être associé » est une relation d’équivalence sur A[X].
2) Montrer que si P|Qet Q|Palors Pet Qsont associés.
3) Montrer que (P) = (Q)si et seulement si Pet Qsont associés.
4) On suppose que Aest associé à Cet que Best associé à D. Montrer que A|B⇐⇒ C|D.
Dans la suite, on supposera que Aest un corps.
5) Montrer que si Pet Qsont associés et ont le même coefficient dominant alors P=Q.
6) Montrer que tout polynôme est associé à un unique polynôme unitaire.
7) Montrer que tout idéal non-nul de A[X]est engendré par un unique polynôme unitaire.
Exercice 3 Soit A, B, C trois polynômes non-nuls de K[X]. Montrer que
1) si A|BC et pgcd(A, B)=1alors A|C.
2) si Aest irréductible et si A|BC alors A|Bou A|C.
3) Aest premier avec BC si et seulement si Aest premier avec Bet avec C.
Idéaux d’un anneau
Exercice 4
1) Soit Iet Jdeux idéaux d’un anneau A. Montrer que I∩Jet I+Jsont des idéaux de A.
2) Montrer que I+Jest le plus petit idéal de Acontenant Iet J.
3) Soit n, m ∈Z,I= (n) = nZ,J=mZ. Déterminer I∩Jet I+J.
Exercice 5 Soit Aun anneau intègre. On rappelle les définitions suivantes :
?un idéal Iest premier s’il vérifie la condition suivante : ∀a, b ∈A, ab ∈I=⇒a∈Iou b∈I.
?un idéal Iest dit maximal si I6=Aet si Jest un idéal tel que I(Jalors J=A.
1) Déterminer tous les idéaux de Z.
2) Montrer que nZest maximal si et seulement si nest premier.
3) Montrer que nZest premier si et seulement si n= 0 ou nest premier.
4) Montrer qu’un idéal maximal de Aest premier.
Exercice 6 Soit Aun anneau commutatif unitaire et Iun idéal de A. On appelle radical de Il’ensemble
√I:= {x∈A| ∃n∈N∗, xn∈I}.
1) Montrer que √Iest un idéal de A.
2) Déterminer le radical des idéaux de Z.
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Division euclidienne de polynôme et calculs de pgcd
Exercice 7 Effectuer la division euclidienne de Apar B:
1. A= 3X5+ 2X4−X2+ 1 et B=X3+X+ 2
2. A=X4−X3+X−2et B=X2−2X+ 4
Déterminer les pgcd des polynômes suivants :
3. X4+X3−2X+ 1 et X3+X+ 1
4. X5+ 3X4+X3+X2+ 3X+ 1 et X4+ 2X3+X+ 2.
Déterminer le pgcd Ddes deux polynômes suivants ainsi que des polynômes Uet Vtels que AU +BV =D:
5. A=X6−2X5+ 2X4−3X3+ 3X2−2Xet B=X4−2X3+X2−X+ 1.
Exercice 8 Soit A=Xa−1et B=Xb−1deux polynômes de K[X].
1) Montrer que Xa−1=(Xb−1)(Xa−b+Xa−2b+. . . +Xa−qb)+(Xa−qb −1) où a=bq +rest la
division euclidienne de apar bdans Z.
2) En déduire le pgcd de Aet B.
Exercice 9 Soient P1, P2deux polynômes non-nuls de K[X]. Soit ppcm(P1, P2)l’unique polynôme uni-
taire qui engendre (P1)∩(P2). Montrer que
1) le ppcm(P1, P2)est un multiple commun de P1et P2.
2) Si Mest un multiple commun des P1et P2alors Mest un multiple de ppcm(P1, P2).
Exercices plus difficiles
Exercice 10 Soit Aun anneau commutatif intègre. Montrer que Aest un corps si et seulement si A[X]
est principal.
Exercice 11 (Lemme de Gauss et critère d’Eisenstein.)
1) (a) Soient (P, Q)∈Z[X]2et pun nombre premier. On suppose que pdivise tous les coefficients du
produit P Q. Montrer que pdivise tous les coefficients de Pou tous les coefficients de Q.
(b) (Lemme de Gauss) Si P∈Z[X], on note c(P)le pgcd des coeffcients de P. Montrer que
c(P Q) = c(P)c(Q)pour tout (P, Q)∈Z[X]2.
2) Montrer que si P∈Z[X]est irréductible dans Z[X]alors Pest irréductible dans Q[X].
3) (a) (critère d’Eisenstein) Soit P=anXn+. . . +a1X+a0∈Z[X]. On suppose qu’il existe un
nombre premier ptel que
(i)∀k∈ {0, . . . , n −1}, p |ak(ii)p-anet (iii)p2-a0.
Montrer que Pest irréductible dans Q[X].
(b) Application : Soit pun nombre premier et Φ(X) = Xp−1+. . . +X+ 1. Montrer que Φest
irréductible dans Q[X].[Aide : regarder XΦ(X+ 1).]
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