la fonction exponentielle

Terminale ES
Les fonctions exponentielles
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Les fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles x  qx avec q > 0
I Fonction exponentielle de base q
Propriété - Définition
q désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage
de points représentatif de la suite (qn).
Il existe une unique fonction f définie sur  et qui satisfait aux
conditions suivantes :
1. la courbe représentative de f réalise un prolongement continu de
ce nuage;
2. f est dérivable sur ;
3. pour tous nombres réels x et y f(x + y) = f(x)  f(y)
(On dit qu’il s’agit d’une relation fonctionnelle).
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle de base q.
On note pour tout nombre réel x, f(x) = qx.
Cas particuliers
q0
=1
q1
=q
q-1
1
=
𝑞
2
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Les fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles x  qx avec q > 0
Cas q > 1
Cas 0 < q < 1
Points rouges : représentation graphique de la suite (qn).
Courbe noire : représentation graphique de la fonction x  qx.
Lien vers une animation Géogebra
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Les fonctions exponentielles x  qx avec q > 0
II Conséquences de la relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels x et y, la relation fonctionnelle se traduit par : qx+y = qx  qy .
Les fonctions exponentielles transforment les sommes en produits.
Conséquences :
• 𝒒−𝒙 =
𝟏
𝒒𝒙
𝒙
𝒒
et 𝒒𝒙−𝒚 = 𝒚 .
𝒒
En effet, qx-x = qx  q-x = 1; donc q-x  0 et 𝑞 −𝑥 =
•
qx > 0.
En effet, 𝑞
𝑥
2
• 𝑞 =
En effet,
•
𝑥
=𝑞
𝑥 𝑥
+
2 2
𝑥
2
𝑥
2
=𝑞 𝑞 =
𝑞
𝑥
2
𝑞 𝑥 et en particulier 𝑞 0,5 =
𝑞𝑥
= 𝑞
𝑥
2
2
2
1
.
𝑥
et 𝑞 𝑥  0
𝑞
et qx > 0.
Pour tout entier naturel n, (qx)n = qnx = (qn)x
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Les fonctions exponentielles x  qx avec q > 0
III Sens de variation
Propriétés
Le sens de variation de la fonction x  qx est le même que celui de la
suite géométrique associée.
• Si 0 < q < 1, la fonction x  qx est strictement décroissante sur .
• Si q = 1, la fonction x  qx est constante sur .
• Si q > 1, la fonction x  qx est strictement croissante sur .
Conséquence :
Si q  1, alors pour tous nombres réels a et b :
qa = qb  a = b
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La fonction exponentielle x  ex
IV La fonction exponentielle x  ex
Propriété - Définition
Il existe une unique fonction x  qx qui admet pour nombre dérivé 1
en 0.
On note e la base de cette fonction exponentielle et e  2,718.
On dit que la fonction exponentielle de base e est la fonction
exponentielle. Elle se note exp : x  ex.
Cexp
T
Tangente en A(0,1) de coefficient
directeur égal à 1
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La fonction exponentielle x  ex
Conséquences :
•
La fonction exponentielle est dérivable sur  et exp’(0) = 1.
•
exp(0) = e0 = 1 exp(1) = e1 = e
•
Pour tout réel x, ex > 0.
•
La fonction exponentielle est strictement croissante sur  (car e > 1).
exp(-1) = e-1 =
1
𝑒
exp(0,5) = e0,5 =
𝑒
On en déduit que pour tous réels a et b :
ea = eb  a = b
ea < eb  a < b
Propriétés algébriques :
Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n
𝑒
𝑥+𝑦
𝑒 𝑥−𝑦
𝑥
= 𝑒 × 𝑒
=
𝑒𝑥
𝑒𝑦
𝑦
𝑥
2
𝑒 =
𝑒𝑥
𝑛
𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 =
= 𝑒 𝑛𝑥
:
1
𝑒𝑥
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La fonction exponentielle x  ex
V Dérivée de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée.
Ainsi, pour tout réel x, exp’(x) = ex.
Démonstration
a désigne un nombre réel.
Le nombre dérivé en a de la fonction exponentielle est égal à la limite quand h
tend vers 0 de t(h) =
𝑒 𝑎+ℎ −𝑒 𝑎
ℎ
=
𝑒 𝑎 ×𝑒 ℎ − 𝑒 𝑎
ℎ
= 𝑒𝑎 ×
𝑒ℎ − 1
.
ℎ
Or comme exp’(0) =1, alors la limite quand h tend vers 0 du quotient 𝑒 ×
est égale à 1.
On en déduit que la limite de t(h) quand h tend vers 0 est égale à ea.
𝑎
𝑒ℎ − 1
ℎ
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La fonction exponentielle x  ex
VI Courbe représentative de la fonction exponentielle
•
Tableau de variation de la fonction exponentielle :
x
-
0
exp’
exp
1
+
Cexp
T1
+
1
e
•
Equation de la tangente T0 à Cexp au point A(0,1) :
exp’(0) = 1 donc T0 : y = 1(x – 0) + 1, soit y = x + 1
•
Equation de la tangente T1 à Cexp au point B(1,e) :
exp’(1) = e donc T1 : y = e(x – 1) + e, soit y = ex
T0
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Fonction x  eu(x)
Notation : u désigne une fonction définie sur un intervalle I.
La fonction x  exp(u(x)) définie sur I est notée eu.
VII Fonction dérivée de x  eu(x)
Propriété
Si la fonction u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction
x  eu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I :
(eu)’(x) = u’(x)  eu(x).
Conséquence :
Les fonctions u et eu ont le même sens de variation sur l’intervalle I.
En effet, comme pour tout réel x de I eu(x) > 0 alors (eu)’(x) et u’(x) ont le même
signe.
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Fonction x  eu(x)
VIII Exemples types
Exemple 1 : les fonctions fk : x  e-kx avec k réel strictement positif.
Ces fonctions sont de la forme eu avec u(x) = - kx.
Elles sont donc dérivables sur  et pour tout x réel :
f‘k(x) = -ke-kx ; donc f’k(x) < 0 : les fonctions fk (avec k > 0) sont strictement
décroissantes sur .
x
-
0
fk ’
-
fk
1
+
Les courbes représentatives des
fonctions fk passent par le point A(0;1).
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Fonction x  eu(x)
Exemple 2 : les fonctions gk : x  e-kx² avec k réel strictement positif.
Ces fonctions sont de la forme eu avec u(x) = - kx².
Elles sont donc dérivables sur  et pour tout x réel :
g‘k(x) = -2kxe-kx² ; Or 2e-kx² > 0 donc g’k(x) a le même signe que –x.
les fonctions gk (avec k > 0) sont croissantes sur ]- ;0] et décroissantes sur [0;+ [.
x
gk’
gk
-
0
+
0
+
-
1
Les courbes représentatives des
fonctions gk sont symétriques par rapport
à l’axe des ordonnées.
(Ces fonctions sont donc paires.)
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