TD : Primalité - Factorisation

TD : Primalité - Factorisation
Christophe Ritzenthaler
Exercices
1. Montrer que P
le nombre qui s’écrit en base 10 d1 . . . dk est divisible par 11 si et
seulement si ki=1 (−1)k−i di est divisible par 11.
2. Calculer 22005 (mod 7).
3. Soient p et q deux nombres premiers distincts. A-t-on
pq−1 + q p−1 ≡ 1
(mod pq)?
Q
e(p )
4. Montrer que si n = ki=1 pi i (pi premiers distincts) est impair, le nombre de
solutions de x2 ≡ 1 (mod n) est 2k .
5. Montrer le théorème suivant: p est premier si et seulement si
(p − 1)! ≡ −1
(mod p).
Pensez-vous que cela constitue un test de primalité efficace ? Justifier en proposant
une complexité pour l’algorithme.
Le test de Lucas-Lehmer
Nous allons étudier un test adapté aux nombres de Mersennes Mp = 2p − 1 où p est un
nombre premier impair.
• pourquoi 2 et p seulement ?
On définit la suite
s0 = 4,
si+1 = s2i − 2.
On va montrer que Mp est premier si et seulement si sp−2 ≡ 0 (mod Mp ).
• Donner une estimation de la complexité.
1
Remarque 1. En fait, des astuces permettent d’améliorer l’algorithme. Par exemple,
on a
k ≡ (k (mod 2n )) + bk/2n c (mod 2n − 1).
Si les opérations sont réalisées en binaire, la réduction s’effectue très rapidement. On
peut montrer que la complexité est en O(p2 log p log log p), ce qui est même mieux que
l’algorithme de Rabin (qui n’est que probabiliste !).
√
√
Faisons maintenant la preuve du théorème. Soit ω = 2 + 3 et ω = 2 − 3.
i
i
• Vérifier par récurrence que si = ω 2 + ω 2 .
• Supposons que sp−2 ≡ 0 (mod Mp ), i.e. il existe k tel que sp−2 = kMp . Montrer
p−1
p−2
que ω 2
= kMp ω 2
− 1.
Supposons
√ impair de Mp
pque Mp n’est pas premier et soit q un facteur premier
tel que q ≤ Mp . Considérons maintenant le monoı̈de X = {a + b 3|a, b ∈ Z/qZ}
avec la multiplication évidente. Soit X ∗ le groupe des éléments inversibles de X. On a
facilement #X ∗ ≤ q 2 − 1.
• Montrer que ω est dans X ∗ et que son ordre est 2p .
• Conclure.
Supposons maintenant que Mp est premier.
• Montrer que Mp ≡ 7 (mod 12) et que le symbole de Legendre
3
Mp
= −1.
• Montrer en revanche que 2 est un résidu quadratique modulo Mp (on montrera directement que 2 est un carré modulo Mp en partant du fait que 2p ≡ 1 (mod Mp )).
√
√
Soit σ = 2 3 et X ∗ défini comme précédemment pour le monoı̈de X = {a+b 3|a, b ∈
Z/Mp Z}.
• Montrer que (6 + σ)Mp = 6 − σ dans X ∗ .
• Montrer que ω = (6 + σ)2 /24 et montrer que ω (Mp +1)/2 = −1 dans le groupe X ∗
(on utilisera le fait que 24(Mp −1)/2 = (2(Mp −1)/2 )3 · 3(Mp −1)/2 ).
• Conclure en multipliant chaque membre de l’égalité par ω (Mp +1)/4 .
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