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CENTRE D’ÉDUCATION DES ADULTES
DOCUMENT
DE RÉVISION
MAT-4103
ÉLABORÉ PAR RICHARD POULIN, ENSEIGNANT EN MATHÉMATIQUES,
CENTRE D’ÉDUCATION DES ADULTES L’ESCALE
COMMISSION SCOLAIRE DE L’AMIANTE
MAI 2005
DOCUMENT DE REVISION DU COURS MAT-4103
¾ Rappel sur les triangles
1. Un triangle est rectangle lorsqu’il comporte un angle
droit.
2. Un triangle est isocèle lorsque deux de ces côtés ont la
même longueur.
3. Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés ont la
même longueur.
4. Un triangle est scalène lorsque ses trois côtés sont de
longueurs différentes.
Considérons le triangle suivant :
A
b
c
B
a
C
¾ Chaque sommet est identifié par une lettre majuscule.
¾ Chaque côté est identifié par une lettre minuscule
identifiant la mesure du côté opposé au sommet.
Richard Poulin, enseignant
Centre L’Escale, C.S. Amiante
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Théorème de Pythagore
Hyp2 = a2 + b2
Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans le
triangle rectangle. Pour utiliser cette relation, il faut connaître
au moins 2 des trois côtés ou bien avoir un angle de 45o ou 30o .
Exemple 1 :
A
c
8 cm
B
C
a
l’angle ⟨A = l’angle ⟨C = 45o
La mesure du côté c = côté a
Donc selon Pythagore :
82 = a2 + c2 = 82 = 2a2
donc a2 = 32 a = 5,66 cm
Richard Poulin, enseignant
Centre L’Escale, C.S. Amiante
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Exemple 2 :
A
c
8 cm
B
C
a
l’angle ⟨A = 30o et l’angle ⟨C = 60o
Lorsque dans un triangle rectangle un des cotés à un angle de
30o, la mesure du coté opposé est égale à la moitié de
l’hypoténuse.
La mesure de a = 4 cm
Donc selon Pythagore :
82 = 42 + c2 = 82 - 42 = c2
donc c2 = 48 c = 6,93 cm
Exemple 3 :
A
8
x
B
C
12
Donc selon Pythagore :
x2 = 82 + 122 = x2 = 208
donc x = 14,42 cm
Richard Poulin, enseignant
Centre L’Escale, C.S. Amiante
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Trigonométrie et rapports trigonométriques
Cosinus A = coté adjacent = c
hypoténuse
b
Sinus A = coté opposé = a
hypoténuse b
Cosinus C = coté adjacent = a
hypoténuse
b
Sinus C = coté opposé = c
hypoténuse b
Tangente C = coté opposé
coté adjacent
= c = Sinus C
a Cosinus C
Tangente A = coté opposé
coté adjacent
= a = Sinus A
c Cosinus A
Cosinus = Cos
Sinus = Sin
Tangente = Tan
a) Note
¾ Lorsque dans un triangle rectangle, un des cotés a un
angle de 30o, la mesure du coté opposé est égale à la
moitié de l’hypoténuse.
¾ Lorsque dans un triangle rectangle, il y a deux angles
de 45o , la mesure de ces deux côtés sont les mêmes.
¾ Le théorème de Pythagore s’applique seulement dans
le triangle RECTANGLE. Même chose pour les
fonctions trigonométriques (sin, cos, tan).
Richard Poulin, enseignant
Centre L’Escale, C.S. Amiante
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Exercice 4 :
Sin A = m bc = 3
m ab
5
L’angle A = 36,9o
La mesure de l’angle B = 180o - 36,9o - 90o = 53,1o
Sin A = Cos B
Cos A = Sin B
Loi des sinus
Richard Poulin, enseignant
Centre L’Escale, C.S. Amiante
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Sin C = Sin B = Sin A
c
b
a
¾ Le sinus de 45o est égal au sinus de (180o – 45o ).
¾ Cette loi peut également être utilisée dans le triangle
rectangle.
¾ Pour utiliser cette loi, il faut connaître au moins deux
angles ainsi que la mesure d’un coté de l’angle connu.
Exercice 5 :
La mesure de l’angle A = 25o
La mesure de l’angle B = 105o
Donc on peut déduire que l’angle C = 50o
Déterminer la mesure du côté a et b ?
Sin 105o = Sin 50o = Sin 25o
b
12
a
12* Sin 105o = b* Sin 50o
b = 15,13 m
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a* Sin 50o = 12*Sin 25o
a = 6,62 m
Exemple 6 :
La mesure de l’angle A = 40o
Déterminer la mesure de l’angle B et l’angle C ?
Selon la loi des sinus :
Sin 40o = Sin B = Sin C
20
25
7
25* Sin 40o = 20* Sin B
Sin B = 0,8034
Donc l’angle B= 53,46o
Comme l’angle B est obtus ( > 90o ), la valeur de l’angle
= 180o - 53,46o
L’angle B = 126,54o
L’angle C = 180o – 126,54o - 40o = 13,46o
Preuve
Sin 126,54o = Sin 53,46o
0,8034
= 0,8034
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Loi des cosinus
a2 = b2 + c2 – 2*b*c*CosA
b2 = a2 + c2 – 2*a.*c*CosB
c2 = a2 + b2 – 2*a*b*CosC
ou
ou
On peut isoler l’angle pour obtenir :
CosA = b2 + c2 – a2
2*b*c
ou CosB = a2 + c2 – b2
2*a*c
ou CosC = a2 + b2 – c2
2*a*b
Exemple 7 :
La mesure de l’angle A = 23o
Richard Poulin, enseignant
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Déterminer la mesure du coté a ?
La loi des cosinus :
a2 = b2 + c2 - 2*b*c*Cos A
a2 = 92 + 52 - 2*9*5*Cos 23 o
a = 4,8 cm
Note : Pour les autres mesures manquantes, il est plus simple d’utiliser
la loi des sinus car elle est beaucoup plus facile.
Exemple 8 :
Trouver la mesure de l’angle C ?
Cos C = a2 + b2 - c2
2*a*b
Cos C = 11,42 + 18,92 - 12,3
2 * 11,4 * 18,9
Cos C = 0,7794
La mesure de l’angle C = 30,79o
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¾ Angle d’élévation et de dépression.
Les angles d’élévation et de dépression sont toujours donnés
par rapport à l’horizontale.
ÉLÉVATION
DÉPRESSION
Processus de décision
Est-ce que le triangle
est rectangle ?
oui
non
J’utilise
•
•
Pythagore
Fonctions trigonométriques(sin, cos et tan)
J’utilise
Loi des sinus
oui
Est-ce que je
connais la
mesure d’un
angle et son côté
plus un côté ou
un angle ?
non
J’utilise
Loi des cosinus
Richard Poulin, enseignant
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