Pourcentages Première ES Formulaire maths

Première ES Formulaire maths
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Pourcentages
Pourcentage d’une partie par rapport à un tout
Soit A une partie d’un ensemble E. Si n
E
et n
A
sont es nombres d’éléments de E et de A, la proportion des éléments de A
par rapport à E est le quotient p = n
A
n
E
.
Pourcentage d’évolution : Une grandeur évolue d’une valeur Q
1
à une valeur Q
2
.
• Le rapport Q
2
– Q
1
Q
1
s’appelle le taux d’évolution (ou la variation relative) de Q
1
à Q
2
.
• Soit t tel que Q
2
– Q
1
Q
1
= t
100. On dit t% est le pourcentage d’évolution (ou taux d’ évolution) de Q
1
à Q
2.
Augmenter Q de t%, c’est lui ajouter Q×t
100. Augmenter de t% Q, c’est multiplier Q par le nombre 1 + t
100.
Diminuer Q de t%, c’est lui enlever Q×t
100. Diminuer de t% Q, c’est multiplier Q par le nombre 1 – t
100.
Evolutions successives
Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux t
1
% puis une évolution relative de taux t
2
%, alors cette quantité
est multipliée par 
1 + t
1
100
× 1 + t
2
100
.
Evolutions réciproques
On définit deux évolutions réciproques : celle de Q
1
à Q
2
et celle de Q
2
à Q
1
. On désigne par t% le taux d’évolution de Q
1
à
Q
2
et par t’% celui de Q
2
à Q
1
.
On a alors : 
1 + t
100
× 1 + t'
100
 = 1. On dit que t’% est le taux réciproque du taux t%.
Indices
Définir l’ «indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur Q
1 »
c’est associer à Q
1
la valeur I
1
= 100 et à Q
2
la
valeur I
2
telles que I
1
et I
2
sont proportionnelles à Q
1
et Q
2
.
Les taux d’évolutions relatives pour la quantité Q et les taux d’évolutions relatives pour l’indice I sont égaux.
Second degré
Forme canonique d’un polynôme du second degré : f(x) = ax² + bx + c
Le réel b² - 4ac, noté ∆, est appelé discriminant du polynôme ax² + bx + c
a(x - α)² + β est la forme canonique du polynôme ax² + bx + c. On montre que α = - b
2a et β = - ∆ 4a. et f(x) = a
x + b
2a
² - ∆
4a.
Résolution de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0
• Si ∆ > 0, l’équation du second degré a deux solutions distinctes : x
1
= -b - ∆
2a et x
2
= -b + ∆
2a .
• Si ∆ = 0, l’équation du second degré a une seule solution : x
0
= - b
2a.
• Si ∆ < 0, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle.
Factorisation d’un polynôme du second degré
• Si ∆ > 0 : f(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
), où x
1
et x
2
sont les racines de ce polynôme.
• Si ∆ = 0 : f(x) = a(x – x
0
)², où x
0
est la racine double de ce polynôme.
• Si ∆ < 0 : f(x) ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré.
Signe d’un polynôme du second degré
• Si ∆ > 0 : f(x) s’annule pour x = x
1
et pour x = x
2
(on suppose x
1
< x
2
), alors :
- le signe de f(x) est le signe contraire de celui de a si x est compris entre les racines.
- le signe de f(x) est du signe de celui de a si x n’est pas compris entre les racines.
x
-
∞
x
1
x
2
+
∞
ax² + bx + c
Signe de a
0
signe de (
-
a)
0
signe de a
• Si ∆ = 0, f(x) s’annule pour x = x
0
: son signe est celui de a pour x ≠ x
0
• Si ∆ < 0, f(x) a le même signe que a pour tout réel x.
Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré
Dans le plan rapporté à un repère, la représentation graphique de la fonction f définie par : f(x) = ax² + bx + c (avec a réel
non nul) est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées (α; β), où α = - b
2a et β = f(α).
Cette parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = α.
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Fonctions numériques
Fonctions de référence
Fonction affine f : x  ax + b
Si a > 0, alors f est croissante sur . Si a < 0, alors f est décroissante sur . Si a = 0, alors f est constante sur  .
Fonction carré f : x  x²
La fonction carré est décroissante sur ] - +∞ ;0] et croissante sur [0 ; + +∞[.
Sa représentation graphique est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
Fonction inverse f : x  1
x
La fonction inverse est décroissante sur ] - +∞ ;0[ et décroissante sur ]0 ; + +∞[.
Sa représentation graphique est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine du repère.
Fonction polynôme du second degré f : x  ax² + bx + c (a ≠ 0)
• Si a > 0, f est décroissante, puis croissante : elle admet un minimum en – b
2a.
• Si a < 0, f est croissante, puis décroissante : elle admet un maximum en – b
2a.
Sa représentation graphique est une parabole qui est symétrique par rapport à la droite d’équation x = - b
2a.
La fonction f définie par f : x  ax + b
cx + d avec c ≠ 0 est appelée fonction homographique.
Fonction racine carrée
La fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + +∞[ par f : x  x est appelée fonction racine carrée.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + +∞[.
Fonction cube
La fonction f définie par f : x  x
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est appelée fonction cube. Elle est définie sur .
La fonction cube est strictement croissante sur .
La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Dérivation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,  sa représentation graphique dans un repère et A, le point de  d’abscisse a.
Taux de variation – Nombre dérivé
Le taux de variation de la fonction f entre a et b, avec a ≠ b, est le quotient f(b) – f(a)
b - a .
Avec b = a + h et h ≠ 0, ce quotient s’écrit (h) = f(a + h) – f(a)
h. Nombre dérivé en a : f’(a) = lim
h→0
f(a+h) - f(a)
h
Tangente en un point à une courbe
Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe  la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur
le nombre dérivé f’(a).
Equation de la tangente à  au point d’abscisse a : y = f’(a)(x – a) + f(a)
Dérivée des fonctions usuelles
Fonctions affines
f(x) = mx + p
f’(x) = m
Fonctions p
uissances
f(x) = x
n
f’(x) = nx
n
-
1
Fonction inverse f(x) =
1
x f’(x) = -
1
x²
Fonction racine carrée f(x) = x f’(x) =
1
2 x
Dérivées et opérations : Soient u et v deux
fonctions dérivables sur un intervalle I et k un
nombre réel.
(u + v)’ = u’ + v’ (uv)’ = u’v + uv’. (ku)’ = ku’.
(u²)’ = 2u’u.
1
v ’= - v’
v².
u
v ’= u’v – uv’
v² .
Applications de la dérivation
Signe de la dérivée
Si f est croissante sur I, alors f’ ≥ 0 sur I.
Si f est décroissante sur I, alors f’ ≤ 0 sur I.
Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I.
Si f’ ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I.
Si f’ ≤ 0 sur I ; alors f est décroissante sur I.
Si f’ = 0, alors f est constante sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a appartenant à I.
Extremum d’une fonction
f admet un maximum sur I, atteint en c, signifie que pour tout x de I, f(x) ≤ f(c). M = f(c) est le maximum de f sur I.

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Extremum local et dérivée
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Suites numériques
Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel.
L’image par u d’un entier naturel n est notée u
n
et se lit « u indice n ». u
n
est le terme général de la suite.
Modes de générations de suites
Une suite peut être définie :
• à partir d’une fonction f de la variable n : u
n
= f(n).
• à partir d’une relation de récurrence : (u
n
) est alors définie par son premier terme et une relation permettant de
calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.
Sens de variation d’une suite
• La suite u est croissante si, pour tout n, u
n+1
≥ u
n
.
• La suite u est décroissante si, pour tout n, u
n+1
≤ u
n
.
• La suite u est constante si, pour tout n, u
n+1
= u
n
.
• Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
Les suites arithmétiques
Une suite (u
n
) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r, appelée
raison. Pour tout entier naturel n, on a u
n+1
= u
n
+ r.
Le terme général d’une suite arithmétique u de premier terme u
0
et de raison r est : u
n
= u
0
+ n×r
Pour une suite arithmétique (u
n
), la variation absolue u
n+1
– u
n
est constante.
La variation absolue d’une suite arithmétique étant constante, on dit que l’évolution est linéaire.
Sens de variation des suites arithmétiques
Soit (u
n
) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite (u
n
) est croissante ; Si r < 0, la suite (u
n
) est décroissante. Si r = 0, la suite (u
n
) est constante.
Les suites géométriques
Une suite (u
n
) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q,
appelée la raison. Pour tout entier naturel n, u
n+1
= q×u
n
.
Le terme général d’une suite géométrique u de raison q et de premier terme u
0
est : u
n
= u
0
×q
n
.
Si (u
n
) est une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative v
n+1
– v
n
v
n
est constante.
La variation relative d’une suite géométrique étant constante, on dit que l’évolution est exponentielle.
Sens de variation des suites géométriques Soit q un réel strictement positif.
• Si q > 1, la suite géométrique de ( q
n
) est croissante. Si q = 1, la suite géométrique de (q
n
) est constante.
• Si 0 < q < 1, la suite géométrique de terme général q
n
est décroissante.
Probabilités : variables aléatoires
Variable aléatoire
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces
réels est l’ensemble des valeurs prises par X.
Evénements liés à une variable aléatoire
L’événement « X = x
i
» est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel x
i
.
L’événement « X ≥ x
i
» est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à x
i
.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
La probabilité de l’événement « X = x
i
» est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre x
i
.
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La loi de probabilité de la
variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = x
i
), où x
i
prend toutes les valeurs de E’.
Propriété d’une variable aléatoire : espérance mathématique
P(X = x
1
) + P(X = x
2
) + …. + P(X = x
r
) = 1 ou p
1
+ p
2
+ …. + p
r
= 1
Espérance mathématique d’une variable aléatoire
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x
1
; x
2
; …….x
r
avec les probabilités associées p
1
,
p
2
, ……, p
r
est le nombre réel, noté E(X), donné par : E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ ….. + x
r
p
r.
Modélisation d’expériences identiques et indépendantes
Expérience à deux issues A et A (p + q = 1) Expérience à trois issues A, B et C (p + q + r = 1)
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Expériences indépendantes
Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.
Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes
Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de
résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Loi binomiale et applications
Loi de Bernoulli
La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec
est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de
paramètre p.
x
i
0
1
P(X = x
i
)
1
-
p
p
Soit X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors E(X) = p.
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p
s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de
succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. On la note (n,p).
Coefficients binomiaux
Le coefficient binomial
n
k est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de
Bernoulli.
Calcul pratique des coefficients binomiaux
Casio
Texas
Tableur
OPTN
;
PROB
;
nCr
MATH
,
PRB
,
Combinaison
COMBIN()
Syntaxe
n
nCr
k
n
Combinaison
k
=COMBIN(n
;k)
Formule générale de la loi binomiale
P(X = k) =
n
k×p
k
×q
n-k
, où q = 1 – p.
Calcul pratique de P(X = k) et P(X ≤ k)
Casio
Texas
Tableur
OPTN
STAT
DIST
B
INM
Bpd
Bcd
DISTR
,
binomFdp
binomFrép
F
onction
L
OI.BINOMIALE()
P(X = k)
BinomialPD(k,n,p)
BinomFdp(n,p,k)
=LOI.BINOMIALE(k
;n
;p
;FAUX)
P(X
≤
k)
BinomialCD(k,n,p)
BinomFRép(n,p,k)
=LOI.BINOMIALE(k
;n
;p
;VRAI)
Espérance mathématique
L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est n×p.
Intervalle de fluctuation
Intervalle de fluctuation au coefficient 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de
taille n, d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est 
a
n ; b n 
, où a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) ≥ 0,025
et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975.
Statistiques
Ecart interquartile
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q
1
;Q
3
]. L’écart interquartile est la différence Q
3
– Q
1
.
L’intervalle interquartile contient environ 50% des valeurs de la série.
Définition de la variance et de l’écart-type : Diagramme en boîte
On considère la série statistique ci-dessous :
V
aleurs
x
1
x
2
…
x
p
To
tal
Effectifs
n
1
n
2
….
n
p
N
Moyenne : x = n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ …. + n
p
x
p
N Variance : V = 1 N 
n
1
(x
1
– x )² + n
2
(x
2
– x )² + … + n
p
(x
p
– x )² 
Ecart-type : σ = V.