Probl`emes d`arithmétique 2

Universit´e Joseph Fourier, Grenoble.
L2 MAT235.
Probl`emes d’arithm´etique 2
Probl`eme 1 Dans cet exercice nous ´etudions les puissances du nombre 5 modulo
36.
a. En employant le th´eor`eme d’Euler, montrer que
512 ≡1(mod 36).
b. Trouver le reste du nombre 541 apr`es division par 36
c. Trouver le plus petit nombre k∈N∗tel que 5k≡1(mod 36).
d. Trouver tous les nombres n∈N∗tels que 5n≡17(mod 36).
Probl`eme 2 Le but de cet exercice est de d´emontrer l’existence d’un nombre
infini de premiers congrus `a 3 modulo 4.
a. Soit n∈N∗tel que n≡3(mod 4). D´emontrer qu’il existe un nombre pre-
mier ptel que p≡3(mod 4) qui divise n.
b. Soient k∈N∗et p1,...,pkdes nombres premiers congrus `a 3 modulo 4.
D´emontrer que le nombre n= 4p1. . . pk−1 admet un facteur premier pcongru
`a 3 modulo 4.
c. D´emontrer que p6=pipour i= 1,...,k et en d´eduire qu’il existe une infinit´e
de nombres premiers congrus `a 3 modulo 4.
Probl`eme 3 On propose de d´eterminer les entiers npour lesquels 4n2+ 3 est
un multiple de 13.
a. D´emontrer que 13|4n2+3 si et seulement si nest une solution de la congruence
4n2≡10 (mod 13).
b. Trouver les solutions de la congruence
4x≡10 (mod 13),
c. D´eterminer les entiers npour lesquels 4n2+ 3 est un multiple de 13.
Probl`eme 4 Un nombre n∈N\ {0,1}est dit de Carmichael si nn’est pas
premier et bn−1≡1(mod n) pour tout nombre b∈Ztel que b∧n= 1. Le but
de cet exercice est de d´emontrer que 560 est un nombre de Carmichael.
a. D´emontrer que si b∧561 = 1, alors b∧3 = 1, b∧11 = 1 et b∧17 = 1.
(Indication : 561 = 3 ×11 ×17.)
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b. En d´eduire que b560 est une solution du syst`eme de congruences
x≡1 (mod 3)
x≡1 (mod 11)
x≡1 (mod 17).
c. En utilisant le th´eor`eme chinois, d´emontrer que 561 est un nombre de
Carmichael.
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