Institut Galilée L2 SPI - ATS Algèbre 2 2010-2011 Feuille n◦3 3.1 Dans IR muni du produit scalaire usuel, appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt à la base (e , e , e ) où e = (1, 0, 0), e = (1, 1, 0), e = (1, 1, 1). 3.2 Dans IR on considère le plan P engendré par les vecteurs (1, 1, 1) et (1, 1, 0). 3 1 2 3 1 2 3 3 Construire une base orthonormale admettant deux vecteurs dans P . Quelles sont les coordonnées de x = (x1 , x2 , x3 ) dans cette nouvelle base ? 3.3 P. 3.4 Soit P le plan de IR3 orthogonal à (2, −3, 6). Trouver une base orthonormée de Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré ≤ 3. Pour P et Q dans E , on pose : Z 1 < P, Q >= P (x)Q(x)dx −1 1) Vérier qu'il s'agit d'un produit scalaire. 2) A l'aide de la base (1, X, X 2 , X 3 ) de E construire une base orthonormale. (Poly- nômes de Legendre) 3.5 Étant donnés les nombres réels x, y et z , on considère les vecteurs u = (1, 1, 1, 1) et v = (1 − x, x − y, y − z, z) de l'espace euclidien IR4 . 1) Calculer < u, v > . 2) Montrer, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que l'on a : 1 ≤ 4 (1 − x)2 + (x − y)2 + (y − z)2 + z 2 3) En se plaçant dans le cas où l'inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité, résoudre l'équation : 3.6 1 = (1 − x)2 + (x − y)2 + (y − z)2 + z 2 4 Soient x et y deux vecteurs de l'espace euclidien E . Montrer que x et y ont même longueur si, et seulement si, x + y et x − y sont orthogonaux. 3.7 Soit F un sous-espace de E . Soit x ∈ E . 1) Montrer qu'il existe un couple unique (y, z) de vecteurs tel que : x=y+z y∈F z⊥F On dit que y est la projection orthogonale de x sur F , notée pF (x) 2) Montrer que pF est une application linéaire. Montrer que pF ◦ pF = pF . pF est-elle une application orthogonale ? 3) Soit E = IR2 et F la droite d'équation y = x. Déterminer la matrice de pF dans la base canonique. 4) Même question avec E = IR3 et F le plan z = 0. 5) Même question avec E = IR3 et F le plan x + y + z = 0. 6) Soit E = IR2 et F la droite d'équation y = x. Déterminer la matrice de pF dans la base canonique. 7) Même question avec E = IR3 et F le plan z = 0. 8) Même question avec E = IR3 et F la droite {x = y, y = z}. 3.8 Soit F un sous-espace de E . Soit x ∈ E . x = pF (x) + y avec y⊥pF (x). On pose sF (x) = pF (x) − y = 2pF (x) − x. sF est la symétrie orthogonale par rapport à F . 1) Montrer que sF est une application linéaire. sF est-elle une application orthogonale ? 2) Soit E = IR2 et F la droite d'équation y = x. Déterminer la matrice de sF dans la base canonique. 3) Même question avec E = IR3 et F le plan z = 0. 4) Même question avec E = IR3 et F le plan x + y + z = 0. 5) Même question avec E = IR3 et F la droite {x = y, y = z}. 3.9 On munit IR4 du produit scalaire usuel. Soit H le sous-espace vectoriel d'équation x + y + z + t = 0 et soit p la projection orthogonale de IR4 sur H . 1) Pour tout vecteur u de IR4 , calculer ku − p(u)k. 2) Quelle est la matrice de p dans la base canonique de IR4 ? 3.10 On munit IR4 du produit scalaire usuel. Soit H le sous-espace vectoriel engendré par u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = (−2, 0, 1, 1) et u3 = (0, 1, 0, 1). 1) Montrer que H est un hyperplan de IR4 . Trouver une équation de H . 2) Trouver un vecteur unitaire orthogonal à H . 3) Soit s la symétrie orthogonale de IR4 par rapport à H . Quelle est la matrice de s dans la base canonique de IR4 ? 3.11 On munit IR4 du produit scalaire usuel. Soit P le plan engendré par (0, 1, 1, 1) et (1, 0, 1, 0). Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique de IR4 ? 3.12 On munit IR3 du produit scalaire usuel. Soit P le plan engendré par v1 = (1, −1, 2) et v2 = (1, 0, 1). Déterminer : 1) une équation de P , 2) une base orthonormale de P , 3) une base orthonormale de P ⊥ , 4) la projection orthogonale de (1, 1, 1) sur P . a b Soit M = une matrice orthogonale. Montrer que : c d 1) si ad − bc = 1 M est la matrice d'une rotation 2) si ad − bc = −1 M est la matrice d'une symétrie. 3.13 3.14 1 11 1 6 On considère les vecteurs de IR3 : v1 = √ (3, 1, 1), v2 = √ (−1, 2, 1) et 1 v3 = √ (−1, −4, 7) 66 1) Calculer les produits scalaires < vi , vj >. 2) Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse : 3 −1 −1 √ √ √ 11 6 66 1 2 −4 √ √ √ 11 6 66 1 1 7 √ √ √ 11 6 66 √ 3 1 − A = 2 √ 2 . 1 3 2 2 1) Montrer que A est orthogonale. Quel est sont déterminant ? 2) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de A. 3) Quelle est la nature géométrique de A ? 3.15 3.16 Les matrices suivantes sont elles orthogonales ? √ 3 1 2 − √2 1 3 − 2 2 √ 1 3 √2 − 2 3 1 2 2 √ √ 1 − 3 −2 3 √ 1 Soit A = −√3 3 −2 4 2 3 2 0 1) Montrer que A est la matrice d'une rotation. 2) Déterminer l'axe et la valeur absolue de l'angle de rotation. 3.17 3.18 Mêmes questions pour : √ 1 1 −√2 1 2 √1 √1 2 2 − 2 0