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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI
À rendre pour le Vendredi 20 Janvier
2
Devoir en temps libre no5 de Mathématiques
Pour tout (a, b) ∈ R , on pose :
2


a −a b
M (a, b) =  −a a b  .
b
b 0
L'ensemble des matrices de la forme M (a, b) avec (a, b) ∈ R est noté E.
Dans les parties A et B, l'espace R est muni de son produit scalaire usuel.
1) Justier que E est un sous-espace vectoriel de M (R). En donner une base et la dimension.
2) Pourquoi peut-on assurer sans calculs que M (a, b) est diagonalisable? Que peut-on dire de
plus?
3) Déterminer le polynôme caractéristique de M (a, b), puis, pour chacune des valeurs propres obtenues (non nécessairement distinctes), déterminer un vecteur propre associé, que l'on choisira
unitaire, et de première composante positive.
4) En déduire que M (a, b) = P DP , avec :
√
2
3
A. Généralités
3
T

2a √
0
0
0√ 
D= 0 b 2
0
0 −b 2

et


2
1
1
√
1
P =  − 2 √1
1 .
√
2
2 − 2
0
E
B. Matrices orthogonales de
5) Déterminer, parmi
les matrices√ M(a, b) de E, celles qui sont orthogonales.

−1 1 √2
1
6) On note A = 2 √1 √−1 2 .
2
2 0
Justier que l'endomorphisme ψ de R , admettant A pour matrice dans la base canonique, est
une isométrie vectorielle. En préciser la nature et les éléments caractéristiques.
R
Étant donné trois réels λ,a etb, on poseN =λI + M (a, b).
x
x
Pour tous vecteurs U =  y  et V =  y  de R , on pose alors φ(U, V ) = U N V .
z
z
On souhaite déterminer une condition nécessaire et susante portant sur λ, a et b, pour que φ
soit un produit scalaire sur R .
Selon l'usage, on convient d'identier une matrice carrée d'ordre 1 et son unique coecient.
7) Sans déterminer explicitement φ(U, V ), montrer que φ est une application à valeurs dans R,
bilinéaire et symétrique.
8) On pose Z = P U (P aété dénie
dans la partie A), et on note z , z et z les composantes

z
de Z , de sorte que Z =  z .
z
Montrer que φ(U, U ) = Z (λI + D)Z√= λ + 2az + λ + b√2z + λ − b√2z .
9) En déduire que si λ > max − 2a, |b| 2 , alors φ est un produit scalaire sur R .
10) Étudier la réciproque.
1/5
3
C. Construction de nouveaux produits scalaires sur
3
3
0
0
3
T
0
3
T
1
2
3
1
2
3
T
3
2
1
2
2
2
3
3
Correction :
A. Généralités
1) Posons


1 −1 0
A =  −1 1 0 
0
0 0
et


0 0 1
B= 0 0 1 
1 1 0
∀a, b ∈ R,
. On constate que :
M (a, b) = aA + bB
Ainsi, E = Vect(A, B).
E est le sous-espace vectoriel de M (R) engendré par les matrices A et B .
Il est de plus évident que la famille (A, B) est libre dans M (R), donc :
(A, B) est une base de E et dim E = 2.
2) M (a, b) est une matrice symétrique réelle, donc d'après le théorème spectral :
∀a, b ∈ R, M (a, b) est diagonalisable.
Plus précisément :
Il existe une matrice P orthogonale telle que P M (a, b)P est diagonale.
3) Calculons le polynôme caractéristique de M (a, b), d'abord par des opérations sur les lignes et
les colonnes :
3
3
T
χM (a,b) (x) =
=
puis en développant :
x−a
a
−b
x − 2a
a
−b
a
x − a −b = 2a − x x − a −b
−b
−b
x
0
−b
x
x − 2a a −b
0
x −2b
0
−b x
(L2 ← L2 + L1 )
χM (a,b) (x) = (x − 2a)(x2 − 2b2 ) = (x − 2a)(x −
√ √
Sp M (a, b) = 2a, 2b, − 2b
On a alors
tinctes si et seulement si :
(C1 ← C1 − C2 )
√
2b)(x +
√
2b)
. Remarquons que les valeurs propres sont dis-
√
2a
=
6
±
√
√2b
2b 6= − 2b
√
b 6= ± 2a
b 6= 0
i.e.
On se place momentanément dans ce cas de gure pour déterminer les sous-espaces propres de
M (a, b) :
Cherchons E :
   
2a
x
0
−ax − ay + bz = 0
(M (a, b) − 2aI)  y  =  0  ⇐⇒
bx + by − 2az = 0
z
0
2
(b − 2a2 )z = 0 (bL1 + aL2 )
⇐⇒
bx + by − 2az = 0
z=0
⇐⇒
x = −y
b6=±2a
b6=0
Donc E
2a


1




−1
= Vect


0
.
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Classe de TSI
Cherchons E :
À rendre pour le Vendredi 20 Janvier
2
√
2b
√

  
2)x −
((a
−
b
x
0

√
√ay + bz = 0
(M (a, b) − 2bI)  y  =  0  ⇐⇒
−ax + (a −
b
√ 2)y + bz = 0

z
0
bx + by − 2bz = 0
√
√
 √
 (a 2 −
√ b)x + (b√− a 2)y = 0 (L3 + √2L1 )
⇐⇒
(b − a 2)x√+ ( 2a − b)y = 0 (L3 + 2L2 )

bx + by − 2bz = 0
x=√
y
⇐⇒
z = 2x
b6=±2a

b6=0


1


E√2b = Vect  √1 


2
E−√2b
√

   
x
0
 (a + b 2)x −√ay + bz = 0
√
(M (a, b) + 2bI)  y  =  0  ⇐⇒
−ax + (a +
√b 2)y + bz = 0

z
0
bx + by + 2bz = 0
√
√
√

+ a 2)y = 0 (L3 − √2L1 )
 (−a 2√− b)x + (b √
⇐⇒
(b + a 2)x√+ (−a 2 − b)y = 0 (L3 − 2L2 )

bx + by + 2bz = 0
x=y√
⇐⇒
z = − 2x
b6=±2a
Donc
Cherchons
.
:
b6=0


= Vect 


1


1
√

− 2
Donc E
.
On obtient alors, en choisissant pour chacun des sous-espaces propres un vecteur unitaire et
de première composante positive :
√
− 2b


1
1
X1 = √  −1 
2
0




1
1
1
1
1 
; X2 =  √1  ; X3 =  √
2
2
2
− 2
On vérie immédiatement que dans le cas général (c'est à dire lorsque les valeurs propres
ne sont pas nécessairement distinctes), les vecteurs X , √X et X √sont des vecteurs propres
unitaires associés respectivement aux valeurs propres 2a, 2b et − 2b.
4) En construisant la matrice P dont les colonnes sont les vecteurs X , X √et X , on en déduit :
1
2
3
1
M (a, b) = P DP T
, avec :
B. Matrices orthogonales de


2a √
0
0
0√ 
D= 0 b 2
0
0 −b 2
et
2
3


2
1
1
√
1
P =  − 2 √1
1 .
√
2
0
2 − 2
E
5) On sait que M (a, b) est orthogonale si et seulement si M (a, b) M (a, b) = I . Calculons donc :
T


2a2 + b2 −2a2 + b2
0

0
M (a, b)T M (a, b) = M (a, b)2 =  −2a2 + b2 2a2 + b2
2
2
0
0
2a + b
3/5
La condition est donc remplie si et seulement si :
b2 − 2a2 = 0
b2 + 2a2 = 1
M (a, b)
i.e.
2b2 = 1 L1 + L2
4a2 = 1 L2 − L1

1

 a=±
2
1

 b = ±√
2
i.e.
est orthogonale si et seulement a = ± 12 et b = ± √12 .
√ 
−1 1 √2
√
1
A =  √1 √
−1
2  = M (−1/2, 1/ 2)
2
2
2 0
A

6) Remarquons que
.
D'après la question précédente, on sait que est une matrice orthogonale, donc ψ est une
isométrie vectorielle. Par ailleurs :
√
√
−1 1 √2
0
0 2√ 2
1
1
det A =
=
1
−1
2
1 −1
2
8 √ √
8 √ √
2
2 0
2
2 0
√
√
1
=
×2 2×2 2=1
8
(L1 ← L1 + L2 )
Donc ψ est une rotation. Si w est un vecteur non nul de l'axe
√ on sait que ω
√ de cette rotation,
est un vecteur propre de ψ associé à la valeur propre 1√= 2b avec b = 1/ 2. On peut donc
choisir, à l'aide du résultat de la question 3, w = (1, 1, 2).
Si θ est l'angle de la rotation d'axe Rw orienté par w, on sait que :
Tr ψ = 2 cos θ + 1 = Tr A = −1
donc cos θ = −1, et θ = π.
est le demi-tour d'axe R(1, 1, √2).
Remarque : on sait (cf TD) qu'une matrice symétrique et orthogonale est une matrice de symétrie orthogonale. On aurait donc pu remarquer que la matrice A étant une matrice symétrique
et orthogonale, il ne pouvait s'agir que de la symétrie orthogonale par rapport à Rw.
ψ
R3
N = λI + M (a, b)
 0  3
x
V =  y0 
R3
z0
C. Construction de nouveaux produits scalaires sur
Étant donné trois réels λ,a etb, on pose
x
Pour tous vecteurs U =  y  et
z
.
de , on pose alors φ(U, V ) = U
T
NV
.
7) On rappelle qu'on identie à R l'espace vectoriel des matrices réelles à une ligne et une colonne.
Puisque U ∈ M (R) et N V ∈ M (R), alors :
T
1,3
3,1
φ(U, V ) = U T × (N V ) ∈ M1,1 (R) = R
Donc φ est une application à valeurs dans R, et ceci autorise l'écriture suivante :
φ(U, V ) = φ(U, V )T = U T N V
T
= V T NT UT
T
= V T N U = φ(V, U )
En eet N
T
= λI3T + M (a, b)T = λI3 + M (a, b) = N
. Ainsi :
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φ est une application symétrique.
Grâce à la symétrie, il sut alors d'avoir la linéarité à gauche pour avoir la bilinéarité :
2
φ(λU + µU 0 , V ) = (λU + µU 0 )T N V = (λU T + µU 0T )N V
= λU T N V + µU 0T N V = λφ(U, V ) + µφ(U 0 , V )
8) On pose Z = P
T
L'application φ est bilinéaire.
U , ce qui donne U = P Z (car P = P ), et :
T
−1
φ(U, U ) = φ(P Z, P Z) = (P Z)T N (P Z) = Z T (P T N P )Z
Par ailleurs, en utilisant le résultat de la question 4 :
P T N P = P T λI3 + M (a, b) P = λP T P + P T M (a, b)P = λI3 + D
On conclut :
√
√
φ(U, U ) = Z T (λI3 + D)Z = (λ + 2a)z12 + (λ + b 2)z22 + (λ − b 2)z32 .
9) Supposons λ > max
, alors :
√ √
√
− 2a, |b| 2 = max(−2a, b 2, −b 2)
λ + 2a > 0 ;
√
λ−b 2>0 ;
√
λ+b 2>0
D'où φ(U, U ) > 0, et :
√ √ φ(U, U ) = 0 =⇒ λ + 2a z12 = λ + b 2 z22 = λ − b 2 z32 = 0
=⇒ z1 = z2 = z3 = 0 =⇒ Z = 0 =⇒ U = 0.
est donc bilinéaire, symétrique et dénie positive, d'où :
Si λ > max − 2a, |b|√2, alors φ est un produit scalaire sur R .
10) On suppose λ 6 max − 2a, |b|√2. Alors on a par exemple λ 6 −2a, c'est à dire λ + 2a 6 0.
Soit :
   
1
0
φ
3
U = P  0  6=  0 
0
0
Il est immédiat que φ(U, U ) = λ + 2a 6 0, donc φ n'est pas dénie positive.
Si λ 6 max − 2a, |b|√2, alors φ n'est pas un produit scalaire sur R .
3
5/5