Pourcentages Première ES Formulaire maths

Première ES
Formulaire maths
Première ES
Pourcentages
Fonctions numériques
Pourcentage d’une partie par rapport à un tout
Fonctions de référence
Soit A une partie d’un ensemble E. Si nE et nA sont es nombres d’éléments de E et de A, la proportion des éléments de A
nA
par rapport à E est le quotient p = .
nE
Fonction affine f : x
•
.
Si a < 0, alors f est décroissante sur
Q2 – Q1
s’appelle le taux d’évolution (ou la variation relative) de Q1 à Q2.
Q1
Q – Q1
t
Soit t tel que 2
=
. On dit t% est le pourcentage d’évolution (ou taux d’ évolution) de Q1 à Q2.
Q1
100
Fonction polynôme du second degré f : x
•
Evolutions successives
•
Soit une quantité qui subit une évolution relative de taux t1% puis une évolution relative de taux t2%, alors cette quantité

t1  
t2 
est multipliée par 1 +
×1 +
.
100 
100

b
.
2a
b
Si a < 0, f est croissante, puis décroissante : elle admet un maximum en – .
2a
b
Sa représentation graphique est une parabole qui est symétrique par rapport à la droite d’équation x = - .
2a
On définit deux évolutions réciproques : celle de Q1 à Q2 et celle de Q2 à Q1. On désigne par t% le taux d’évolution de Q1 à
Q2 et par t’% celui de Q2 à Q1.

t  
t' 
On a alors : 1 +
×1 +
 = 1.
On dit que t’% est le taux réciproque du taux t%.
100 
100

Indices
Définir l’ «indice base 100 de cette grandeur correspondant à la valeur Q1 » c’est associer à Q1 la valeur I1 = 100 et à Q2 la
valeur I2 telles que I1 et I2 sont proportionnelles à Q1 et Q2.
Les taux d’évolutions relatives pour la quantité Q et les taux d’évolutions relatives pour l’indice I sont égaux.
Second degré
ax + b
avec c ≠ 0 est appelée fonction homographique.
cx + d
La fonction f définie par f : x
Fonction racine carrée
La fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + +∞[ par f : x
x est appelée fonction racine carrée.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + + ∞[.
Fonction cube
La fonction f définie par f : x
x3 est appelée fonction cube. Elle est définie sur .
La fonction cube est strictement croissante sur .
La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Dérivation
Forme canonique d’un polynôme du second degré : f(x) = ax² + bx + c
Le réel b² - 4ac, noté ∆, est appelé discriminant du polynôme ax² + bx + c
a(x - α)² + β est la forme canonique du polynôme ax² + bx + c. On montre que α = -
b
∆
 b ² - ∆ .
et β = - . et f(x) = a x +
 2a 4a
2a
4a
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
Taux de variation – Nombre dérivé
•
Si ∆ < 0, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle.
Avec b = a + h et h ≠ 0, ce quotient s’écrit (h) =
-b - ∆
-b + ∆
et x2 =
.
2a
2a
sa représentation graphique dans un repère et A, le point de
Le taux de variation de la fonction f entre a et b, avec a ≠ b, est le quotient
Résolution de l’équation du second degré ax² + bx + c = 0
Si ∆ = 0, l’équation du second degré a une seule solution : x0 = -
ax² + bx + c (a ≠ 0)
Si a > 0, f est décroissante, puis croissante : elle admet un minimum en –
Evolutions réciproques
•
f(a + h) – f(a)
.
h
Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe
le nombre dérivé f’(a).
Equation de la tangente à
•
•
•
Dérivée des fonctions usuelles
Fonctions affines 
f(x) = mx + p
Fonctions puissances
f(x) = xn
1
Fonction inverse
f(x) =
x
f’(x) = m
f’(x) = nxn-1
1
f’(x) = x²
Fonction racine carrée f(x) =
f’(x) =
Si ∆ > 0 : f(x) = a(x – x1)(x – x2), où x1 et x2 sont les racines de ce polynôme.
Si ∆ = 0 : f(x) = a(x – x0)², où x0 est la racine double de ce polynôme.
Si ∆ < 0 : f(x) ne peut pas se factoriser en facteurs du premier degré.
Signe d’un polynôme du second degré
Si ∆ > 0 : f(x) s’annule pour x = x1 et pour x = x2 (on suppose x1 < x2), alors :
- le signe de f(x) est le signe contraire de celui de a si x est compris entre les racines.
- le signe de f(x) est du signe de celui de a si x n’est pas compris entre les racines.
x
ax² + bx + c
•
•
-∞
Signe de a
x1
0
signe de (-a)
x2
0
d’abscisse a.
f(b) – f(a)
.
b-a
Nombre dérivé en a : f’(a) = lim
h→0
f(a+h) - f(a)
h
Tangente en un point à une courbe
b
.
2a
Factorisation d’un polynôme du second degré
•
.
1
x
La fonction inverse est décroissante sur ] - +∞ ;0[ et décroissante sur ]0 ; + + ∞[.
Sa représentation graphique est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine du repère.
t
t
Diminuer Q de t%, c’est lui enlever Q×
. Diminuer de t% Q, c’est multiplier Q par le nombre 1 –
.
100
100
Si ∆ > 0, l’équation du second degré a deux solutions distinctes : x1 =
Si a = 0, alors f est constante sur
Fonction inverse f : x
t
t
. Augmenter de t% Q, c’est multiplier Q par le nombre 1 +
.
100
100
•
.
x²
Fonction carré f : x
La fonction carré est décroissante sur ] - +∞ ;0] et croissante sur [0 ; + + ∞[.
Sa représentation graphique est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
Le rapport
Augmenter Q de t%, c’est lui ajouter Q×
ax + b
Si a > 0, alors f est croissante sur
Pourcentage d’évolution : Une grandeur évolue d’une valeur Q1 à une valeur Q2.
•
Formulaire maths
+∞
la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur
au point d’abscisse a : y = f’(a)(x – a) + f(a)
x
1
Dérivées et opérations : Soient u et v deux
fonctions dérivables sur un intervalle I et k un
nombre réel.
(u + v)’ = u’ + v’
(u²)’ = 2u’u.
(uv)’ = u’v + uv’.
(ku)’ = ku’.
1 ’= - v’ . u  ’= u’v – uv’.
v 
v 
v²
v²
2 x
Applications de la dérivation
signe de a
Si ∆ = 0, f(x) s’annule pour x = x0 : son signe est celui de a pour x ≠ x0
Si ∆ < 0, f(x) a le même signe que a pour tout réel x.
Signe de la dérivée
Si f est croissante sur I, alors f’ ≥ 0 sur I.
Si f est décroissante sur I, alors f’ ≤ 0 sur I.
Si f est constante sur I, alors f’ = 0 sur I.
Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré
Dans le plan rapporté à un repère, la représentation graphique de la fonction f définie par : f(x) = ax² + bx + c (avec a réel
b
non nul) est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées (α; β), où α = et β = f(α).
2a
Si f’ ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I.
Si f’ ≤ 0 sur I ; alors f est décroissante sur I.
Si f’ = 0, alors f est constante sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a appartenant à I.
Extremum d’une fonction
Cette parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation x = α.
f admet un maximum sur I, atteint en c, signifie que pour tout x de I, f(x) ≤ f(c). M = f(c) est le maximum de f sur I.
1
2
Première ES
Formulaire maths
Première ES
Formulaire maths
Extremum local et dérivée
Expériences indépendantes
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’a aucune influence sur le résultat de l’autre.
Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes
Suites numériques
Dans un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de
résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel.
L’image par u d’un entier naturel n est notée un et se lit « u indice n ». un est le terme général de la suite.
Modes de générations de suites
Loi binomiale et applications
Une suite peut être définie :
•
à partir d’une fonction f de la variable n : un = f(n).
•
à partir d’une relation de récurrence : (un) est alors définie par son premier terme et une relation permettant de
calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.
Loi de Bernoulli
La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec
est appelée variable aléatoire de Bernoulli.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de
paramètre p.
Sens de variation d’une suite
•
•
•
•
La suite u est croissante si, pour tout n, un+1 ≥ un.
La suite u est décroissante si, pour tout n, un+1 ≤ un.
La suite u est constante si, pour tout n, un+1 = un.
Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
1
p
Soit X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors E(X) = p.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p
s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de
succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. On la note (n,p).
Une suite (un) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r, appelée
raison. Pour tout entier naturel n, on a un+1 = un + r.
Le terme général d’une suite arithmétique u de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + n×r
Pour une suite arithmétique (un), la variation absolue un+1 – un est constante.
La variation absolue d’une suite arithmétique étant constante, on dit que l’évolution est linéaire.
Coefficients binomiaux
Le coefficient binomial
n 
k
est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de
Bernoulli.
Sens de variation des suites arithmétiques
Calcul pratique des coefficients binomiaux
Casio
OPTN ;
PROB ;
Syntaxe
n nCr k
Formule générale de la loi binomiale
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Si r > 0, la suite (un) est croissante ; Si r < 0, la suite (un) est décroissante. Si r = 0, la suite (un) est constante.
Les suites géométriques
Une suite (un) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q,
appelée la raison. Pour tout entier naturel n, un+1 = q×un.
Le terme général d’une suite géométrique u de raison q et de premier terme u0 est : un = u0×qn.
vn+1 – vn
Si (un) est une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative
est constante.
vn
P(X = k) =
Sens de variation des suites géométriques Soit q un réel strictement positif.
Si q > 1, la suite géométrique de ( qn) est croissante.
Si q = 1, la suite géométrique de (qn) est constante.
Si 0 < q < 1, la suite géométrique de terme général qn est décroissante.
nCr
Texas
MATH, PRB, Combinaison
n Combinaison k
Tableur
COMBIN()
=COMBIN(n ;k)
n ×pk×qn-k, où q = 1 – p.
k 
Calcul pratique de P(X = k) et P(X ≤ k)
Casio
OPTN STAT DIST BINM Bpd Bcd
P(X = k)
BinomialPD(k,n,p)
P(X ≤ k)
BinomialCD(k,n,p)
Espérance mathématique
La variation relative d’une suite géométrique étant constante, on dit que l’évolution est exponentielle.
Texas
DISTR, binomFdp binomFrép
BinomFdp(n,p,k)
BinomFRép(n,p,k)
Tableur
Fonction LOI.BINOMIALE()
=LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;FAUX)
=LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;VRAI)
L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est n×p.
Probabilités : variables aléatoires
Intervalle de fluctuation
Variable aléatoire
Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur E quand on associe un nombre réel à chaque issue de E. On dit que l’ensemble de ces
réels est l’ensemble des valeurs prises par X.
Intervalle de fluctuation au coefficient 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de
a b 
taille n, d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est  ; , où a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) ≥ 0,025
n n 
et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975.
Evénements liés à une variable aléatoire
Statistiques
L’événement « X = xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe le réel xi.
L’événement « X ≥ xi » est l’ensemble des issues de E auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à xi.
Ecart interquartile
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1 ;Q3]. L’écart interquartile est la différence Q3 – Q1.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
La probabilité de l’événement « X = xi » est la probabilité de l’événement formé de toutes les issues associées au nombre xi.
Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers fini E et E’ l’ensemble des valeurs prises par X. La loi de probabilité de la
variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités P(X = xi), où xi prend toutes les valeurs de E’.
L’intervalle interquartile contient environ 50% des valeurs de la série.
Propriété d’une variable aléatoire : espérance mathématique
On considère la série statistique ci-dessous :
P(X = x1) + P(X = x2) + …. + P(X = xr) = 1 ou p1 + p2 + …. + pr = 1
Définition de la variance et de l’écart-type :
Valeurs
Effectifs
Espérance mathématique d’une variable aléatoire
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 ; x2 ; …….xr avec les probabilités associées p1,
p2, ……, pr est le nombre réel, noté E(X), donné par : E(X) = x1p1 + x2p2 + ….. + xrpr.
x1
n1
Moyenne : x =
Modélisation d’expériences identiques et indépendantes
x2
n2
…
….
xp
np
Diagramme en boîte
Total
N
n1x1 + n2x2 + …. + npxp
N
Ecart-type : σ =
Expérience à deux issues A et A (p + q = 1)
0
1-p
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Les suites arithmétiques
•
•
xi
P(X = xi)
Variance : V =

1 
n1(x1 – x )² + n2(x2 – x )² + … + np(xp – x )² 
N

V.
Expérience à trois issues A, B et C (p + q + r = 1)
3
4