D rivation

PCSI1DÉRIVATION - résumé de cours 2016-2017
Remarque : dans tout ce chapitre, 𝐼désigne un intervalle de ℝnon vide, non réduit à un point,
et 𝑓une fonction définie sur 𝐼et à valeurs dans ℝ(𝑓:𝐼→ℝ), sauf dans le dernier paragraphe.
I : FONCTION DÉRIVABLE ET FONCTION DÉRIVÉE
1˚) Définition
Définition : soit 𝑎∈𝐼.
On dit que 𝑓est dérivable en 𝑎si la limite lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎existe et est finie.
On note alors cette limite 𝑓′(𝑎) := lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎, appelée nombre dérivé de 𝑓au point 𝑎.
Remarque 1 : on a également 𝑓′(𝑎) := lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ.
Remarque 2 : on pose 𝑇𝑎(𝑥) := 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎(taux d’accroissement de la fonction 𝑓entre 𝑎et 𝑥).
La définition devient : « la fonction 𝑓est dérivable en 𝑎si la fonction 𝑇𝑎possède une limite finie en
𝑎, et on pose alors 𝑓′(𝑎) := lim
𝑥→𝑎𝑇𝑎(𝑥)».
Définition : si la fonction 𝑓est dérivable en tout point 𝑎de 𝐼, alors on dit que 𝑓est dérivable sur 𝐼.
On peut, dans ce cas, définir la fonction 𝑓′:
𝐼−→ ℝ
𝑎7−→ 𝑓′(𝑎) := lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎= lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
.
Autre notation : 𝑓′=𝑓(1) =𝐷𝑓 =d𝑓
d𝑥.
Définition : on dit que 𝑓est dérivable à
– gauche en 𝑎si lim
𝑥→𝑎−𝑇𝑎(𝑥)existe et est finie, notée 𝑓′
𝑔(𝑎) = lim
𝑥→𝑎−𝑇𝑎(𝑥)(dérivée à gauche en 𝑎).
– droite en 𝑎si lim
𝑥→𝑎+𝑇𝑎(𝑥)existe et est finie, notée 𝑓′
𝑑(𝑎) = lim
𝑥→𝑎+𝑇𝑎(𝑥)(dérivée à droite en 𝑎).
Conséquence :
𝑓est dérivable en 𝑎si, et seulement si 𝑓est dérivable à droite et à gauche en 𝑎avec 𝑓′
𝑔(𝑎) = 𝑓′ 𝑑(𝑎).
Quelques exemples :
∙Si 𝑓est constante, alors (pour tout 𝑎) : ∀𝑥∈ℝ,𝑇𝑎(𝑥) = 0, donc 𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎𝑇𝑎(𝑥) = 0.
∙Si 𝑓=Idℝ, alors (pour tout 𝑎) : ∀𝑥∈ℝ,𝑇𝑎(𝑥) = 𝑥−𝑎
𝑥−𝑎= 1, donc 𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎𝑇𝑎(𝑥)=1.
∙Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, avec 𝑛⩾2, alors (pour tout 𝑎) : ∀𝑥∈ℝ,𝑥𝑛−𝑎𝑛= (𝑥−𝑎).𝑛−1
𝑘=0
𝑥𝑘𝑎𝑛−1−𝑘,
donc 𝑇𝑎(𝑥) = 𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎=
𝑛−1
𝑘=0
𝑥𝑘𝑎𝑛−1−𝑘−→
𝑥→𝑎
𝑛−1
𝑘=0
𝑎𝑘𝑎𝑛−1−𝑘=
𝑛−1
𝑘=0
𝑎𝑛−1=𝑛𝑎𝑛−1.
Donc 𝑓est dérivable sur ℝet 𝑓′(𝑎) = 𝑛𝑎𝑛−1(formule valable pour 𝑛∈ℕ, avec 𝑎0= 1).
∙Si 𝑓(𝑥) = 1
𝑥, alors pour 𝑎∕= 0 et 𝑥∕= 0, on a :
𝑇𝑎(𝑥) =
1
𝑥−1 𝑎
𝑥−𝑎=𝑎−𝑥 𝑥𝑎(𝑥−𝑎)=−1 𝑥𝑎 , d’où 𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎𝑇𝑎(𝑥) = −1
𝑎2.
–1/10– Lycée Faidherbe, Lille

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∙Si 𝑓(𝑥) = √𝑥, alors, pour tout 𝑎 > 0:𝑇𝑎(𝑥) = √𝑥−√𝑎
𝑥−𝑎=1
√𝑥+√𝑎−→
𝑥→𝑎
1
2√𝑎.
𝑓=√est donc une fonction dérivable sur ]0,+∞[et : ∀𝑎 > 0,𝑓′(𝑎) = 1
2√𝑎.
Remarque : 𝑇0(𝑥) = √𝑥
𝑥=1
√𝑥−→
𝑥→0++∞, donc 𝑓n’est pas dérivable en 0.
∙Si 𝑓(𝑥) = ∣𝑥∣, alors 𝑇0(𝑥) = ∣𝑥∣−∣0∣
𝑥−0=∣𝑥∣ 𝑥−→+1 si 𝑥→0+
−1si 𝑥→0−.
Par conséquent, 𝑓est dérivable à droite et à gauche en 0, avec 𝑓′
𝑔(0) = −1,𝑓′
𝑑(0) = +1, mais
𝑓n’est pas dérivable en 0 car 𝑓′
𝑔(0) ∕=𝑓′
𝑑(0).
ATTENTION : «(𝑓continue à droite et à gauche en 𝑎)⇒(𝑓continue en 𝑎)»,
MAIS «(𝑓dérivable à droite et à gauche en 𝑎)⇏(𝑓dérivable en 𝑎)»
2˚) Interprétation géométrique
Soit 𝑓, une fonction dérivable en 𝑎: notons 𝑀0et 𝑀les points de coordonnées respectives
(𝑎, 𝑓(𝑎)) et (𝑥, 𝑓(𝑥)), points situés sur Γ, courbe représentative de 𝑓dans un repère orthonormé.
Alors 𝑇𝑎(𝑥) := 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎représente la pente de la sécante (𝑀0𝑀):𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎𝑇𝑎(𝑥)est donc la
pente de la «sécante limite» lorsque 𝑀→𝑀0, autrement dit la pente de la tangente àΓen 𝑀0.
A retenir : « 𝑌=𝑓′(𝑎)(𝑋−𝑎) + 𝑓(𝑎)» est une équation de la tangente à Γau point 𝑀0(𝑎, 𝑓(𝑎)).
3˚) Lien avec les développements limités
Propriété : si 𝑓est dérivable en 𝑎, alors 𝑓est continue en 𝑎.
Conséquence : si 𝑓est dérivable sur 𝐼, alors 𝑓est continue sur 𝐼.
Mais la réciproque est fausse !
Par exemple : la fonction valeur absolue est continue mais pas dérivable en 0.
Démonstration : si 𝑓est dérivable en 𝑎, alors, 𝑓′(𝑎)existe, et en posant pour tout 𝑥∕=𝑎,
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥−𝑎)𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎−→
𝑥→𝑎𝑓(𝑎) + 0.𝑓′(𝑎) = 𝑓(𝑎)(i.e) lim 𝑎𝑓=𝑓(𝑎), donc 𝑓est
continue en 𝑎.
Propriété : on a l’équivalence
(𝑓est dérivable en 𝑎)⇔(𝑓possède, en 𝑎, un développement limité d’ordre 1 ( DL1(𝑎)) ).
Mieux dit :
(𝑓dérivable en 𝑎et 𝑓′(𝑎) = 𝛼)⇔(𝑓a un DL1(𝑎)de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝛼×(𝑥−𝑎) + ∘(𝑥−𝑎)) .
Ou encore :
(𝑓dérivable en 𝑎)⇔(on a 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝛼×(𝑥−𝑎)+(𝑥−𝑎)𝜀(𝑥),𝛼constante, lim
𝑎𝜀= 0 ) .
Ou encore :
(𝑓dérivable en 𝑎)⇔(on a 𝑓(𝑎+ℎ) = 𝑓(𝑎) + 𝛼ℎ +ℎ𝜀(ℎ),𝛼constante, lim
0𝜀= 0 ) .
Preuve :
1. Si 𝑓est dérivable en 𝑎: alors on peut écrire 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎).(𝑥−𝑎) + (𝑥−𝑎).𝜀𝑎(𝑥), où
𝜀𝑎(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎−𝑓′(𝑎)−→
𝑥→𝑎0, donc 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎).(𝑥−𝑎) + o(𝑥−𝑎), (i.e) 𝑓possède
un DL1(𝑎).
–2/10– Lycée Faidherbe, Lille

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2. Si 𝑓possède un DL1(𝑎)de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝛼(𝑥−𝑎) + ∘(𝑥−𝑎): au voisinage de 𝑎, on
a𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝛼(𝑥−𝑎) + 𝜀(𝑥).(𝑥−𝑎), où lim
𝑥→𝑎𝜀(𝑥)=0. On en déduit lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎),
donc nécessairement 𝑓est continue en 𝑎. Puis, on en tire 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎=𝛼+𝜀(𝑥). Donc
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎existe, est finie, et vaut 𝛼. Ceci prouve que 𝑓est dérivable en 𝑎et que 𝑓′(𝑎) = 𝛼.
Attention : on a donc les équivalences
(𝑓est continue en 𝑎)⇔(𝑓possède, en 𝑎, un DL0(𝑎))
(𝑓est dérivable en 𝑎)⇔(𝑓possède, en 𝑎, un DL1(𝑎))
MAIS on ne peut pas généraliser ! Autrement dit, pour 𝑛⩾2, il n’y a PAS , en général, d’équivalence
entre (𝑓est dérivable 𝑛fois en 𝑎) et (𝑓possède, en 𝑎, un DL𝑛(𝑎)).
Par exemple : on pose 𝑓(0) = 0 et 𝑓(𝑥) = 𝑥5
2sin(1
𝑥)si 𝑥 > 0. Alors 𝑓(𝑥) = 0+ 0.𝑥 +0.𝑥2+𝑥2.𝜀(𝑥), où
𝜀(𝑥) = √𝑥sin(1
𝑥)−→
𝑥→00(car sin(1
𝑥)est bornée et √𝑥→0) : ceci dit que 𝑓possède donc un DL2(0) !
MAIS 𝑓n’est pas deux fois dérivable en 0.
En effet : 𝑓est dérivable sur ]0,+∞[et ∀𝑥 > 0,𝑓′(𝑥) = 5
2𝑥3
2sin(1
𝑥)−√𝑥. cos(1 𝑥).
De plus, 𝑇0(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0=𝑥5
2sin( 1
𝑥)
𝑥=𝑥3
2sin(1
𝑥)−→
𝑥→00.
Donc 𝑓est aussi dérivable en 0 avec 𝑓′(0) = 0.
MAIS 𝑓′(𝑥)−𝑓′(0)
𝑥−0=
5
2𝑥3
2sin( 1
𝑥)−√𝑥. cos( 1 𝑥)
𝑥=3 2𝑥3
2sin(1
𝑥)−1
√𝑥.cos(1
𝑥)n’a pas de limite en 0car
∙d’une part : 3
2𝑥3
2sin(1
𝑥)−→
𝑥→00
∙d’autre part : 𝑔(𝑥) = 1
√𝑥.cos(1
𝑥)n’a pas de limite en zéro car en posant 𝑢𝑛=1 2𝑛𝜋 et 𝑣𝑛=1 2𝑛𝜋+𝜋/2,
on a lim
𝑛→+∞
𝑢𝑛= lim
𝑛→+∞
𝑣𝑛= 0, mais lim
𝑛→+∞
𝑔(𝑢𝑛) = lim
𝑛→+∞
√2𝑛𝜋 = +∞ ∕= lim
𝑛→+∞
𝑔(𝑣𝑛) = lim
𝑛→+∞0 = 0.
Par conséquent, 𝑓n’est pas deux fois dérivable en 0 (et possède néanmoins un DL2(0)) !
4˚) Dérivées successives
On note 𝑓(0) := 𝑓. Si 𝑓est dérivable sur 𝐼, on note 𝑓(1) =𝑓′.
Si 𝑓(1) est elle-même dérivable sur 𝐼, on note 𝑓(2) := (𝑓(1))′.
Plus généralement, si 𝑓(𝑛)est dérivable sur 𝐼(avec 𝑛∈ℕ), on note 𝑓(𝑛+1) = (𝑓(𝑛))′.
Définition : si elle existe, 𝑓(𝑛)s’appelle la dérivée 𝑛ième de 𝑓sur 𝐼.
Définition : si 𝑓(𝑛)existe et si 𝑓(𝑛)est continue sur 𝐼, on dit que 𝑓est de classe 𝐶𝑛sur 𝐼.
Définition : on dit que 𝑓est de classe 𝐶∞sur 𝐼si, pour tout 𝑘∈ℕ,𝑓(𝑘)existe, autrement dit
si 𝑓est in(dé)finiment dérivable sur 𝐼.
Notation : on notera, entre nous 𝑓∈𝐶(𝐼),𝑓∈𝐷(𝐼),𝑓∈𝐷𝑛(𝐼),𝑓∈𝐶𝑛(𝐼),𝑓∈𝐶∞(𝐼)lorsque
𝑓sera une fonction continue, dérivable, dérivable 𝑛fois, de classe 𝐶𝑛, de classe 𝐶∞sur l’intervalle 𝐼.
Exemples : les polynômes, exp,cos,sin, ch, sh sont des fonctions de classe 𝐶∞sur ℝ.
Les fonctions ln,[𝑥7→ 1
𝑥],tan, th =sh ch , les fractions rationnelles 𝐹=𝑃 𝑄(où 𝑃et 𝑄sont deux
polynômes, 𝑄∕=˜ 0), sont des fonctions de classe 𝐶∞sur leurs ensembles de définition respectifs.
Notation :𝐷𝑛(𝐼)est l’ensemble des fonctions 𝑛fois dérivables (au moins) sur 𝐼.
𝐶𝑛(𝐼)est l’ensemble des fonctions de classe 𝐶𝑛(au moins) sur 𝐼. On a les inclusions
𝐶∞(𝐼)⊂. . . ⊂𝐶𝑛+1(𝐼)⊂𝐷𝑛+1(𝐼)⊂𝐶𝑛(𝐼)⊂𝐷𝑛(𝐼)⊂. . . ⊂𝐶1(𝐼)⊂𝐷1(𝐼)⊂𝐶0(𝐼)⊂ℝ𝐼.
Attention : «𝑓dérivable» n’entraîne pas forcément «𝑓′continue».
Par exemple, en posant 𝑓(0) = 0 et 𝑓(𝑥) = 𝑥2sin( 1
𝑥), on a 𝑓dérivable sur ℝ
–3/10– Lycée Faidherbe, Lille

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(sur ℝ∗avec 𝑓′(𝑥) = 2𝑥sin(1
𝑥)−cos(1 𝑥), et lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0= lim
𝑥→0𝑥. sin(1
𝑥)=0donc 𝑓′(0) = 0).
MAIS 𝑓′n’est pas continue en 0car lim
𝑥→0𝑓′(𝑥)n’existe pas (car lim 𝑥→0cos(1
𝑥)n’existe pas).
5˚) Opérations sur les dérivées
Proposition - somme/produit/quotient : si 𝑓et 𝑔sont deux fonctions dérivables sur 𝐼alors :
∙pour tout (𝜆, 𝜇)∈ℝ2(constantes réelles), 𝜆𝑓 +𝜇𝑔 est dérivable sur 𝐼et (𝜆𝑓 +𝜇𝑔)′=𝜆𝑓′+𝜇𝑔′.
Par conséquent : 𝐷(𝐼) = 𝐷1(𝐼)est un sous-espace vectoriel de 𝒜(𝐼, ℝ) = ℝ𝐼.
De même, pour tout 𝑛∈ℕ,𝐷𝑛(𝐼),𝐶𝑛(𝐼)et 𝐶∞(𝐼)sont des sous-espaces vectoriels de (ℝ𝐼,+, .)
(et par conséquent eux-mêmes des ℝ-espaces vectoriels).
∙𝑓×𝑔est dérivable sur 𝐼et (𝑓×𝑔)′=𝑓′×𝑔+𝑓×𝑔′.
Par conséquent : la loi multiplicative «×» est une loi de composition interne sur 𝐷(𝐼) = 𝐷1(𝐼).
∙si 𝑔ne s’annule pas sur 𝐼, alors 1
𝑔est dérivable sur 𝐼et 1 𝑔′=−𝑔′ 𝑔2.
Puis 𝑓
𝑔est dérivable sur 𝐼et 𝑓 𝑔′=𝑓′𝑔−𝑓𝑔′ 𝑔2.
Preuves : à faire.
Proposition : si 𝑓et 𝑔sont deux fonctions 𝑛fois dérivables sur 𝐼(𝑛⩾0), alors la somme
𝑓+𝑔est aussi une fonction 𝑛fois dérivable sur 𝐼, et (𝑓+𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)+𝑔(𝑛).
Proposition (formule de Leibniz) : si 𝑓et 𝑔sont deux fonctions 𝑛fois dérivables sur 𝐼(𝑛⩾0),
alors le produit 𝑓×𝑔est aussi une fonction 𝑛fois dérivable sur 𝐼, et on a la formule
(𝑓×𝑔)(𝑛)=
𝑛
𝑘=0 𝑛
𝑘𝑓(𝑘)×𝑔(𝑛−𝑘).
Remarque : la proposition reste donc vraie en remplaçant «𝑛fois dérivables» par «de classe 𝐶𝑛». En
effet, la formule précédente donne, dans ce cas, (𝑓×𝑔)(𝑛)sous forme d’une combinaison linéaire de
fonctions continues, donc (𝑓×𝑔)(𝑛)est elle-même continue.
Preuve : à faire.
Exemples : (𝑓×𝑔)(1) =𝑓×𝑔(1) +𝑓(1) ×𝑔,(𝑓×𝑔)(2) =𝑓×𝑔(2) + 2𝑓(1) ×𝑔(1) +𝑓(2) ×𝑔,
(𝑓×𝑔)(3) =𝑓×𝑔(3) + 3𝑓(1) ×𝑔(2) + 3𝑓(2) ×𝑔(1) +𝑓(3) ×𝑔, etc...
Ecrit autrement : (𝑓𝑔)′=𝑓′𝑔+𝑓𝑔′,(𝑓 𝑔)′′ =𝑓′′𝑔+ 2𝑓′𝑔′+𝑓𝑔′′,(𝑓 𝑔)′′′ =𝑓′′′𝑔+ 3𝑓′′𝑔′+ 3𝑓′𝑔′′ +𝑓𝑔′′′...
Conséquence : la loi «×» est une loi de composition interne sur 𝐷𝑛(𝐼),𝐶𝑛(𝐼)et 𝐶∞(𝐼).
Proposition - composition :si 𝑓est dérivable en 𝑎et si 𝑔est dérivable en 𝑓(𝑎),
alors 𝑔∘𝑓est dérivable en 𝑎et on a la formule : (𝑔∘𝑓)′(𝑎) = 𝑓′(𝑎)×𝑔′(𝑓(𝑎)).
Par extension, si 𝑓est dérivable sur 𝐼et 𝑔dérivable sur l’ensemble image 𝑓(𝐼), alors 𝑔∘𝑓est dérivable
sur 𝐼et (𝑔∘𝑓)′=𝑓′×(𝑔′∘𝑓).
Preuve : si 𝑓est dérivable en 𝑎, alors 𝑓a un DL1(𝑎)du type
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)+(𝑥−𝑎).𝑓′(𝑎)+(𝑥−𝑎)𝜀1(𝑥)où lim
𝑥→𝑎𝜀1(𝑥) = 0.
Si 𝑔est dérivable en 𝑓(𝑎), alors 𝑔a un DL1(𝑓(𝑎)) du type
𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑓(𝑎)) + (𝑦−𝑓(𝑎)) .𝑔′(𝑓(𝑎)) + (𝑦−𝑓(𝑎)) .𝜀2(𝑦)où lim
𝑦→𝑓(𝑎)𝜀2(𝑦) = 0.
On reporte le premier DL dans le second, avec 𝑦=𝑓(𝑥). On a donc
–4/10– Lycée Faidherbe, Lille

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𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑎)) + (𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)) .𝑔′(𝑓(𝑎)) + (𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)) .𝜀2(𝑓(𝑥)), puis avec le 1er DL
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑎)) + {(𝑥−𝑎).𝑓′(𝑎)+(𝑥−𝑎)𝜀1(𝑥)}.𝑔′(𝑓(𝑎)) + {(𝑥−𝑎).𝑓 ′(𝑎)+(𝑥−𝑎)𝜀1(𝑥)}.𝜀2(𝑓(𝑥))
d’où, en refactorisant :
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑎)) + (𝑥−𝑎).𝑓′(𝑎).𝑔′(𝑓(𝑎)) + (𝑥−𝑎){𝜀1(𝑥).𝑔′(𝑓(𝑎)) + 𝑓′(𝑎) + 𝜀1(𝑥)}.𝜀2(𝑓(𝑥))
que l’on peut ré-écrire, en posant 𝜀3(𝑥) = {𝜀1(𝑥).𝑔′(𝑓(𝑎)) + 𝑓′(𝑎) + 𝜀1(𝑥)}.𝜀2(𝑓(𝑥))
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑎)) + (𝑥−𝑎).𝑓′(𝑎).𝑔′(𝑓(𝑎)) + (𝑥−𝑎)𝜀3(𝑥)
où il est facile de voir que lim
𝑥→𝑎𝜀3(𝑥) = 0, car lim 𝑥→𝑎𝜀1(𝑥) = 0, puis lim
𝑦→𝑓(𝑎)𝜀2(𝑦) = 0 et lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
(en effet, 𝑓est dérivable, donc continue en 𝑎! ! !), d’où par composition de limites lim
𝑥→𝑎𝜀2(𝑓(𝑥)) = 0.
Ceci prouve que 𝑔∘𝑓a un DL1(𝑎), donc est dérivable en 𝑎, et on lit la valeur de (𝑔∘𝑓)′(𝑎)dans de
développement limité : 𝑓′(𝑎)×𝑔′(𝑓(𝑎)) !
Quelques applications :
∙Si 𝑓est une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur 𝐼(donc 𝑓est continue sur 𝐼et y a donc
un signe constant), alors ln(∣𝑓∣)est dérivable sur 𝐼et (ln(∣𝑓∣))′=𝑓′
𝑓.
∙Si 𝑓est une fonction dérivable sur 𝐼, alors sin(𝑓),cos(𝑓),exp(𝑓)sont dérivable sur 𝐼et
(sin(𝑓))′=𝑓′cos(𝑓),(cos(𝑓))′=−𝑓′sin(𝑓),(exp(𝑓))′=𝑓′exp(𝑓).
∙Si 𝑓est une fonction dérivable et strictement positive sur 𝐼et si 𝛼est une CONSTANTE réelle
(fixée !), alors 𝑓𝛼=𝑒𝛼. ln 𝑓est dérivable sur 𝐼et (𝑓𝛼)′=𝛼𝑓 𝛼−1.
Par exemple (𝛼=1
2) : √𝑓′=𝑓′
2√𝑓.
∙ATTENTION : la proposition donne une condition suffisante de dérivabilité de la composée,
mais pas nécessaire a priori. Par exemple, en posant 𝑓(𝑥) = cos(√𝑥):𝑓est continue sur
ℝ+(comme composée de...), mais, comme √n’est dérivable que sur ]0,+∞[, on peut juste
affirmer que 𝑓est dérivable sur ]0,+∞[. Ce qui n’empêche pas 𝑓d’être dérivable en 0! ! ! En
effet 𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0=cos(√𝑥)−1 𝑥∼
𝑥→0−(√𝑥)2
2𝑥=−1 2, d’où lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0=−1 2, donc 𝑓est dérivable en 0
et 𝑓′(0) = −1
2.
Proposition - dérivée d’une bijection réciproque : si 𝑓est dérivable sur un intervalle 𝐼et
si 𝑓′a un signe constant strict sur 𝐼(𝑓′>0sur 𝐼ou 𝑓′<0sur 𝐼: par conséquent 𝑓′ne s’annule
pas sur 𝐼), alors 𝑓établit une bijection de 𝐼vers l’intervalle 𝐽=𝑓(𝐼). La bijection réciproque 𝑓−1
est dérivable en tout point 𝑏de 𝐽=𝑓(𝐼)et on a la formule 𝑓−1′(𝑏) = 1
𝑓′(𝑓−1(𝑏)) .
Autrement dit, en posant 𝑏=𝑓(𝑎):𝑓−1′(𝑓(𝑎)) = 1
𝑓′(𝑎).
Preuve : à faire.
Proposition - composée de fonctions de classe 𝐶𝑛: si 𝑓est de classe 𝐶𝑛sur 𝐼, si 𝑔est de
classe 𝐶𝑛sur 𝑓(𝐼), alors 𝑔∘𝑓est de classe 𝐶𝑛sur 𝐼.
Preuve : par récurrence sur 𝑛(à faire).
Attention : les formules pour les dérivées 𝑛ièmes de la composée 𝑔∘𝑓ne sont pas simples ! Par exemple :
(𝑔∘𝑓)′=𝑓′×𝑔′(𝑓),(𝑔∘𝑓)′′ =𝑓′′ ×𝑔′(𝑓)+(𝑓′)2×𝑔′′(𝑓), etc... (à vous de jouer, si ça vous amuse).
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