Produit scalaire, espaces euclidiens - Exo7

Exo7
Produit scalaire, espaces euclidiens
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exercice 1 ***
Pour A= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R),N(A) = Tr(tAA). Montrer que Nest une norme vérifiant de plus N(AB)6
N(A)N(B)pour toutes matrices carrées Aet B.Nest-elle associée à un produit scalaire ?
Correction H[005482]
Exercice 2 ***
Soit Eun Respace vectoriel de dimension finie. Soit || || une norme sur Evérifiant l’identité du parallè-
logramme, c’est-à-dire : ∀(x,y)∈E2,||x+y||2+||x−y||2=2(||x||2+||y||2). On se propose de démontrer
que || || est associée à un produit scalaire. On définit sur E2une application fpar : ∀(x,y)∈E2,f(x,y) =
1
4(||x+y||2−||x−y||2).
1. Montrer que pour tout (x,y,z)de E3,ona: f(x+z,y) + f(x−z,y) = 2f(x,y).
2. Montrer que pour tout (x,y)de E2,ona: f(2x,y) = 2f(x,y).
3. Montrer que pour tout (x,y)de E2et tout rationnel r,ona: f(rx,y) = r f (x,y).
On admettra que pour tout réel λet tout (x,y)de E2on a : f(λx,y) = λf(x,y)( ce résultat provient de
la continuité de f).
4. Montrer que pour tout (u,v,w)de E3,f(u,w) + f(v,w) = f(u+v,w).
5. Montrer que fest bilinéaire.
6. Montrer que || || est une norme euclidienne.
Correction H[005483]
Exercice 3 **IT
Dans R4muni du produit scalaire usuel, on pose : V1= (1,2,−1,1)et V2= (0,3,1,−1). On pose F=
Vect(V1,V2). Déterminer une base orthonormale de Fet un système d’équations de F⊥.
Correction H[005484]
Exercice 4 **
Sur R[X], on pose P|Q=R1
0P(t)Q(t)dt. Existe-t-il Aélément de R[X]tel que ∀P∈R[X],P|A=P(0)?
Correction H[005485]
Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM
Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension psur R(p>2). Pour (x1,...,xn)donné dans En, on pose
G(x1,..., xn) = (xi|xj)16i,j6n(matrice de GRAM) et γ(x1,...,xn) = det(G(x1,..., xn)) (déterminant de GRAM).
1. Montrer que rg(G(x1,..., xn)) = rg(x1,..., xn).
2. Montrer que (x1, ...,xn)est liée si et seulement si γ(x1,...,xn) = 0 et que (x1,...,xn)est libre si et seule-
ment si γ(x1,..., xn)>0.
1

3. On suppose que (x1, ...,xn)est libre dans E(et donc n6p). On pose F=Vect(x1,...,xn).
Pour x∈E, on note pF(x)la projection orthogonale de xsur Fpuis dF(x)la distance de xàF(c’est-à-
dire dF(x) = ||x−pF(x)||). Montrer que dF(x) = qγ(x,x1,...,xn)
γ(x1,...,xn).
Correction H[005486]
Exercice 6 **I
Soit aun vecteur non nul de l’espce euclidien R3. On définit fde R3dans lui même par : ∀x∈R3,f(x) =
a∧(a∧x). Montrer que fest linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image par f.
Correction H[005487]
Exercice 7 **I
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations 3x=6y=2zdans la base canonique orthonormée
de R3ainsi que de la symétrie orthogonale par rapport à cette même droite. De manière générale, matrice de la
projection orthogonale sur le vecteur unitaire u= (a,b,c)et de la projection orthogonale sur le plan d’équation
ax +by +cz =0 dans la base canonique orthonormée de R3.
Correction H[005488]
Exercice 8 **
E=R3euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe B. Etudier les endomorphismes de matrice
Adans Bsuivants :
1)A=−1
3
−212
2 2 1
1−2 2 
2/A=1
4
3 1 √6
1 3 −√6
−√6√6 2 
3/A=1
9
8 1 4
−4 4 7
1 8 −4
.
Correction H[005489]
Exercice 9 ***
Soit M=
a b c
c a b
bca
avec a,bet créels. Montrer que Mest la matrice dans la base canonique orthonormée
directe de R3d’une rotation si et seulement si a,bet csont les solutions d’une équation du type x3−x2+k=0
où 0 6k64
27 . En posant k=4 sin2ϕ 27 , déterminer explicitement les matrices Mcorrespondantes ainsi que les
axes et les angles des rotations qu’elles représentent.
Correction H[005490]
Exercice 10 **
Best une base orthonormée directe de R3donnée. Montrer que detB(u∧v,v∧w,w∧u) = (detB(u,v,w))2pour
tous vecteurs u,vet w.
Correction H[005491]
Exercice 11 ***I Inégalité de HADAMARD
Soit Bune base orthonormée de E, espace euclidien de dimension n. Montrer que : ∀(x1,..., xn)∈En,|detB(x1,...,xn)|6
||x1||...||xn|| en précisant les cas d’égalité.
Correction H[005492]
Exercice 12 **
Montrer que u∧v|w∧s= (u|w)(v|s)−(u|s)(v|w)et (u∧v)∧(w∧s) = [u,v,s]w−[u,v,w]s.
Correction H[005493]
2

Exercice 13 **I
Existence, unicité et calcul de aet btels que R1
0(x4−ax −b)2dx soit minimum (trouver deux démonstrations,
une dans la mentalité du lycée et une dans la mentalité maths sup).
Correction H[005494]
Exercice 14 ***
Soit (e1,..., en)une base quelconque de Eeuclidien. Soient a1,..., annréels donnés. Montrer qu’il existe un
unique vecteur xtel que ∀i∈ {1,...,},x|ei=ai.
Correction H[005495]
Exercice 15 ****
Soit Eun espace vectoriel euclidien de dimension n>1. Une famille de pvecteurs (x1,...,xp)est dite obtu-
sangle si et seulement si pour tout (i,j)tel que i6=j,xi|xj<0. Montrer que l’on a nécessairement p6n+1.
Correction H[005496]
Exercice 16 ***
Soit P∈R3[X]tel que R1
−1P2(t)dt =1. Montrer que sup{|P(x)|,|x|61}62. Cas d’égalité ?
Correction H[005497]
Exercice 17 **IT
Soit rla rotation de R3, euclidien orienté, dont l’axe est orienté par kunitaire et dont une mesure de l’angle
est θ. Montrer que pour tout xde R3,r(x)=(cos θ)x+ (sinθ)(k∧x) + 2(x.k)sin2(θ
2)k. Application : écrire la
matrice dans la base canonique (orthonormée directe de R3) de la rotation autour de k=1
√2(e1+e2)et d’angle
θ=π
3.
Correction H[005498]
Exercice 18 **
Soit fcontinue strictement positive sur [0,1]. Pour n∈N, on pose In=R1
0fn(t)dt. Montrer que la suite un=In+1
In
est définie et croissante.
Correction H[005499]
Exercice 19 ****I
Sur E=Rn[X], on pose P|Q=R1
−1P(t)Q(t)dt.
1. Montrer que (E,|)est un espace euclidien.
2. Pour pentier naturel compris entre 0 et n, on pose Lp= ((X2−1)p)(p). Montrer que Lp
||Lp||06p6nest
l’orthonormalisée de SCHMIDT de la base canonique de E.
Déterminer ||Lp||.
Correction H[005500]
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3

Correction de l’exercice 1 N
Posons ϕ:(A,B)7→ Tr(tAB). Montrons que ϕest un produit scalaire sur Mn(R).1ère solution. •ϕest
symétrique. En effet, pour (A,B)∈(Mn(R))2,
ϕ(A,B) = Tr(tAB) = Tr(t(tAB)) = Tr(tBA) = ϕ(B,A).
•ϕest bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition. •Si A= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R)\{0}, alors
ϕ(A,A) =
n
∑
i=1 n
∑
j=1
ai,jai,j!=∑
i,j
a2
i,j>0
car au moins un des réels de cette somme est strictement positif. ϕest donc définie, positive.
2ème solution. Posons A= (ai,j)et B= (bi,j). On a
Tr(tAB) = ∑n
j=1(∑n i=1ai,jbi,j) = ∑16i,j6nai,jbi,j.
Ainsi, ϕest le produit scalaire canonique sur Mn(R)et en particulier, ϕest un produit scalaire sur Mn(R).
Nn’est autre que la norme associée au produit scalaire ϕ(et en particulier, Nest une norme). Soit (A,B)∈
(Mn(R))2.
N(AB)2=∑
i,j n
∑
k=1
ai,kbk,j!2
6∑
i,j n
∑
k=1
a2
i,k! n
∑
l=1
b2
l,j!(d’après l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ)
=∑
i,j,k,l
a2
i,kb2 l,j= ∑
i,k
a2
i,k! ∑
l,j
b2
l,j!=N(A)2N(B)2,
et donc,
∀(A,B)∈(Mn(R))2,N(AB)6N(A)N(B).
Correction de l’exercice 2 N
1. Soit (x,y,z)∈R3.
f(x+z,y) + f(x−z,y) = 1
4(||x+z+y||2+||x−z+y||2−||x+z−y||2−||x−z−y||2)
=1
42(||x+y||2+||z||2)−2(||x−y||2+||z||2)=2f(x,y).
2. 2 f(x,y) = f(x+x,y) + f(x−x,y) = f(2x,y) + f(0,y)mais f(0,y) = (||y||2−||−y||2) = 0 (définition
d’une norme).
3. •Montrons par récurrence que ∀n∈N,f(nx,y) = n f (x,y). C’est clair pour n=0 et n=1. Soit n>0.
Si l’égalité est vraie pour net n+1 alors d’après 1),
f((n+2)x,y) + f(nx,y) = f((n+1)x+x,y) + f((n+1)x−x,y) = 2f((n+1)x,y),
et donc, par hypothèse de récurrence,
f((n+2)x,y) = 2f((n+1)x,y)−f(nx,y) = 2(n+1)f(x,y)−n f (x,y) = (n+2)f(x,y).
Le résultat est démontré par récurrence. •Soit n∈N∗,f(x,y) = fn×1
n.x,y=n f 1 nx,yet donc
f1
nx,y=1 nf(x,y).•Soit alors r=p q,p∈N,q∈N∗,f(rx,y) = 1 qf(px,y) = p1 qf(x,y) = r f (x,y)et
donc, pour tout rationnel positif r,f(rx,y) = r f (x,y). Enfin, si r60, f(rx,y)+ f(−rx,y) = 2f(0,y) = 0
(d’après 1)) et donc= f(−rx,y) = −f(−rx,y) = r f (x,y).
4

∀(x,y)∈E2,∀r∈Q,f(rx,y) = r f (x,y).
4. On pose x=1
2(u+v)et y=1 2(u−v).
f(u,w) + f(v,w) = f(x+y,w) + f(x−y,w) = 2f(x,w) = 2f1
2(u+v),w=f(u+v,w).
5. f est symétrique (définition d’une norme) et linéaire par rapport à sa première variable (d’après 3) et 4)).
Donc f est bilinéaire.
6. f est une forme bilinéaire symétrique. Pour x∈E,f(x,x) = 1
4(||x+x||2+||x−x||2) = 1 4||2x||2=||x||2
(définition d’une norme) ce qui montre tout à la fois que fest définie positive et donc un produit scalaire,
et que || || est la norme associée. || || est donc une norme euclidienne.
Correction de l’exercice 3 N
La famille (V1,V2)est clairement libre et donc une base de F. Son orthonormalisée (e1,e2)est une base ortho-
normée de F.||V1|| =√1+4+1+1=√7 et e1=1
√7V1=1 √7(1,2,−1,1).(V2|e1) = 1 √7(0+6−1−1) = 4 √7
puis V2−(V2|e1)e1= (0,3,1,−1)−4
7(1,2,−1,1) = 1 7(−4,13,11,−11)puis e2=1
√427 (−4,13,11,−11). Une
base orthonormée de Fest (e1,e2)où e1=1
√7(1,2,−1,1)et e2=1 √427 (−4,13,11,−11). Soit (x,y,z,t)∈R4.
(x,y,z,t)∈F⊥⇔(x,y,z,t)∈(V1,V2)⊥⇔x+2y−z+t=0
3y+z−t=0.
Correction de l’exercice 4 N
Soit Aun éventuel polynôme solution c’est à dire tel que ∀P∈R[X],R1
0P(t)A(t)dt =P(0).
P=1 fournit R1
0A(t)dt =1 et donc nécessairement A6=0. P=XA fournit R1 0tA2(t)dt =P(0) = 0. Mais alors,
∀t∈[0,1],tA2(t) = 0 (fonction continue positive d’intégrale nulle) puis A=0 (polynôme ayant une infinité de
racines deux à deux distinctes). An’existe pas.
Correction de l’exercice 5 N
1. Soit Bune base orthonormée de Eet M=MatB(x1, ...,xn)(Mest une matrice de format (p,n)). Puisque
Best orthonormée, le produit scalaire usuel des colonnes Ciet Cjest encore xi|xj. Donc, ∀(i,j)∈
[[1,n]]2,tCiCj=xi|xjou encore
G=tMM.
Il s’agit alors de montrer que rg(M) = rg(tMM). Ceci provient du fait que Met tMM ont même noyau.
En effet, pour X∈Mn,1(R),
X∈KerM⇒MX =0⇒tM×MX =0⇒(tMM)X=0⇒X∈Ker(tMM)
et
X∈Ker(tMM)⇒tMMX =0⇒tXtMMX =0⇒t(MX)MX =0⇒ ||MX||2=0⇒MX =0
⇒X∈KerM.
Ainsi, Ker(M) = Ker(tMM) = Ker(G(x1,...,xn)). Mais alors, d’après le théorème du rang, rg(x1,...,xn) =
rg(M) = rg(G(x1,...,xn)).
rg(G(x1,...,xn)) = rg(x1,...,xn).
5