la fonction exponentielle
Terminale ES
Les fonctions exponentielles
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TES Les fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles x qx avec q > 0
q désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage
de points représentatif de la suite (qn).
Il existe une unique fonction f définie sur et qui satisfait aux
conditions suivantes :
1. la courbe représentative de f réalise un prolongement continu de
ce nuage;
2. f est dérivable sur ;
3. pour tous nombres réels x et y f(x + y) = f(x) f(y)
(On dit qu’il s’agit d’une relation fonctionnelle).
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle de base q.
On note pour tout nombre réel x, f(x) = qx.
Propriété - Définition
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I Fonction exponentielle de base q
q0 = 1 q1 = q q-1 =
Cas particuliers
TES Les fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles x qx avec q > 0
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II Conséquences de la relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels x et y, la relation fonctionnelle se traduit par : qx+y = qx qy .
Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits.
Conséquences :
•=
et =
.
En effet, qx-x = qx q-x = 1; donc q-x 0 et =
.
•qx > 0.
En effet,
=
=
et 0
•
et en particulier
En effet, =
et qx > 0.
•Pour tout entier naturel n, (qx)n = qnx = (qn)x
TES Les fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles x qx avec q > 0
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III Sens de variation
Le sens de variation de la fonction x qx est le même que celui de la
suite géométrique associée.
•Si 0 < q < 1, la fonction x qx est strictement décroissante sur .
•Si q = 1, la fonction x qx est constante sur .
•Si q > 1, la fonction x qx est strictement croissante sur .
Propriétés
Conséquence :
Si q 1, alors pour tous nombres réels a et b :
qa = qb a = b
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