TD 1 Arithmétique.

ESTIA UNIV 08.10.08
TD 1
Arithmétique.
1.Division euclidienne dans Z, identité de Bezout et applications.
Exercice 1 :
(1) Soit nun entier naturel. Effectuer la division euclidienne de 3n+ 1 par 2n.
(2) Est-ce que 3n+ 1 et 2nsont premiers entre eux ?
Exercice 2 : Résolution d’équations diophantiennes.
(0) Calculer le pgcd de 270 et 105 et trouver un couple (u,v) d’entiers réali-
sant l’identité de Bezout entre ces deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide
étendu.
(1) Même question pour les nombres 41 et 11.
(2) Déterminer l’ensemble des couples (x,y) de Z2tels que :
11x+41y=4.
(3) En s’inspirant de (1) et (2), déterminer l’ensemble des couples (x,y) de Z2
tels que :
12x+ 3y= 21
8x+ 30y= 7
(4) Décrire une méthode générale de résolution d’équations diophantiennes du
type ax +by =cavec aet bpremiers entre eux.
Exercice 3 :
(1) En utilisant la question (1) de l’exercice 2 trouver l’inverse de 41 (resp. 11)
dans Z/11Z(resp. Z/41Z).
(2)
(i) Soit nun entier naturel. Caractériser les éléments inversibles de l’anneau
Z/nZ.Que peut-on dire si nest premier ?
(ii) Déterminer les éléments inversibles de Z/20Z.
(iii) Résoudre dans (Z/20Z)2le système
4x+7y=10 (mod 20)
5x+14y=18 (mod 20)
(3) Résoudre l’équation x2= 1 dans Z/19Z,puis dans Z/58Z.
Exercice 4.
(ii) Trouver l’ensemble des entiers k∈Zvérifiant les 3 propriétés suivantes :
(a) k−1est divisible par 4,
(b) k+ 3 est divisible par 5,
(c) k−2est divisible par 7
Exercice 5. Soient met ndeux entiers naturels premiers entre eux avec m≥2
et n≥2. Pour x∈Z, on désigne par ˙xla classe de xdans Z/nmZ,par xla
classe de xdans Z/mZet par ˜xla classe de xdans Z/nZ. Pour x∈Z, on pose
ϕ( ˙x)=(x,˜x);ϕest donc une application de Z/nmZvers (Z/mZ)×(Z/nZ).
1. a. Vérifier que pour tous x, y ∈Z, on a ϕ( ˙x+ ˙y) = ϕ( ˙x) + ϕ(˙ y).
1

2
b. Montrer que ϕest injective.
2. a(révision du cours)
Soient uet vdeux éléments de Ztels que :
mu +nv = 1
Montrer que pour (a, b)∈Z2,x0=bmu +avn est solution dans Zdu système
(S)x≡a mod m
x≡b mod n
b. Montrer que x∈Zest solution de (S)si et seulement si x≡x0mod m
x≡x0mod n si
et seulement si x≡x0mod mn
(on pourra utiliser le théorème de Gauss).
Quel est alors l’ensemble solution de (S)?
3. Montrer que l’application ϕest surjective et est donc un isomorphisme de
groupes.
2.Primalité.
Exercice 1.
Calculer les décompositions en produits de facteurs premiers de 9800 et 3024.
En déduire le PGCD et le PPCM de 9800 et 3024.
Exercice 2.
Soit nun entier naturel.
Est-ce que n4+ 4 est un nombre premier ?
Exercice 3.
Si pest premier, montrer qu’il n’existe pas de rationnel xvérifiant x2=p.
En particulier la racine carrée de 2 n’est pas rationnelle.
Exercice 4.
Soit nun entier naturel non nul. Montrer que si 2n-1 est premier alors nest
premier.
Exercice 5.
Pour tout n∈N, montrer qu’ il existe un couple unique (an, bn)∈N2tel que
(1 + √2)n=an+bn√2,an∧bn= 1.
Exercice 6.
(i) Montrer que pour tout couple d’entiers (x, n),1 + xdivise 1 + x2n+1.
(ii) En déduire que si 2m+ 1 est premier alors mest une puissance de 2.
Exercice 7.
Soit n≥2un entier. On pose m= 1+n!.Montrer que tous les diviseurs premiers
de msont strictement supérieurs à n. En déduire qu’il existe une infinité de nombres
premiers.